Les angles

Un angle est une figure géométrique formée par deux demi-droites qui partent du même point.

• Le point commun aux deux demi-droites est appelé le sommet de l'angle.
• Les deux demi-droites sont appelées les côtés de l'angle.

Pour nommer un angle, on utilise généralement trois lettres : la lettre du sommet est toujours au milieu. Par exemple, l'angle ci-dessous se note $\widehat{AOB}$ ou $\widehat{BOA}$. Parfois, si aucune confusion n'est possible, on peut le nommer par son sommet, par exemple $\hat{O}$.

      B
     /
    /
   O-----A

Pour mesurer un angle, on utilise une unité appelée le degré (°). Un cercle complet mesure 360°.

• L'instrument utilisé pour mesurer ou tracer un angle est le rapporteur.
• Pour estimer une mesure, on compare l'angle à des angles connus (angle droit, angle plat). Cela aide à vérifier si la mesure effectuée avec le rapporteur est plausible.

Exemple : Un angle de 90° est un angle droit. Un angle de 45° est la moitié d'un angle droit.

Les angles sont classés selon leur mesure :

• Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à $90^\circ$.
  • Si $\widehat{A} + \widehat{B} = 90^\circ$, alors $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont complémentaires.
  • Pour trouver l'angle manquant : $90^\circ - \text{angle connu}$.
  • Pensez "C" comme "Coin" (90°).
• Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à $180^\circ$.
  • Si $\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ$, alors $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont supplémentaires.
  • Pour trouver l'angle manquant : $180^\circ - \text{angle connu}$.
  • Pensez "S" comme "Straight" (ligne droite, 180°).

Exemples :

• $30^\circ$ et $60^\circ$ sont complémentaires ($30+60=90$).
• $70^\circ$ et $110^\circ$ sont supplémentaires ($70+110=180$).

Deux angles sont adjacents s'ils respectent trois conditions :

1. Ils ont le même sommet commun.
2. Ils ont un côté commun.
3. Ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.

      C
     / \
    /   \
   A-----B

Dans l'exemple ci-dessus, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBD}$ sont adjacents. Ils ont le sommet B en commun, le côté [BC) en commun, et sont de chaque côté de [BC).

Lorsque deux droites se coupent, elles forment quatre angles. Les angles qui sont vis-à-vis l'un de l'autre sont appelés angles opposés par le sommet.

• Définition : Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
• Propriété fondamentale : Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux.

      \ /
       X
      / \

Si les droites (d1) et (d2) se coupent en O, alors l'angle formé en haut à gauche et l'angle formé en bas à droite sont opposés par le sommet. Ils ont la même mesure.

Une sécante est une droite qui coupe deux autres droites distinctes. Lorsque deux droites (d1) et (d2) sont coupées par une sécante (s), cela crée huit angles. Il est important de savoir les identifier et de connaître leurs propriétés, surtout si (d1) et (d2) sont parallèles.

      (d1) ----A----B----
                /   /
               /   / (s)
              C---D---(d2)

Les angles sont numérotés pour faciliter leur identification (par exemple, $\widehat{1}, \widehat{2}, \widehat{3}, \widehat{4}$ au niveau de la première intersection et $\widehat{5}, \widehat{6}, \widehat{7}, \widehat{8}$ au niveau de la deuxième).

• Définition et position : Ce sont deux angles qui sont situés à l'intérieur des deux droites (entre d1 et d2) et de chaque côté de la sécante. Ils n'ont pas le même sommet.
  • Exemples : $\widehat{3}$ et $\widehat{6}$ sont alternes-internes. $\widehat{4}$ et $\widehat{5}$ sont alternes-internes.
• Propriété si droites parallèles : Si les deux droites (d1) et (d2) sont parallèles, alors les angles alternes-internes sont égaux.
  • Si (d1) // (d2), alors $\widehat{3} = \widehat{6}$ et $\widehat{4} = \widehat{5}$.
• Réciproque de la propriété : Si deux angles alternes-internes formés par deux droites et une sécante sont égaux, alors les deux droites sont parallèles.

• Définition et position : Ce sont deux angles qui sont situés du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur des deux droites et l'autre à l'extérieur. Ils n'ont pas le même sommet.
  • Exemples : $\widehat{1}$ et $\widehat{5}$ sont correspondants. $\widehat{2}$ et $\widehat{6}$ sont correspondants. $\widehat{3}$ et $\widehat{7}$ sont correspondants. $\widehat{4}$ et $\widehat{8}$ sont correspondants.
• Propriété si droites parallèles : Si les deux droites (d1) et (d2) sont parallèles, alors les angles correspondants sont égaux.
  • Si (d1) // (d2), alors $\widehat{1} = \widehat{5}$, $\widehat{2} = \widehat{6}$, etc.
• Réciproque de la propriété : Si deux angles correspondants formés par deux droites et une sécante sont égaux, alors les deux droites sont parallèles.

• La somme des mesures des angles d'un triangle est toujours égale à $180^\circ$.
  • Pour un triangle ABC, on a : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.
• Démonstration intuitive : Imaginez que vous coupez les trois angles d'un triangle et que vous les placez côte à côte le long d'une ligne droite. Ils formeront un angle plat de $180^\circ$.
• Application au calcul d'angles : Si vous connaissez la mesure de deux angles d'un triangle, vous pouvez facilement calculer la mesure du troisième angle.
  • $\text{Angle manquant} = 180^\circ - (\text{angle 1} + \text{angle 2})$.

Exemple : Dans un triangle DEF, si $\widehat{D} = 50^\circ$ et $\widehat{E} = 70^\circ$, alors $\widehat{F} = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

La propriété de la somme des angles est toujours vraie, mais certains triangles ont des propriétés supplémentaires :

• Triangle isocèle : Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur et les angles opposés à ces côtés sont égaux.
  • Si ABC est isocèle en A (AB = AC), alors $\widehat{B} = \widehat{C}$. Ces angles sont appelés les angles à la base.
• Triangle équilatéral : Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur. Par conséquent, ses trois angles sont égaux.
  • Chaque angle d'un triangle équilatéral mesure $180^\circ / 3 = 60^\circ$.
• Triangle rectangle : Un triangle rectangle a un angle droit ($90^\circ$).
  • Les deux autres angles sont aigus et leur somme est $90^\circ$ (ils sont complémentaires).
  • Si ABC est rectangle en A, alors $\widehat{A} = 90^\circ$, et $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$.

Pour résoudre des problèmes de calcul d'angles, suivez ces étapes :

1. Identifier les informations données (mesures d'angles, droites parallèles, types de triangles).
2. Repérer les relations entre les angles (complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet, alternes-internes, correspondants).
3. Appliquer les propriétés connues (somme des angles d'un triangle, propriétés des angles formés par des parallèles).
4. Rédiger clairement vos calculs et justifier chaque étape par la propriété utilisée.
5. Vérifier la cohérence de vos résultats. Par exemple, un angle aigu ne doit pas mesurer plus de $90^\circ$.

Exemple de rédaction : "Dans le triangle ABC, on sait que $\widehat{B} = 40^\circ$ et $\widehat{C} = 60^\circ$. La somme des angles d'un triangle est $180^\circ$. Donc, $\widehat{A} = 180^\circ - (\widehat{B} + \widehat{C}) = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$."