Les calculs sur des grandeurs mesurables

En mathématiques et en sciences, une grandeur est une propriété que l'on peut mesurer. C'est quelque chose qui a une valeur numérique et une unité. Par exemple, la longueur d'une table, la masse d'un cartable ou la durée d'un film sont des grandeurs mesurables.

Mesurer, c'est comparer une grandeur à une grandeur de même nature choisie comme unité de référence.

Exemples de grandeurs :

• Longueur (taille d'une personne, distance entre deux villes)
• Masse (poids d'un objet, quantité de farine)
• Durée (temps passé, âge)
• Température (degré de chaleur)
• Aire (surface d'un terrain)
• Volume (espace occupé par un objet, quantité de liquide)

Pour exprimer la mesure d'une grandeur, nous avons besoin d'une unité de mesure. Par exemple, on ne dit pas juste "la table fait 2", mais "la table fait 2 mètres". Le mètre est l'unité.

Le Système International d'unités (SI) est un système de mesure standardisé utilisé presque partout dans le monde. Il permet à tout le monde de comprendre les mesures de la même manière.

Quelques unités de base du SI :

• Longueur : le mètre (symbole : m)
• Masse : le kilogramme (symbole : kg)
• Temps (Durée) : la seconde (symbole : s)
• Température : le kelvin (symbole : K) ou le degré Celsius (°C) pour l'usage courant.

L'importance de l'unité est capitale : sans elle, un nombre n'a pas de sens pour une grandeur mesurable.

Souvent, on doit changer d'unité pour faciliter les calculs ou pour une meilleure compréhension. C'est ce qu'on appelle la conversion d'unités.

Les unités sont souvent organisées en multiples et sous-multiples de l'unité de base, basés sur des puissances de 10.

Préfixes courants :

• kilo- (k) : $1000 \times$ (ex: 1 kilomètre = 1000 mètres)
• hecto- (h) : $100 \times$
• déca- (da) : $10 \times$
• (unité de base)
• déci- (d) : $0,1 \times$ ou $\frac{1}{10} \times$
• centi- (c) : $0,01 \times$ ou $\frac{1}{100} \times$
• milli- (m) : $0,001 \times$ ou $\frac{1}{1000} \times$

Méthodes de conversion :

1. Par multiplication/division :

   • Pour passer d'une grande unité à une petite, on multiplie.
   • Pour passer d'une petite unité à une grande, on divise.
   • Exemple : Convertir 2,5 m en cm. $2,5 \times 100 = 250$ cm.
   • Exemple : Convertir 500 g en kg. $500 \div 1000 = 0,5$ kg.

2. Avec un tableau de conversion : C'est une méthode visuelle très efficace, surtout pour les débutants.

Pour 2,5 m en cm, on place le "2" dans la colonne des mètres et le "5" dans les décimètres. On ajoute des zéros jusqu'à la colonne des centimètres. On lit 250 cm.

L'unité de base de la longueur est le mètre (m). Autres unités courantes :

• Kilomètre (km) : $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ (pour les grandes distances)
• Hectomètre (hm) : $1 \text{ hm} = 100 \text{ m}$
• Décamètre (dam) : $1 \text{ dam} = 10 \text{ m}$
• Décimètre (dm) : $1 \text{ dm} = 0,1 \text{ m}$
• Centimètre (cm) : $1 \text{ cm} = 0,01 \text{ m}$ (pour les petites mesures, comme une règle)
• Millimètre (mm) : $1 \text{ mm} = 0,001 \text{ m}$ (pour les très petites mesures)

Le choix de l'unité dépend de ce que l'on mesure. On n'utilise pas les mêmes unités pour la taille d'une fourmi et la distance Paris-Marseille.

Tableau de conversion des longueurs :

Exemple : Convertir 3,7 km en mètres. $3,7 \text{ km} = 3,7 \times 1000 \text{ m} = 3700 \text{ m}$.

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. C'est comme la distance que l'on parcourt si l'on fait le tour de la figure.

• Périmètre d'un polygone quelconque : Il suffit d'additionner les longueurs de tous ses côtés.

  • Si un triangle a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm, son périmètre est $3+4+5 = 12$ cm.

• Périmètre du carré : Un carré a 4 côtés égaux. Si $c$ est la longueur d'un côté.

  • Formule : $P = 4 \times c$

• Périmètre du rectangle : Un rectangle a 2 longueurs ($L$) et 2 largeurs ($l$).

  • Formule : $P = 2 \times (L + l)$ ou $P = 2L + 2l$

• Périmètre du cercle (circonférence) : Pour un cercle, on parle de circonférence. Elle dépend du rayon ($r$) ou du diamètre ($d$). On utilise le nombre pi ($\pi$) qui vaut environ 3,14.

  • Formule : $C = 2 \times \pi \times r$ ou $C = \pi \times d$

Pour résoudre des problèmes, il faut :

1. Identifier les grandeurs connues et inconnues.
2. Choisir les bonnes formules.
3. Effectuer les conversions si nécessaire pour avoir des unités homogènes.
4. Calculer et vérifier le résultat.

Exemple : Un jardin rectangulaire mesure 15 m de long et 8 m de large. On veut l'entourer d'une clôture. Quelle longueur de clôture faut-il ? C'est le périmètre du rectangle : $P = 2 \times (15 + 8) = 2 \times 23 = 46$ m. Il faut 46 m de clôture.

L'estimation est utile pour vérifier si un résultat est plausible. Par exemple, si vous trouvez un périmètre de 1000 km pour un jardin, il y a sûrement une erreur !

L'aire est la mesure de la surface occupée par une figure. L'unité de base est le mètre carré (m²). Un mètre carré est l'aire d'un carré de 1 m de côté.

Les unités d'aire se convertissent par pas de $100$ (car $(10)^2 = 100$).

• $1 \text{ km}^2 = 1 \text{ 000 000 m}^2$ (million de m²)
• $1 \text{ dm}^2 = 0,01 \text{ m}^2$
• $1 \text{ cm}^2 = 0,0001 \text{ m}^2$
• $1 \text{ mm}^2 = 0,000001 \text{ m}^2$

Unités agraires (pour les surfaces de terre) :

• Hectare (ha) : $1 \text{ ha} = 100 \text{ ares} = 10 \text{ 000 m}^2$ (c'est un carré de 100 m de côté)
• Are (a) : $1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2$

Tableau de conversion des aires (chaque colonne est divisée en deux) :

Exemple : Convertir 2,5 m² en cm². Dans le tableau, on place le '2' dans la colonne de droite des m². On remplit de zéros jusqu'à la colonne de droite des cm². $2,5 \text{ m}^2 = 25 \text{ 000 cm}^2$.

• Aire du carré : Si $c$ est la longueur d'un côté.

  • Formule : $A = c \times c = c^2$

• Aire du rectangle : Si $L$ est la longueur et $l$ la largeur.

  • Formule : $A = L \times l$

• Aire du triangle : Si $b$ est la longueur de la base et $h$ la hauteur correspondante.

  • Formule : $A = \frac{b \times h}{2}$

• Aire du disque (cercle) : Si $r$ est le rayon.

  • Formule : $A = \pi \times r \times r = \pi \times r^2$

Pour des figures complexes, on peut utiliser la décomposition. Cela signifie qu'on découpe la figure en formes plus simples (rectangles, triangles) dont on sait calculer l'aire, puis on additionne ou soustrait les aires obtenues.

Exemple : Calculer l'aire d'un mur de 4 m de haut sur 6 m de long, percé d'une fenêtre de 2 m de haut sur 1,5 m de large.

1. Aire du mur (rectangle) : $A_{mur} = 6 \text{ m} \times 4 \text{ m} = 24 \text{ m}^2$.
2. Aire de la fenêtre (rectangle) : $A_{fenetre} = 1,5 \text{ m} \times 2 \text{ m} = 3 \text{ m}^2$.
3. Aire à peindre : $A_{peindre} = A_{mur} - A_{fenetre} = 24 - 3 = 21 \text{ m}^2$.

Le volume est l'espace occupé par un objet. L'unité de base est le mètre cube (m³). Un mètre cube est le volume d'un cube de 1 m de côté.

Les unités de volume se convertissent par pas de $1000$ (car $(10)^3 = 1000$).

• $1 \text{ km}^3 = 1 \text{ 000 000 000 m}^3$ (milliard de m³)
• $1 \text{ dm}^3 = 0,001 \text{ m}^3$
• $1 \text{ cm}^3 = 0,000001 \text{ m}^3$

Capacité : La capacité mesure le volume de liquide qu'un récipient peut contenir. L'unité de base est le litre (L).

Relation fondamentale entre volume et capacité : ==$1 \text{ litre (L)} = 1 \text{ décimètre cube (dm}^3\text{)}$==

Autres unités de capacité :

• Hectolitre (hL) : $1 \text{ hL} = 100 \text{ L}$
• Décalitre (daL) : $1 \text{ daL} = 10 \text{ L}$
• Décilitre (dL) : $1 \text{ dL} = 0,1 \text{ L}$
• Centilitre (cL) : $1 \text{ cL} = 0,01 \text{ L}$
• Millilitre (mL) : $1 \text{ mL} = 0,001 \text{ L}$ (équivaut à $1 \text{ cm}^3$)

Tableau de conversion des volumes et capacités (chaque colonne est divisée en trois) :

Exemple : Convertir 3,2 m³ en litres. D'abord, 3,2 m³ = 3200 dm³. Comme 1 dm³ = 1 L, alors 3200 dm³ = 3200 L.

• Volume du pavé droit (parallélépipède rectangle) : Un pavé droit a une longueur ($L$), une largeur ($l$) et une hauteur ($h$).

  • Formule : $V = L \times l \times h$
  • On peut aussi dire $V = \text{Aire de la base} \times h$

• Volume du cube : Un cube est un pavé droit dont tous les côtés sont égaux (arête $a$).

  • Formule : $V = a \times a \times a = a^3$

Les problèmes de volume et de capacité impliquent souvent des situations de remplissage, de vidange ou de comparaison.

Exemple : Une piscine a une forme de pavé droit de 10 m de long, 5 m de large et 2 m de profondeur. Quel est son volume en m³ ? Combien de litres d'eau peut-elle contenir ?

1. Volume en m³ : $V = L \times l \times h = 10 \text{ m} \times 5 \text{ m} \times 2 \text{ m} = 100 \text{ m}^3$.
2. Volume en litres : $100 \text{ m}^3 = 100 \times 1000 \text{ dm}^3 = 100 \text{ 000 dm}^3$. Comme $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$, la piscine peut contenir $100 \text{ 000 L}$ d'eau.

La masse est la quantité de matière d'un corps. L'unité de base est le kilogramme (kg). C'est la seule unité de base du SI qui contient un préfixe.

Autres unités de masse :

• Tonne (t) : $1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$ (pour les masses très importantes)
• Quintal (q) : $1 \text{ q} = 100 \text{ kg}$
• Hectogramme (hg) : $1 \text{ hg} = 0,1 \text{ kg} = 100 \text{ g}$
• Décagramme (dag) : $1 \text{ dag} = 0,01 \text{ kg} = 10 \text{ g}$
• Gramme (g) : $1 \text{ g} = 0,001 \text{ kg}$ (unité courante pour les petites masses)
• Décigramme (dg) : $1 \text{ dg} = 0,1 \text{ g}$
• Centigramme (cg) : $1 \text{ cg} = 0,01 \text{ g}$
• Milligramme (mg) : $1 \text{ mg} = 0,001 \text{ g}$ (pour les masses très faibles)

Tableau de conversion des masses :

Exemple : Convertir 350 g en kg. $350 \text{ g} = 350 \div 1000 \text{ kg} = 0,350 \text{ kg}$.

La durée est le temps qui s'écoule. L'unité de base du SI est la seconde (s).

Les conversions de durée ne sont pas toujours basées sur 10.

• $1 \text{ minute (min)} = 60 \text{ secondes}$
• $1 \text{ heure (h)} = 60 \text{ minutes} = 3600 \text{ secondes}$
• $1 \text{ jour (j)} = 24 \text{ heures}$
• $1 \text{ semaine} = 7 \text{ jours}$
• $1 \text{ mois}$ (environ 30 ou 31 jours, 28 ou 29 pour février)
• $1 \text{ année} = 12 \text{ mois} \approx 365,25 \text{ jours}$

Attention aux conversions en base 60 pour les minutes et secondes ! Pour convertir des heures en minutes, on multiplie par 60. Pour des minutes en secondes, on multiplie par 60. Pour des secondes en minutes, on divise par 60. Pour des minutes en heures, on divise par 60.

Exemple : Convertir 1,5 h en minutes. $1,5 \times 60 = 90$ minutes. Exemple : Convertir 150 secondes en minutes. $150 \div 60 = 2,5$ minutes. Exemple : Exprimer 3h 25min en minutes : $3 \times 60 + 25 = 180 + 25 = 205$ minutes.

• Opérations sur les masses : S'additionnent et se soustraient comme des nombres "normaux" une fois qu'elles sont dans la même unité.

• Calculs d'horaires et durées écoulées :

  • Pour trouver une heure de fin : heure de début + durée.
  • Pour trouver une durée écoulée : heure de fin - heure de début.

Exemple : Un train part à 8h45 et le trajet dure 2h30. À quelle heure arrive-t-il ? 8h45 + 2h30 = 10h75. Or 75 min = 1h15 min. Donc, 10h75 = 10h + 1h + 15min = 11h15. Le train arrive à 11h15.

Exemple : Un élève pèse 45,5 kg. Son cartable pèse 3,2 kg. Quelle est la masse totale ? $45,5 \text{ kg} + 3,2 \text{ kg} = 48,7 \text{ kg}$.