Grandeurs et mesures

La longueur est la dimension d'un objet dans l'espace. L'unité de base internationale est le mètre (m).

Voici les principales unités de longueur :

Pour convertir des longueurs, on utilise un tableau de conversion. Chaque colonne représente une unité, et chaque chiffre d'un nombre doit être placé dans une colonne.

Exemple : Convertir 2,5 km en mètres. Dans le tableau, on place le 2 dans la colonne des km et le 5 dans celle des hm. On ajoute des zéros jusqu'à la colonne des mètres. 2,5 km = 2500 m.

L'aire est la mesure d'une surface. L'unité de base est le mètre carré ($\text{m}^2$). Attention : pour les aires, chaque unité est 100 fois plus grande que la suivante. Donc, dans un tableau de conversion, chaque colonne d'unité est divisée en deux sous-colonnes.

Il existe aussi des unités agraires pour mesurer les terrains :

• 1 are (a) = 1 $\text{dam}^2$ = 100 $\text{m}^2$
• 1 hectare (ha) = 1 $\text{hm}^2$ = 10 000 $\text{m}^2$

Exemple : Convertir 3,7 $\text{m}^2$ en $\text{cm}^2$. On place le 3 dans la colonne des $\text{m}^2$ (à droite de préférence) et le 7 dans la première sous-colonne des $\text{dm}^2$. On complète avec des zéros jusqu'à la colonne des $\text{cm}^2$. 3,7 $\text{m}^2$ = 37 000 $\text{cm}^2$.

Le volume est l'espace occupé par un objet. L'unité de base est le mètre cube ($\text{m}^3$). Pour les volumes, chaque unité est 1000 fois plus grande que la suivante. Dans un tableau de conversion, chaque colonne d'unité est divisée en trois sous-colonnes.

Il existe une relation très importante entre le volume et la capacité (le volume de liquide qu'un récipient peut contenir) :

• 1 litre (L) = 1 $\text{dm}^3$
• 1 millilitre (mL) = 1 $\text{cm}^3$

Exemple : Convertir 0,005 $\text{m}^3$ en litres. D'abord, convertissons 0,005 $\text{m}^3$ en $\text{dm}^3$. On place le 0 (unité) dans la colonne des $\text{m}^3$. 0,005 $\text{m}^3$ = 5 $\text{dm}^3$. Comme 1 $\text{dm}^3$ = 1 L, alors 5 $\text{dm}^3$ = 5 L.

Le périmètre d'une figure plane est la longueur de son contour. Pour un polygone, il suffit d'additionner la longueur de tous ses côtés.

• Carré de côté $c$: $P = 4 \times c$
• Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$: $P = 2 \times (L + l)$
• Triangle de côtés $a, b, c$: $P = a + b + c$

Exemple : Un rectangle a une longueur de 8 cm et une largeur de 3 cm. Son périmètre est $2 \times (8 + 3) = 2 \times 11 = 22$ cm.

Le périmètre d'un cercle est appelé la circonférence. La formule utilise le nombre Pi ($\pi$), qui est une constante (environ 3,14).

• Avec le rayon $R$: $P = 2 \times \pi \times R$
• Avec le diamètre $D$ (sachant que $D = 2 \times R$): $P = \pi \times D$

Exemple : Un cercle a un rayon de 5 cm. Sa circonférence est $P = 2 \times \pi \times 5 = 10 \pi$ cm. Si on prend $\pi \approx 3,14$, alors $P \approx 10 \times 3,14 = 31,4$ cm.

L'aire est la mesure de la surface d'une figure. Elle s'exprime en unités carrées ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, etc.).

• Carré de côté $c$: $A = c \times c = c^2$
• Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$: $A = L \times l$

Exemple : L'aire d'un carré de côté 7 cm est $A = 7 \times 7 = 49 \text{ cm}^2$. L'aire d'un rectangle de 10 cm sur 4 cm est $A = 10 \times 4 = 40 \text{ cm}^2$.

• Triangle : L'aire d'un triangle dépend de sa base $b$ et de sa hauteur $h$ correspondante (la hauteur est la distance perpendiculaire de la base au sommet opposé). $A = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{b \times h}{2}$

• Disque : L'aire d'un disque (l'intérieur d'un cercle) dépend de son rayon $R$. $A = \pi \times R \times R = \pi \times R^2$

Exemple : Un triangle a une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm. Son aire est $A = \frac{6 \times 4}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm}^2$. Un disque a un rayon de 3 cm. Son aire est $A = \pi \times 3^2 = 9 \pi \text{ cm}^2$. Si $\pi \approx 3,14$, $A \approx 9 \times 3,14 = 28,26 \text{ cm}^2$.

Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide avec 6 faces rectangulaires. Son volume est l'espace qu'il occupe.

• Formule : $V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$ $V = L \times l \times h$
• Les unités de volume sont des unités cubiques ($\text{cm}^3$, $\text{m}^3$, etc.).

Exemple : Un pavé droit a une longueur de 5 cm, une largeur de 3 cm et une hauteur de 2 cm. Son volume est $V = 5 \times 3 \times 2 = 30 \text{ cm}^3$.

Un cube est un cas particulier de pavé droit où toutes les arêtes ont la même longueur.

• Formule : Si $c$ est la longueur d'une arête du cube, alors $V = c \times c \times c = c^3$.

Exemple : Un cube a une arête de 4 cm. Son volume est $V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ cm}^3$.

Comme vu précédemment, il y a une relation directe entre le volume et la capacité :

• 1 $\text{dm}^3$ = 1 L (litre)
• 1 $\text{cm}^3$ = 1 mL (millilitre)
• 1 $\text{m}^3$ = 1000 L

Ces correspondances sont très utiles pour les problèmes de remplissage de récipients. Retiens bien : 1 litre, c'est le volume d'un cube de 1 dm de côté !

Exemple : Une bouteille de 1,5 L a un volume de 1,5 $\text{dm}^3$. Un aquarium de 120 L a un volume de 120 $\text{dm}^3 = 0,120 \text{ m}^3$.

La vitesse moyenne $V$ est le rapport entre la distance parcourue $D$ et la durée du parcours $T$.

• Formule : $V = \frac{D}{T}$
• Les unités de vitesse courantes sont le $\text{km/h}$ (kilomètre par heure) ou le $\text{m/s}$ (mètre par seconde).

Exemple : Un cycliste parcourt 40 km en 2 heures. Sa vitesse moyenne est $V = \frac{40 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 20 \text{ km/h}$.

Avec la formule $V = \frac{D}{T}$, on peut trouver les autres grandeurs :

• Pour trouver la distance : $D = V \times T$
• Pour trouver la durée : $T = \frac{D}{V}$

Il est crucial d'utiliser des unités cohérentes. Si la vitesse est en $\text{km/h}$, la distance doit être en km et la durée en heures. Attention aux conversions de durée : 1 heure = 60 minutes = 3600 secondes.

Exemple : Une voiture roule à 80 $\text{km/h}$ pendant 30 minutes. Quelle distance parcourt-elle ? D'abord, convertir 30 minutes en heures : 30 min = 0,5 h. $D = 80 \text{ km/h} \times 0,5 \text{ h} = 40 \text{ km}$.

Le débit $D_b$ est le volume de liquide (ou de gaz) qui s'écoule par unité de temps.

• Formule : $D_b = \frac{\text{Volume}}{\text{Durée}} = \frac{V}{T}$
• Les unités de débit sont souvent en $\text{L/s}$ (litre par seconde), $\text{m}^3\text{/h}$ (mètre cube par heure), etc.

Exemple : Un robinet remplit un seau de 10 litres en 20 secondes. Le débit du robinet est $D_b = \frac{10 \text{ L}}{20 \text{ s}} = 0,5 \text{ L/s}$.

La masse est la quantité de matière contenue dans un corps. L'unité de base internationale est le kilogramme (kg).

Le tableau de conversion fonctionne comme pour les longueurs (une colonne par unité).

Exemple : Convertir 2,3 kg en grammes. 2,3 kg = 2300 g.

Les unités de durée ne suivent pas un système décimal (base 10), ce qui rend les conversions un peu différentes.

• 1 minute (min) = 60 secondes (s)
• 1 heure (h) = 60 minutes = 3600 secondes
• 1 jour = 24 heures

Pour convertir, on utilise la multiplication ou la division par 60 ou 24. Pour passer d'une grande unité à une petite, on multiplie. Pour passer d'une petite unité à une grande, on divise.

Exemple : Convertir 1,5 h en minutes. $1,5 \times 60 = 90$ min. Convertir 150 min en heures. $150 \div 60 = 2,5$ h.

Pour additionner ou soustraire des durées, il faut faire attention aux retenues et aux "emprunts" en base 60.

Addition : 2 h 40 min + 1 h 30 min

1. Additionne les minutes : 40 min + 30 min = 70 min
2. Convertis les minutes : 70 min = 1 h 10 min
3. Additionne les heures : 2 h + 1 h + 1 h (retenue) = 4 h Résultat : 4 h 10 min

Soustraction : 3 h 15 min - 1 h 40 min

1. On ne peut pas soustraire 40 min de 15 min. On "emprunte" une heure aux 3 h. 3 h 15 min devient 2 h (15 min + 60 min) = 2 h 75 min
2. Soustrait les minutes : 75 min - 40 min = 35 min
3. Soustrait les heures : 2 h - 1 h = 1 h Résultat : 1 h 35 min

Ces techniques sont très utiles pour résoudre des problèmes d'horaires, de trajets ou de temps de travail.