Espace et géométrie

Un polygone est une figure plane fermée, composée de segments de droite appelés côtés.

• Sommet : point où se rencontrent deux côtés.
• Côté : segment de droite qui relie deux sommets consécutifs.
• Diagonale : segment qui relie deux sommets non consécutifs.

Exemples de polygones :

• Triangle : 3 côtés, 3 sommets.
• Quadrilatère : 4 côtés, 4 sommets.
• Pentagone : 5 côtés, 5 sommets.
• Hexagone : 6 côtés, 6 sommets.

Un triangle est un polygone à trois côtés.

Classification des triangles :

• Triangle quelconque : tous les côtés et tous les angles sont différents.
• Triangle isocèle : deux côtés de même longueur. Les angles à la base sont égaux.
• Triangle équilatéral : trois côtés de même longueur. Les trois angles sont égaux à $60^\circ$.
• Triangle rectangle : possède un angle droit ($90^\circ$). Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse.

Propriétés des angles dans un triangle : La somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à $180^\circ$. Exemple : Dans un triangle ABC, $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

Inégalité triangulaire : Pour qu'un triangle existe, la longueur de n'importe quel côté doit être inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Exemple : Pour un triangle de côtés $a, b, c$ : $a < b + c$ $b < a + c$ $c < a + b$

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.

• Parallélogramme :

  • Définition : Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
  • Propriétés :
    • Les côtés opposés ont la même longueur.
    • Les angles opposés ont la même mesure.
    • Les diagonales se coupent en leur milieu.

• Rectangle :

  • Définition : Un parallélogramme qui a un angle droit.
  • Propriétés : C'est un parallélogramme, donc il hérite de toutes ses propriétés. De plus, ses diagonales ont la même longueur.

• Losange :

  • Définition : Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
  • Propriétés : C'est un parallélogramme. De plus, ses diagonales sont perpendiculaires et sont les bissectrices de ses angles.

• Carré :

  • Définition : Un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
  • Propriétés : Il a toutes les propriétés du rectangle et du losange. Ses quatre côtés sont de même longueur et ses quatre angles sont droits.

Construction de quadrilatères : Tu peux utiliser une règle, un compas et un rapporteur pour construire ces figures en te basant sur leurs propriétés.

• Cercle : L'ensemble de tous les points situés à la même distance d'un point fixe appelé le centre.

  • Centre : Le point central du cercle.
  • Rayon (r) : Segment reliant le centre à n'importe quel point du cercle.
  • Diamètre (D) : Segment passant par le centre et reliant deux points du cercle. $D = 2 \times r$.
  • Corde : Segment reliant deux points du cercle (le diamètre est la plus longue corde).
  • Arc de cercle : Portion du cercle délimitée par deux points.

• Disque : La surface délimitée par un cercle. Il inclut le cercle et tout l'intérieur.

Périmètre du cercle (Circonférence) : C'est la longueur du cercle. $P = \pi \times D$ ou $P = 2 \times \pi \times r$ Où $\pi$ (pi) est une constante d'environ 3,14159.

Aire du disque : C'est la mesure de la surface du disque. $A = \pi \times r^2$

La symétrie axiale est une transformation qui agit comme un pliage le long d'une droite appelée axe de symétrie.

• Le symétrique d'un point A par rapport à une droite (d) est un point A' tel que la droite (d) est la médiatrice du segment [AA'].
• Propriétés :
  • La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement des points.
  • La figure et son symétrique sont superposables par pliage.

Construction du symétrique :

• D'un point : Trace la perpendiculaire à l'axe passant par le point. Mesure la distance du point à l'axe et reporte cette distance de l'autre côté de l'axe.
• D'une figure : Construis le symétrique de chaque sommet de la figure, puis relie-les dans le même ordre.

Axes de symétrie d'une figure : Une figure a un axe de symétrie si elle est superposable à elle-même par pliage le long de cet axe. Exemples : un rectangle a 2 axes, un losange 2 axes, un carré 4 axes, un cercle une infinité d'axes.

La symétrie centrale est une transformation qui agit comme un demi-tour autour d'un point appelé centre de symétrie.

• Le symétrique d'un point A par rapport à un point O est le point A' tel que O est le milieu du segment [AA'].
• Propriétés :
  • La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement des points.
  • La figure et son symétrique sont superposables par rotation de $180^\circ$.

Construction du symétrique :

• D'un point : Trace la droite passant par le point et le centre de symétrie. Mesure la distance du point au centre et reporte cette distance de l'autre côté du centre.
• D'une figure : Construis le symétrique de chaque sommet de la figure par rapport au centre, puis relie-les.

Centre de symétrie d'une figure : Une figure a un centre de symétrie si elle est superposable à elle-même par un demi-tour autour de ce point. Exemples : un parallélogramme (le point d'intersection des diagonales), un cercle (son centre).

• Reconnaître des figures ayant un axe ou un centre de symétrie : Observe si la figure peut être pliée ou tournée pour coïncider avec elle-même.
• Construire des figures par symétrie : Utilise les techniques de construction pour créer des figures symétriques.
• Utilisation des propriétés de la symétrie : Si tu sais qu'une figure est symétrique, tu peux en déduire des informations sur ses longueurs, ses angles, etc. Par exemple, si un segment est symétrique à un autre, ils ont la même longueur.

Un prisme droit est un solide qui a :

• Deux bases parallèles et superposables (polygones).
• Des faces latérales rectangulaires (ou carrées) perpendiculaires aux bases.
• Arêtes : Segments où se rencontrent deux faces.
• Sommets : Points où se rencontrent trois arêtes ou plus.

Patrons de prismes droits : Un patron est une surface plane qui, une fois pliée, permet de construire le solide. Pour un prisme, le patron est composé des deux bases et des faces latérales dépliées.

Volume d'un prisme droit : Le volume ($V$) d'un prisme droit est égal à l'aire de sa base ($A_{base}$) multipliée par sa hauteur ($h$). $V = A_{base} \times h$

Un cylindre de révolution est un solide formé par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses côtés.

• Deux bases circulaires parallèles et superposables.
• Une surface latérale courbe.
• Hauteur (h) : Distance entre les deux bases.
• Rayon (r) : Rayon des bases circulaires.

Patron d'un cylindre de révolution : Le patron d'un cylindre est composé de deux disques (les bases) et d'un rectangle (la surface latérale). La longueur du rectangle est égale au périmètre de la base ($2 \times \pi \times r$). La largeur du rectangle est égale à la hauteur du cylindre ($h$).

Volume d'un cylindre de révolution : Le volume ($V$) d'un cylindre de révolution est égal à l'aire de sa base ($A_{base}$) multipliée par sa hauteur ($h$). L'aire de la base est $\pi \times r^2$. $V = \pi \times r^2 \times h$

La perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de représenter des objets en 3D sur une surface 2D en donnant une illusion de profondeur.

Principes de la perspective cavalière :

• Les faces avant sont représentées en vraie grandeur.
• Les arêtes fuyantes (qui donnent la profondeur) sont représentées par des segments parallèles entre eux, mais non perpendiculaires à la face avant. Elles sont souvent raccourcies (coefficient de réduction) et inclinées (angle de fuite).
• Les arêtes cachées sont représentées en pointillés.

Représenter un cube, un pavé droit :

1. Dessine la face avant (un carré ou un rectangle) en vraie grandeur.
2. Trace les arêtes fuyantes à partir de chaque sommet (parallèles, inclinées).
3. Relie les extrémités des arêtes fuyantes pour former la face arrière.
4. Utilise des pointillés pour les arêtes cachées.

Représenter un prisme droit, un cylindre :

• Prisme droit : Dessine une base (par exemple, la face avant). Trace les arêtes latérales parallèles et de même longueur. Dessine la deuxième base en respectant le parallélisme.
• Cylindre : Dessine l'une des bases comme une ellipse (un ovale). Trace les génératrices (les côtés) parallèles. Dessine la deuxième base, également une ellipse.

Quand deux droites sont coupées par une troisième droite (appelée sécante), plusieurs types d'angles se forment :

• Angles alternes-internes : Ils sont de part et d'autre de la sécante et entre les deux droites. (Ex: $\widehat{1}$ et $\widehat{7}$ sur un schéma classique)
• Angles correspondants : Ils sont du même côté de la sécante et l'un à l'extérieur, l'autre à l'intérieur. (Ex: $\widehat{1}$ et $\widehat{5}$)
• Angles adjacents : Ils ont le même sommet, un côté commun et sont de part et d'autre de ce côté commun.
• Angles complémentaires : Leur somme est égale à $90^\circ$.
• Angles supplémentaires : Leur somme est égale à $180^\circ$.

Ces propriétés sont cruciales pour prouver le parallélisme ou calculer des angles.

• Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes sont égaux.
• Si deux droites sont parallèles, alors les angles correspondants sont égaux.
• Démontrer le parallélisme de droites :
  • Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors ces droites sont parallèles.
  • Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles.
  • Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Rappel de la propriété : La somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à $180^\circ$. $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$

Calcul d'angles manquants : Si tu connais deux angles d'un triangle, tu peux facilement trouver le troisième. Exemple : Si $\widehat{A} = 70^\circ$ et $\widehat{B} = 50^\circ$, alors $\widehat{C} = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Démonstrations simples : Cette propriété est fondamentale pour de nombreuses démonstrations géométriques.

L'aire est la mesure de la surface occupée par une figure plane.

• Aire du triangle : $A = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$
• Aire des quadrilatères particuliers :
  • Rectangle : $A = \text{Longueur} \times \text{largeur}$
  • Carré : $A = \text{côté} \times \text{côté} = \text{côté}^2$
  • Parallélogramme : $A = \text{base} \times \text{hauteur}$ (la hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé)
  • Losange : $A = \frac{\text{Diagonale}_1 \times \text{Diagonale}_2}{2}$
• Aire du disque : $A = \pi \times r^2$ (où $r$ est le rayon)

Le volume est la mesure de l'espace occupé par un solide.

• Volume du pavé droit (ou parallélépipède rectangle) : $V = \text{Longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$
• Volume du prisme droit : $V = A_{base} \times \text{hauteur}$ (où $A_{base}$ est l'aire de la base du prisme)
• Volume du cylindre de révolution : $V = \pi \times r^2 \times \text{hauteur}$ (où $r$ est le rayon de la base)

Il est essentiel de connaître les unités et de savoir les convertir.

• Conversions d'unités d'aire :

  • $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 = 10000 \text{ cm}^2$
  • $1 \text{ km}^2 = 100 \text{ hm}^2 = 10000 \text{ dam}^2 = 1000000 \text{ m}^2$
  • Pour les aires, on multiplie ou divise par 100 (ou $10^2$) à chaque changement d'unité.

• Conversions d'unités de volume :

  • $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1000000 \text{ cm}^3$
  • Pour les volumes, on multiplie ou divise par 1000 (ou $10^3$) à chaque changement d'unité.

• Relation entre unités de volume et de capacité :

  • $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre (L)}$
  • $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ millilitre (mL)}$
  • $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$