La proportionnalite

La proportionnalité est une relation particulière entre deux grandeurs. On dit que deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsque l'on multiplie ou divise l'une par un nombre, l'autre est multipliée ou divisée par le même nombre. En d'autres termes, les grandeurs varient "en même temps" et "de la même manière".

Situations de la vie courante :

• Le prix des pommes : si 1 kg coûte 2€, alors 2 kg coûtent 4€. Le prix est proportionnel à la masse.
• La distance parcourue par une voiture à vitesse constante : si elle parcourt 50 km en 1 heure, elle parcourra 100 km en 2 heures. La distance est proportionnelle au temps.

Exemples et contre-exemples :

• Exemple de proportionnalité : Le nombre de litres d'essence et le prix à payer.
• Contre-exemple de non-proportionnalité : L'âge d'une personne et sa taille. Quand on a 5 ans, on ne mesure pas deux fois moins que quand on a 10 ans.

Un tableau de proportionnalité est un outil qui permet d'organiser les données de deux grandeurs pour vérifier ou représenter une situation de proportionnalité.

Pour identifier une situation de proportionnalité dans un tableau, on doit vérifier que l'on passe de la première ligne à la deuxième (ou inversement) en multipliant (ou divisant) toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.

Exemple :

Dans cet exemple, $4 \div 2 = 2$, $10 \div 5 = 2$, et $14 \div 7 = 2$. On multiplie toujours la première ligne par 2 pour obtenir la deuxième. C'est donc un tableau de proportionnalité.

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur pour obtenir les valeurs correspondantes de la deuxième grandeur.

Calcul du coefficient : Si on a un tableau de proportionnalité, pour chaque colonne, on peut calculer le rapport de la valeur de la deuxième ligne par la valeur de la première ligne. $Coefficient = \frac{\text{Valeur de la ligne 2}}{\text{Valeur de la ligne 1}}$

Exemple : Reprenons le tableau des stylos. $Coefficient = \frac{4}{2} = 2$ $Coefficient = \frac{10}{5} = 2$ $Coefficient = \frac{14}{7} = 2$ Le coefficient de proportionnalité est 2. Cela signifie que 1 stylo coûte 2€.

Signification du coefficient : Il représente la valeur de la deuxième grandeur pour une unité de la première grandeur. Utilisation pour compléter un tableau : Une fois le coefficient trouvé, on peut l'utiliser pour trouver des valeurs manquantes. Si on a 3 stylos, le prix sera $3 \times 2 = 6$€.

La méthode du retour à l'unité consiste à calculer la valeur de la deuxième grandeur pour une seule unité de la première grandeur. C'est souvent la méthode la plus intuitive.

Calcul de la valeur pour une unité : Si on sait que 4 kg de cerises coûtent 12€, pour trouver le prix d'un kg, on divise le prix total par la quantité : $12 € \div 4 kg = 3 €/kg$. La valeur pour une unité (1 kg) est 3€.

Application à des problèmes concrets :

• Problème : 6 cahiers coûtent 18€. Combien coûtent 10 cahiers ?
• Étape 1 (Passage à l'unité) : Calculer le prix d'un cahier. $18 € \div 6 = 3 €$. Un cahier coûte 3€.
• Étape 2 : Calculer le prix de 10 cahiers. $10 \times 3 € = 30 €$. 10 cahiers coûtent 30€.

Les situations de proportionnalité possèdent des propriétés qui facilitent les calculs sans forcément passer par le coefficient.

Addition de colonnes : Si on additionne les valeurs de deux colonnes de la première grandeur, la valeur correspondante de la deuxième grandeur sera l'addition des valeurs de la deuxième grandeur.

Exemple :

Multiplication d'une colonne par un nombre : Si on multiplie les valeurs d'une colonne de la première grandeur par un nombre, la valeur correspondante de la deuxième grandeur sera aussi multipliée par ce même nombre.

Exemple :

Combinaison de propriétés : On peut souvent combiner ces propriétés pour résoudre des problèmes complexes.

Le produit en croix, aussi appelé la règle de trois, est une méthode très efficace pour trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité.

Soit le tableau de proportionnalité suivant :

Selon la règle du produit en croix, on a : $a \times d = b \times c$.

Application pour trouver une valeur manquante :

• Problème : 3 kg de pommes coûtent 4,50€. Combien coûtent 7 kg de pommes ? | Masse (kg) | 3 | 7 | |---|---|---| | Prix (€) | 4,50 | $x$ |

On utilise le produit en croix : $3 \times x = 7 \times 4,50$ $3x = 31,50$ $x = \frac{31,50}{3}$ $x = 10,50$ 7 kg de pommes coûtent 10,50€.

Vérification de la proportionnalité : On peut aussi utiliser le produit en croix pour vérifier si un tableau est bien de proportionnalité. Si les produits en croix sont égaux, alors il y a proportionnalité.

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction de 100. La notation "%" signifie "divisé par 100". Par exemple, "25%" signifie $\frac{25}{100}$.

Calculer un pourcentage d'une quantité : Pour calculer $p \%$ d'une quantité $Q$, on multiplie $Q$ par $\frac{p}{100}$. Formule : $p \%$ de $Q = Q \times \frac{p}{100}$

Exemple : Calculer 30% de 200€. $200 \times \frac{30}{100} = 200 \times 0,30 = 60$. 30% de 200€ est 60€.

Appliquer un pourcentage (réduction, augmentation) :

• Réduction : Si un article de 50€ est soldé à 10%, la réduction est de $50 \times \frac{10}{100} = 5$€. Le nouveau prix est $50 - 5 = 45$€.
• Augmentation : Si un loyer de 600€ augmente de 2%, l'augmentation est de $600 \times \frac{2}{100} = 12$€. Le nouveau loyer est $600 + 12 = 612$€.

Les pourcentages sont souvent représentés graphiquement pour faciliter la compréhension.

• Diagrammes circulaires (camemberts) : Chaque secteur représente une catégorie, et la taille du secteur est proportionnelle au pourcentage qu'il représente. Un cercle complet représente 100%. L'angle d'un secteur est $Pourcentage \times 3,6^\circ$ (car $360^\circ / 100 = 3,6^\circ$).
• Diagrammes en barres : La hauteur de chaque barre est proportionnelle au pourcentage qu'elle représente.

Interprétation visuelle : Ces graphiques permettent de comparer rapidement des proportions.

Une échelle est un coefficient de proportionnalité qui relie les dimensions sur une carte ou un plan aux dimensions réelles. Elle est souvent exprimée sous forme de fraction (1:100, 1/100) ou de phrase ("1 cm représente 1 km").

Définition d'une échelle : Échelle = $\frac{\text{Dimension sur le plan}}{\text{Dimension réelle}}$ (les deux dimensions doivent être dans la même unité). Une échelle de 1:100 signifie que 1 unité sur le plan représente 100 unités en réalité.

Calculer une distance réelle à partir d'une carte :

• Exemple : Sur une carte à l'échelle 1:50 000, une route mesure 3 cm. Quelle est sa longueur réelle ? 1 cm sur la carte représente 50 000 cm en réalité. 3 cm sur la carte représentent $3 \times 50 000 = 150 000$ cm. $150 000$ cm = $1500$ m = $1,5$ km. La route mesure 1,5 km en réalité.

Calculer une distance sur une carte à partir d'une distance réelle :

• Exemple : La distance entre deux villes est de 10 km. Quelle est cette distance sur une carte à l'échelle 1:200 000 ? D'abord, convertissons la distance réelle dans la même unité que l'échelle : 10 km = 1 000 000 cm. Distance sur la carte = Distance réelle $\times$ Échelle Distance sur la carte = $1 000 000 \times \frac{1}{200 000} = \frac{1 000 000}{200 000} = 5$ cm. La distance sur la carte est de 5 cm.

La vitesse moyenne est une grandeur qui exprime la distance parcourue par unité de temps. Elle est le rapport entre la distance totale parcourue et le temps total mis pour la parcourir.

Relation distance, temps, vitesse :

• Vitesse ($V$) : la rapidité du mouvement.
• Distance ($D$) : le chemin parcouru.
• Temps ($T$) : la durée du parcours.

Unités de mesure :

• Le kilomètre par heure (km/h) est l'unité la plus courante.
• Le mètre par seconde (m/s) est l'unité légale du Système International.
• Il est important d'être cohérent dans les unités !

Formule de la vitesse moyenne : $V = \frac{D}{T}$ On peut en déduire : $D = V \times T$ $T = \frac{D}{V}$

• Problème de calcul de vitesse : Une voiture parcourt 240 km en 3 heures. Quelle est sa vitesse moyenne ? $V = \frac{240 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 80 \text{ km/h}$.
• Problème de calcul de distance : Un cycliste roule à 25 km/h pendant 2,5 heures. Quelle distance a-t-il parcourue ? $D = 25 \text{ km/h} \times 2,5 \text{ h} = 62,5 \text{ km}$.
• Problème de calcul de temps : Un train doit parcourir 450 km à une vitesse de 100 km/h. Combien de temps cela prendra-t-il ? $T = \frac{450 \text{ km}}{100 \text{ km/h}} = 4,5 \text{ h}$. Soit 4 heures et 30 minutes.

Si la vitesse est constante, alors la distance parcourue est proportionnelle au temps de parcours.

Tableaux de proportionnalité pour la vitesse :

Coefficient de proportionnalité (vitesse) : Dans un tableau où la première ligne est le temps et la deuxième la distance, le coefficient de proportionnalité est la vitesse moyenne. Plus la vitesse est élevée, plus le coefficient est grand.

Représentation graphique (distance en fonction du temps) : Si la vitesse est constante, la représentation graphique de la distance en fonction du temps est une droite qui passe par l'origine du repère. Nous verrons cela plus en détail dans la section suivante.

Un repère orthogonal est formé de deux axes perpendiculaires qui se coupent à l'origine (point O).

• L'axe horizontal est l'axe des abscisses (souvent pour la première grandeur).
• L'axe vertical est l'axe des ordonnées (souvent pour la deuxième grandeur).

Placer des points : Chaque point dans le repère est défini par ses coordonnées $(x; y)$, où $x$ est l'abscisse (valeur sur l'axe horizontal) et $y$ est l'ordonnée (valeur sur l'axe vertical).

Exemple :

Une situation de proportionnalité se reconnaît très facilement sur un graphique :

1. Les points représentant les données sont alignés.
2. Cette droite passe par l'origine du repère (le point $(0;0)$).

Si ces deux conditions sont remplies, alors la situation est proportionnelle. Si les points sont alignés mais ne passent pas par l'origine, ce n'est pas de la proportionnalité mais une relation linéaire. Si les points ne sont pas alignés, ce n'est ni l'un ni l'autre.

Interprétation de la pente : La "pente" de la droite est liée au coefficient de proportionnalité. Plus la droite est "montante", plus le coefficient est grand.

Les graphiques sont des outils puissants pour visualiser les relations entre grandeurs.

• Extraire des informations : En lisant les coordonnées des points, on peut trouver les valeurs associées aux grandeurs.
  • Exemple : Sur le graphique du prix des stylos, pour 5 stylos (abscisse 5), on lit que le prix est 10€ (ordonnée 10).
• Prévoir des valeurs : Si la droite est tracée, on peut estimer des valeurs intermédiaires ou extrapolées (en prolongeant la droite).
  • Exemple : Pour 6 stylos, on peut estimer le prix en lisant l'ordonnée pour l'abscisse 6.
• Identifier des situations non proportionnelles : Si le graphique n'est pas une ligne droite passant par l'origine, la situation n'est pas proportionnelle.
  • Exemple : La croissance d'une plante en fonction du temps ne sera pas une droite passant par l'origine, car la croissance ralentit ou accélère.