Fractions et pourcentages

Une fraction est une manière d'exprimer une partie d'un tout. Imagine que tu as une pizza coupée en 8 parts égales. Si tu en manges 3, tu as mangé $\frac{3}{8}$ de la pizza.

Une fraction s'écrit sous la forme $\frac{a}{b}$, où :

• $a$ est le numérateur : il indique le nombre de parts que l'on prend.
• $b$ est le dénominateur : il indique le nombre total de parts égales qui composent le tout. Le dénominateur ne peut jamais être zéro.

Exemple : Dans $\frac{3}{8}$, 3 est le numérateur et 8 est le dénominateur. On lit "trois huitièmes".

Une fraction représente un partage équitable. Chaque part doit être de la même taille.

Une fraction peut être vue comme une division. Par exemple, $\frac{3}{4}$ signifie aussi $3 \div 4$. Si tu partages 3 pommes entre 4 amis, chaque ami reçoit $\frac{3}{4}$ de pomme.

Exemples concrets :

• Tu as 12 bonbons et tu veux en donner un quart à ton ami. Tu calcules $\frac{1}{4}$ de 12, ce qui est $12 \div 4 = 3$ bonbons.
• Un gâteau est coupé en 6 parts. Si tu en prends 2, tu as pris $\frac{2}{6}$ du gâteau.

Deux fractions sont égales si elles représentent la même proportion du tout.

• Simplification de fractions : Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par le même nombre (un diviseur commun). Exemple : $\frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$. La fraction $\frac{1}{2}$ est une fraction irréductible car on ne peut plus la simplifier.

• Amplification de fractions : Pour amplifier une fraction, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre. Exemple : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$.

Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul ne change pas la valeur de la fraction. C'est très utile !

Pour comparer ou ranger des fractions, il y a plusieurs méthodes :

1. Comparaison avec l'unité (1) :

   • Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est $< 1$. (Ex: $\frac{2}{5} < 1$)
   • Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est $= 1$. (Ex: $\frac{3}{3} = 1$)
   • Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est $> 1$. (Ex: $\frac{7}{4} > 1$)

2. Mise au même dénominateur : Pour comparer des fractions qui n'ont pas le même dénominateur, on les amplifie pour qu'elles aient un dénominateur commun. Ensuite, on compare les numérateurs. Exemple : Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$. Le dénominateur commun le plus simple est 12 (car $3 \times 4 = 12$). $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$ Comme $8 < 9$, alors $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, donc $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Pour additionner ou soustraire des fractions :

1. Même dénominateur : On additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun. Exemple : $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$

2. Dénominateurs différents : Il faut d'abord les mettre au même dénominateur (en les amplifiant) avant d'additionner ou de soustraire. Exemple : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ Dénominateur commun : 6 $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$ $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$ Alors, $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

Pour multiplier deux fractions, c'est simple : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Exemple : $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$

• Multiplier un nombre par une fraction : On considère le nombre comme une fraction avec un dénominateur de 1. Exemple : $5 \times \frac{2}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{2}{7} = \frac{5 \times 2}{1 \times 7} = \frac{10}{7}$

• Simplification : Il est souvent plus facile de simplifier avant de multiplier, si possible. Exemple : $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ Ou en simplifiant avant : $\frac{\cancel{2}}{ \cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}_2} = \frac{1}{2}$

Prendre une fraction d'une quantité signifie multiplier cette quantité par la fraction.

Problème concret : Un réservoir contient 60 litres d'eau. Il est rempli aux $\frac{2}{5}$ de sa capacité. Quelle quantité d'eau y a-t-il dans le réservoir ? Calcul : $\frac{2}{5} \times 60 = \frac{2 \times 60}{5} = \frac{120}{5} = 24$ litres. Il y a 24 litres d'eau dans le réservoir.

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction dont le dénominateur est 100. Le symbole % signifie "pour cent".

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est toujours 100.

Exemples :

• $25\%$ signifie $\frac{25}{100}$
• $50\%$ signifie $\frac{50}{100}$
• $100\%$ signifie $\frac{100}{100}$, soit l'intégralité du tout.

On lit "vingt-cinq pour cent", "cinquante pour cent", etc. C'est très utilisé pour parler de réductions, de statistiques, ou de réussites.

Les fractions et les pourcentages sont étroitement liés, car un pourcentage est une fraction particulière.

• Conversion fraction vers pourcentage : Pour convertir une fraction en pourcentage, on la transforme en une fraction équivalente dont le dénominateur est 100. Exemple : Convertir $\frac{3}{4}$ en pourcentage. $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 75\%$

• Conversion pourcentage vers fraction : On écrit le pourcentage comme une fraction sur 100, puis on la simplifie si possible. Exemple : Convertir $40\%$ en fraction. $40\% = \frac{40}{100} = \frac{40 \div 20}{100 \div 20} = \frac{2}{5}$

Correspondances courantes à connaître :

Pour calculer un pourcentage d'une quantité, on transforme le pourcentage en fraction (sur 100) ou en nombre décimal, puis on multiplie par la quantité.

Méthode 1 (avec fraction) : $X\%$ d'une quantité = $\frac{X}{100} \times \text{quantité}$

Méthode 2 (avec décimal) : $X\%$ d'une quantité = $(X \div 100) \times \text{quantité}$

Exemple : Calculer $20\%$ de 150 élèves. Méthode 1 : $\frac{20}{100} \times 150 = \frac{20 \times 150}{100} = \frac{3000}{100} = 30$ élèves. Méthode 2 : $0,20 \times 150 = 30$ élèves. Calculer un pourcentage d'une quantité est une application de "prendre une fraction d'une quantité".

Les pourcentages sont très utilisés pour calculer des changements de prix ou de quantités.

• Calcul d'une augmentation : Pour augmenter une quantité de $X\%$, on calcule $X\%$ de la quantité, puis on l'ajoute à la quantité initiale. Exemple : Un article coûte 80€. Son prix augmente de $10\%$. Augmentation = $10\%$ de $80€ = \frac{10}{100} \times 80 = 8€$. Nouveau prix = $80€ + 8€ = 88€$. Autre méthode : $80 \times (1 + \frac{10}{100}) = 80 \times 1,10 = 88€$.

• Calcul d'une réduction (soldes) : Pour réduire une quantité de $X\%$, on calcule $X\%$ de la quantité, puis on le soustrait de la quantité initiale. Exemple : Un pull coûte 50€. Il est soldé à $20\%$. Réduction = $20\%$ de $50€ = \frac{20}{100} \times 50 = 10€$. Nouveau prix = $50€ - 10€ = 40€$. Autre méthode : $50 \times (1 - \frac{20}{100}) = 50 \times 0,80 = 40€$.

Les pourcentages sont souvent utilisés pour représenter des données dans des diagrammes.

• Diagramme circulaire (camembert) : Chaque secteur représente une proportion de l'ensemble, souvent exprimée en pourcentage. La somme de tous les pourcentages doit faire $100\%$. Exemple : Dans une classe de 25 élèves, 10 aiment le foot (40%), 5 le basket (20%), et 10 la danse (40%).

• Diagramme en barres : Les pourcentages peuvent aussi être utilisés pour comparer des proportions entre différentes catégories.

Interpréter ces diagrammes signifie comprendre ce que chaque part ou chaque barre représente par rapport à l'ensemble.

Pour résoudre un problème avec des pourcentages :

1. Identifier la quantité totale (le "tout") et la partie qui t'intéresse.
2. Déterminer ce qui est demandé : un pourcentage, une quantité après changement, ou la quantité initiale.
3. Appliquer la bonne méthode de calcul :
   • Si tu as une partie et le tout, et que tu cherches le pourcentage : $\frac{\text{partie}}{\text{tout}} \times 100$.
   • Si tu as un pourcentage et le tout, et que tu cherches la partie : $\frac{\text{pourcentage}}{100} \times \text{tout}$.
   • Pour les augmentations/réductions, utilise les formules vues précédemment.
4. Vérifier la cohérence de ton résultat. Un pourcentage ne peut pas être négatif, et un prix réduit doit être inférieur au prix initial !

Exemple de problème : Sur 30 élèves d'une classe, 18 ont eu une bonne note en maths. Quel pourcentage d'élèves a eu une bonne note ? Pourcentage = $\frac{18}{30} \times 100 = \frac{1800}{30} = 60\%$. $60\%$ des élèves ont eu une bonne note.