Les expressions litterales

Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres. Ces lettres sont appelées des variables.

On utilise les expressions littérales pour :

• Décrire des formules (ex: l'aire d'un rectangle $L \times l$).
• Généraliser des propriétés (ex: la commutativité de l'addition $a+b = b+a$).
• Résoudre des problèmes où l'on ne connaît pas encore la valeur de certaines quantités.

Exemples simples :

• $2x$ (deux fois un nombre $x$)
• $a+3$ (un nombre $a$ augmenté de 3)
• $5y - 7$ (cinq fois un nombre $y$, moins 7)
• $x^2$ (un nombre $x$ multiplié par lui-même)

Pour bien comprendre les expressions littérales, voici quelques termes importants :

• Variable : C'est la lettre qui représente un nombre inconnu ou variable. On utilise souvent $x$, $y$, $a$, $b$, etc.
  • Exemple : Dans $3x + 5$, la variable est $x$.
• Terme : Une expression littérale est souvent composée de plusieurs termes, séparés par des signes $+$ ou $-$. Un terme peut être un nombre, une variable, ou le produit d'un nombre et d'une variable.
  • Exemple : Dans $3x + 5$, $3x$ est un terme et $5$ est un autre terme.
• Coefficient : C'est le nombre qui multiplie une variable dans un terme.
  • Exemple : Dans $3x$, le coefficient est $3$. Dans $y$, le coefficient est $1$ (car $y = 1y$).

L'expression littérale a une valeur non fixée tant que l'on ne connaît pas la valeur des lettres.

C'est l'étape de la substitution. On remplace la variable par sa valeur numérique.

Exemple 1 : Calculer la valeur de l'expression $A = 5x + 2$ pour $x = 3$.

1. On remplace $x$ par $3$ : $A = 5 \times 3 + 2$
2. On respecte les priorités opératoires (multiplication avant addition) : $A = 15 + 2$
3. On calcule : $A = 17$

Exemple 2 : Calculer la valeur de $B = 10 - 2y$ pour $y = 4$.

1. $B = 10 - 2 \times 4$
2. $B = 10 - 8$
3. $B = 2$

On peut calculer la valeur d'une expression littérale pour plusieurs valeurs de la variable. Cela est souvent présenté sous forme de tableau de valeurs.

Exemple : Soit l'expression $E = 3a - 1$. Compléter le tableau.

Ce tableau montre l'impact du changement de variable sur le résultat de l'expression.

Lorsque l'expression contient plusieurs variables, il faut remplacer chaque lettre par sa valeur correspondante.

Exemple 1 : Calculer la valeur de $P = a + b$ pour $a = 7$ et $b = 12$.

1. $P = 7 + 12$
2. $P = 19$

Exemple 2 : Calculer la valeur de $K = 2x - 3y$ pour $x = 5$ et $y = 1$.

1. $K = 2 \times 5 - 3 \times 1$
2. $K = 10 - 3$
3. $K = 7$

Exemple 3 : Calculer $S = x^2 + 2x - 4$ pour $x = 3$.

1. $S = 3^2 + 2 \times 3 - 4$
2. $S = 9 + 6 - 4$
3. $S = 15 - 4$
4. $S = 11$

Le signe de multiplication ( $\times$ ) peut être omis dans certains cas :

• Entre un nombre et une lettre :
  • $3 \times x$ s'écrit $3x$
  • $7 \times b$ s'écrit $7b$
• Entre deux lettres :
  • $a \times b$ s'écrit $ab$
  • $x \times y$ s'écrit $xy$
• Devant une parenthèse :
  • $5 \times (x+2)$ s'écrit $5(x+2)$
  • $a \times (b-c)$ s'écrit $a(b-c)$

Attention : On ne supprime jamais le signe $\times$ entre deux nombres ! $3 \times 5$ reste $3 \times 5$, et non $35$.

Pour une meilleure clarté et uniformité :

• Le nombre s'écrit toujours avant la lettre : On écrit $3x$ et non $x3$.
• Les lettres sont généralement écrites par ordre alphabétique : On écrit $ab$ et non $ba$ (bien que les deux soient corrects mathématiquement grâce à la commutativité).
• Pour les multiplications répétées d'une même lettre, on utilise les exposants :
  • $x \times x$ s'écrit $x^2$ (on lit "x au carré")
  • $y \times y \times y$ s'écrit $y^3$ (on lit "y au cube")
  • $a \times a \times a \times a$ s'écrit $a^4$ (on lit "a puissance 4")

Exemple de simplification : $5 \times y \times 2 \times x \times x$ peut être simplifié en $10x^2y$. (On regroupe les nombres : $5 \times 2 = 10$. On regroupe les $x$ : $x \times x = x^2$. On garde $y$.)

• Ne pas supprimer le signe $\times$ entre deux nombres : $2 \times 5$ n'est pas $25$.
• Ne pas confondre la multiplication et l'addition :
  • $x+x = 2x$ (deux fois $x$)
  • $x \times x = x^2$ (x au carré)
• Faire attention aux coefficients 1 : $1x$ s'écrit simplement $x$. De même $1(y+3)$ s'écrit $(y+3)$.

Le périmètre est la longueur du contour d'une figure.

• Carré de côté $c$ :
  • $P = c + c + c + c$
  • $P = 4c$
• Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ :
  • $P = L + l + L + l$
  • $P = 2L + 2l$ ou $P = 2(L+l)$
• Triangle équilatéral de côté $a$ :
  • $P = a + a + a$
  • $P = 3a$

Exemple : Un rectangle a une longueur $L = 8$ cm et une largeur $l = 3$ cm. Son périmètre est $P = 2(8+3) = 2 \times 11 = 22$ cm.

L'aire est la mesure de la surface d'une figure.

• Carré de côté $c$ :
  • $A = c \times c$
  • $A = c^2$
• Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ :
  • $A = L \times l$
  • $A = Ll$

Exemple : Un carré de côté $c = 5$ cm a une aire $A = 5^2 = 25$ cm$^2$.

Le volume est la mesure de l'espace occupé par un solide.

• Cube d'arête $a$ :
  • $V = a \times a \times a$
  • $V = a^3$
• Pavé droit de longueur $L$, largeur $l$ et hauteur $h$ :
  • $V = L \times l \times h$
  • $V = Llh$

Exemple : Un pavé droit a pour dimensions $L=10$ cm, $l=4$ cm et $h=2$ cm. Son volume est $V = 10 \times 4 \times 2 = 80$ cm$^3$.

Il s'agit d'identifier chaque étape et l'ordre dans lequel elles sont effectuées. On choisit généralement une variable, souvent $x$, pour représenter le "nombre de départ".

Exemple de programme de calcul :

1. Choisir un nombre.
2. Le multiplier par 3.
3. Ajouter 5 au résultat.

On traduit chaque étape en utilisant la variable choisie et les opérations mathématiques. Il est crucial d'utiliser des parenthèses si l'ordre des opérations est modifié.

Traduction du programme précédent :

1. Choisir un nombre : Soit $x$ ce nombre.
2. Le multiplier par 3 : $x \times 3$ ou $3x$.
3. Ajouter 5 au résultat : $3x + 5$. L'expression littérale est donc $3x + 5$.

Autre exemple :

1. Choisir un nombre.
2. Lui ajouter 4.
3. Multiplier le résultat par 2.

Traduction :

1. Soit $x$ le nombre.
2. Lui ajouter 4 : $x+4$.
3. Multiplier le résultat par 2 : $(x+4) \times 2$ ou $2(x+4)$. Les parenthèses sont essentielles ici pour indiquer que c'est le résultat de l'addition qui est multiplié par 2. Sans parenthèses, $x+4 \times 2$ signifierait $x+8$.

Pour vérifier si l'expression littérale est correcte, on peut la tester avec un nombre :

1. Choisir un nombre (par exemple $x=10$).
2. Appliquer le programme de calcul avec ce nombre.
3. Calculer la valeur de l'expression littérale pour ce même nombre.
4. Les deux résultats doivent être identiques.

Vérification de l'exemple "Multiplier par 3, puis ajouter 5" ($3x+5$) :

• Avec le programme :
  1. Je choisis 10.
  2. Je multiplie par 3 : $10 \times 3 = 30$.
  3. J'ajoute 5 : $30 + 5 = 35$.
• Avec l'expression $3x+5$ pour $x=10$ : $3 \times 10 + 5 = 30 + 5 = 35$. Les résultats sont identiques, l'expression est correcte !