Représenter les nombres entiers jusqu'à 9 999

Dans les nombres, chaque chiffre a une valeur de position.

• Les unités (U) sont les chiffres de 0 à 9.
• Les dizaines (D) sont des groupes de 10 unités. Une dizaine = 10 unités.
• Les centaines (C) sont des groupes de 10 dizaines ou 100 unités. Une centaine = 10 dizaines = 100 unités. On lit et écrit les nombres de gauche à droite. Par exemple, 235 se lit "deux cent trente-cinq".

On peut "casser" les nombres pour mieux les comprendre.

• Décomposition additive : On ajoute la valeur de chaque chiffre. Exemple : $345 = 300 + 40 + 5$
• Décomposition multiplicative : On multiplie chaque chiffre par sa valeur de position. Exemple : $345 = (3 \times 100) + (4 \times 10) + (5 \times 1)$ C'est comme utiliser du matériel : 3 plaques de 100, 4 barres de 10, 5 petits cubes.

La droite numérique est une ligne où l'on place les nombres.

• Elle a des graduations régulières (des petits traits).
• On peut y placer des nombres ou trouver des nombres manquants. Exemple : On peut placer 100, 200, 300... ou 10, 20, 30...

Quand on a 10 centaines, on forme une nouvelle unité : le millier.

• $10$ centaines = $1$ millier.
• $1$ millier = $1000$ unités. Le chiffre des milliers est le quatrième chiffre en partant de la droite. Pour bien comprendre, on peut imaginer un gros cube de 1000 unités.

Pour lire les grands nombres, on met un espace entre les milliers et les centaines.

• Exemple : $1 \ 234$ se lit "mille deux cent trente-quatre".
• Exemple : $5 \ 000$ se lit "cinq mille". C'est très utile pour ne pas se tromper quand on écrit ou lit un nombre.

Dans un nombre jusqu'à 9 999, il y a :

• Les unités (U)
• Les dizaines (D)
• Les centaines (C)
• Les milliers (M) La position d'un chiffre donne sa valeur. Dans $2 \ 458$, le 2 vaut $2000$, le 4 vaut $400$, etc.

On sépare le nombre en additionnant les milliers, les centaines, les dizaines et les unités.

• Exemple : $4 \ 567 = 4000 + 500 + 60 + 7$ On peut utiliser un tableau de numération pour bien voir chaque partie.

C'est comme avant, mais on multiplie par la valeur de la position.

• Exemple : $4 \ 567 = (4 \times 1000) + (5 \times 100) + (6 \times 10) + (7 \times 1)$ Cette méthode montre bien que le chiffre 4, parce qu'il est dans la colonne des milliers, vaut "4 fois mille".

C'est l'inverse de la décomposition : on reconstitue le nombre.

• Exemple : Si on a $(3 \times 1000) + (2 \times 100) + (0 \times 10) + (9 \times 1)$, on compose le nombre $3 \ 209$. On vérifie toujours que chaque chiffre est à la bonne place.

On peut utiliser des blocs de base 10 :

• Petits cubes = unités
• Barres = dizaines (10 cubes)
• Plaques = centaines (10 barres)
• Gros cubes = milliers (10 plaques) On peut aussi faire des dessins schématiques pour montrer ces blocs.

Pour les nombres jusqu'à 9 999, la droite numérique peut avoir des graduations plus grandes.

• On peut graduer par 100, par 500 ou par 1000.
• On peut ainsi estimer la position d'un nombre même s'il n'y a pas de trait pour lui.

Il y a deux façons d'écrire un nombre :

• En chiffres (la forme habituelle) : $7 \ 891$
• En lettres : "sept mille huit cent quatre-vingt-onze" Il est important de savoir passer de l'une à l'autre.

Pour savoir quel nombre est le plus grand, on compare les chiffres :

1. On regarde d'abord le nombre de chiffres. Un nombre avec plus de chiffres est plus grand (ex: $1 \ 234 > 987$).
2. Si les nombres ont le même nombre de chiffres, on compare les chiffres des milliers.
3. Si les milliers sont égaux, on compare les centaines, puis les dizaines, puis les unités. On utilise les symboles :

• $<$ (plus petit que)
• $>$ (plus grand que)
• $=$ (égal à)

• Ordre croissant : du plus petit au plus grand. Exemple : $1 \ 000 < 1 \ 200 < 2 \ 000 < 2 \ 500$
• Ordre décroissant : du plus grand au plus petit. Exemple : $2 \ 500 > 2 \ 000 > 1 \ 200 > 1 \ 000$

Encadrer un nombre, c'est trouver le nombre juste avant et le nombre juste après.

• Encadrer à la dizaine près : $1 \ 230 < 1 \ 234 < 1 \ 240$
• Encadrer à la centaine près : $1 \ 200 < 1 \ 234 < 1 \ 300$
• Encadrer au millier près : $1 \ 000 < 1 \ 234 < 2 \ 000$ La droite numérique aide beaucoup à encadrer.