Les nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$, où $a$ est un nombre entier relatif (positif, négatif ou zéro) et $b$ est un nombre entier relatif non nul. En d'autres termes, un nombre rationnel est le résultat d'une division d'un entier par un autre entier (différent de zéro).

Tous les nombres que nous utilisons au quotidien et qui peuvent être exprimés comme une fraction sont des rationnels.

Exemples de nombres rationnels :

• $\frac{1}{2}$ (un demi)
• $3$ (car $3 = \frac{3}{1}$)
• $-0,75$ (car $-0,75 = -\frac{3}{4}$)
• $\frac{10}{3}$ (qui est environ $3,333...$)
• $0$ (car $0 = \frac{0}{1}$)

Les nombres rationnels peuvent être représentés de différentes manières :

• Écriture fractionnaire : C'est la définition même du nombre rationnel. Par exemple, $\frac{5}{4}$, $-\frac{2}{3}$. Une fraction peut avoir plusieurs écritures pour le même nombre rationnel. Par exemple, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{5}{10}$. On privilégie souvent la fraction irréductible (simplifiée au maximum).

• Écriture décimale : Pour obtenir l'écriture décimale, on effectue la division du numérateur par le dénominateur.

  • Décimale finie : La division se termine. Ex: $\frac{1}{2} = 0,5$; $\frac{3}{4} = 0,75$.
  • Décimale périodique (ou illimitée) : La division ne se termine jamais, mais la séquence de chiffres après la virgule se répète. Ex: $\frac{1}{3} = 0,333...$ (on note parfois $0,\overline{3}$); $\frac{10}{3} = 3,333...$. Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou périodique.

• Placement sur une droite graduée : Pour placer un nombre rationnel $\frac{a}{b}$ sur une droite graduée :

  1. On divise l'unité (l'espace entre $0$ et $1$) en $b$ parts égales.
  2. On reporte $a$ de ces parts à partir de $0$. Si $a$ est positif, on va vers la droite ; si $a$ est négatif, on va vers la gauche.

  Exemple : Pour placer $\frac{3}{4}$, on divise l'unité en 4 et on prend 3 parts.

• Les nombres entiers sont des rationnels : Tout nombre entier peut s'écrire sous la forme d'une fraction avec un dénominateur de $1$. Ex: $5 = \frac{5}{1}$, $-2 = \frac{-2}{1}$. Donc, l'ensemble des nombres entiers est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels.

• Les nombres décimaux sont des rationnels : Tout nombre décimal (dont l'écriture décimale est finie) peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$ ($10, 100, 1000$, etc.). Ex: $0,25 = \frac{25}{100}$, $1,5 = \frac{15}{10}$. Donc, l'ensemble des nombres décimaux est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels.

• Distinction entre décimal et rationnel non décimal : Un nombre décimal a une écriture décimale finie. Un nombre rationnel non décimal a une écriture décimale périodique (qui ne se termine jamais). Ex: $\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel, mais ce n'est pas un nombre décimal car $0,333...$ n'est pas fini. Tous les décimaux sont des rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas des décimaux.

Pour comparer deux fractions qui ont le même dénominateur (positif) : La fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple : Compare $\frac{3}{5}$ et $\frac{2}{5}$. Comme $3 > 2$, alors $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$. C'est logique : si tu coupes un gâteau en 5 parts, prendre 3 parts, c'est plus que prendre 2 parts.

Attention aux nombres négatifs : Compare $-\frac{1}{4}$ et $-\frac{3}{4}$. Comme $-1 > -3$, alors $-\frac{1}{4} > -\frac{3}{4}$.

Pour comparer deux fractions qui ont le même numérateur (positif) : La fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

Exemple : Compare $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{4}$. Comme $2 < 4$, alors $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$. C'est logique : si tu coupes un gâteau en 2 parts, une part est plus grande qu'une part si le gâteau est coupé en 4.

Pièges courants :

• Numérateur négatif : Compare $\frac{-2}{3}$ et $\frac{-2}{5}$. On peut écrire $\frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$ et $\frac{-2}{5} = -\frac{2}{5}$. Comme $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ (car $3 < 5$), alors $-\frac{2}{3} < -\frac{2}{5}$. (Plus un nombre négatif est proche de zéro, plus il est grand.)

Pour comparer des fractions qui n'ont ni le même numérateur ni le même dénominateur, il faut les réduire au même dénominateur.

1. Trouver un dénominateur commun : C'est un multiple commun aux deux dénominateurs. Le plus simple est souvent le Produit des Dénominateurs, mais il est préférable de chercher le Plus Petit Commun Multiple (PPCM).
2. Transformer les fractions : Multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le même nombre pour obtenir le dénominateur commun.
3. Comparer les nouvelles fractions : Une fois qu'elles ont le même dénominateur, on compare leurs numérateurs.

Exemple : Compare $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$.

1. Dénominateurs : $3$ et $4$. Un dénominateur commun est $3 \times 4 = 12$. Le PPCM de 3 et 4 est 12.
2. Transformer les fractions : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
3. Comparer : Comme $8 < 9$, alors $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$. Donc, $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Ranger des nombres, c'est les classer par ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant (du plus grand au plus petit).

Méthodes :

• Mettre au même dénominateur : C'est la méthode la plus fiable pour toutes les fractions.
• Conversion en décimal : Si les divisions sont faciles et ne donnent pas trop de chiffres après la virgule (ou des périodes évidentes), on peut convertir en décimal pour comparer.
• Utilisation de la droite graduée : Placer les nombres sur une droite graduée permet de visualiser leur ordre. Le nombre le plus à gauche est le plus petit.

Exemple : Ranger par ordre croissant : $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{4}$.

1. Dénominateur commun pour $2, 3, 4$ est $12$ (PPCM).
2. Transformation : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}$ $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
3. Comparaison des numérateurs : $3 < 6 < 8$.
4. Ordre croissant : $\frac{3}{12} < \frac{6}{12} < \frac{8}{12}$, soit $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$.

Encadrement de nombres rationnels : Encadrer un nombre, c'est le situer entre deux autres nombres. Ex: $\frac{1}{2}$ est entre $0$ et $1$. Plus précisément, $0,4 < \frac{1}{2} < 0,6$. On peut aussi dire que $\frac{1}{2}$ est entre $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{3}$.

Pour additionner ou soustraire des fractions qui ont le même dénominateur : On additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun. $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

Exemples :

• $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7}$
• $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9}$
• N'oubliez pas de simplifier le résultat si possible ! $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Pour additionner ou soustraire des fractions qui ont des dénominateurs différents :

1. Il faut d'abord les réduire au même dénominateur (utiliser le PPCM ou le produit des dénominateurs).
2. Ensuite, on applique la règle d'addition ou de soustraction des fractions de même dénominateur.

Exemple : Calcule $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.

1. Dénominateur commun pour $2$ et $3$ est $6$.
2. Transformation : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$ $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$
3. Addition : $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$.

Exemple de soustraction : Calcule $\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$.

1. Dénominateur commun pour $4$ et $6$ est $12$ (PPCM).
2. Transformation : $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$ $\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$
3. Soustraction : $\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12}$.

Lorsque l'on mélange des écritures décimales et fractionnaires, on a deux choix :

1. Tout convertir en fraction : C'est souvent la méthode la plus sûre pour avoir un résultat exact.
2. Tout convertir en décimal : C'est plus rapide si les divisions sont exactes ou si une approximation est suffisante. Si la fraction donne un nombre décimal périodique, il faut faire attention aux arrondis.

Exemple : Calcule $0,5 + \frac{1}{4}$.

• Méthode 1 (tout en fraction) : $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ Donc, $0,5 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
• Méthode 2 (tout en décimal) : $\frac{1}{4} = 0,25$ Donc, $0,5 + 0,25 = 0,75$. Les deux résultats sont équivalents : $\frac{3}{4} = 0,75$.

Pour multiplier deux fractions : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Exemples :

• $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$
• $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{8}$

Simplification : Il est souvent plus facile de simplifier avant d'effectuer les multiplications si des facteurs communs apparaissent au numérateur et au dénominateur. Exemple : $\frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{2 \times 9}{3 \times 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ Ou en simplifiant avant : $\frac{2}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3} \times 3}{2 \times \cancel{2}} = \frac{1 \times 3}{1 \times 2} = \frac{3}{2}$ (On a simplifié par 2 et par 3).

Produit d'un entier par une fraction : Un entier $N$ peut être écrit $\frac{N}{1}$. Exemple : $5 \times \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{5 \times 2}{1 \times 3} = \frac{10}{3}$.

L'inverse d'un nombre non nul $x$ est le nombre $y$ tel que $x \times y = 1$. L'inverse de $x$ est noté $\frac{1}{x}$.

• Inverse d'une fraction : L'inverse de $\frac{a}{b}$ (où $a \neq 0$ et $b \neq 0$) est $\frac{b}{a}$. On "retourne" la fraction. Exemple : L'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$. En effet, $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{6} = 1$.
• Inverse d'un nombre entier : L'inverse de $5$ (qui est $\frac{5}{1}$) est $\frac{1}{5}$.
• Inverse d'un nombre décimal : L'inverse de $0,5$ (qui est $\frac{1}{2}$) est $\frac{2}{1} = 2$. Attention : le nombre $0$ n'a pas d'inverse.

Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse. $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ (avec $c \neq 0$ et $d \neq 0$)

Exemples :

• $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
• $\frac{5}{7} \div 2 = \frac{5}{7} \div \frac{2}{1} = \frac{5}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{5 \times 1}{7 \times 2} = \frac{5}{14}$

Les mêmes règles de priorité que pour les nombres entiers s'appliquent :

1. Parenthèses (ou crochets) : on effectue d'abord les calculs entre parenthèses.
2. Multiplications et Divisions : de gauche à droite.
3. Additions et Soustractions : de gauche à droite.

Moyen mnémotechnique : PEMDAS (Parenthèses, Exposants, Multiplication, Division, Addition, Soustraction). En 5ème, les exposants ne sont pas encore au programme.

Exemple : Calcule $A = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times (\frac{2}{3} - \frac{1}{6})$.

1. Calculer la parenthèse : $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Donc $A = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}$.
2. Effectuer la multiplication : $\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{4 \times 2} = \frac{3}{8}$. Donc $A = \frac{1}{2} + \frac{3}{8}$.
3. Effectuer l'addition : $\frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$. ==Le résultat est $A = \frac{7}{8}$.==

Les nombres rationnels sont partout dans la vie courante. Pour résoudre un problème :

1. Lire attentivement l'énoncé et identifier les informations clés.
2. Repérer les grandeurs et les unités utilisées.
3. Choisir l'opération ou les opérations nécessaires (addition, soustraction, multiplication, division).
4. Effectuer les calculs en respectant les règles apprises.
5. Interpréter le résultat dans le contexte du problème et vérifier sa cohérence.

Exemple : Un gâteau est coupé en 8 parts égales. Marc en mange $\frac{1}{4}$ et Léa en mange $\frac{3}{8}$. Quelle part du gâteau a été mangée en tout ?

• Part de Marc : $\frac{1}{4}$
• Part de Léa : $\frac{3}{8}$
• Part totale mangée : $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$. En tout, $\frac{5}{8}$ du gâteau ont été mangés.

• Fraction et pourcentage : Une fraction peut représenter une proportion. Pour la transformer en pourcentage, on la multiplie par $100$. Ex: $\frac{1}{2} = 0,5 = 0,5 \times 100 \% = 50 \%$. Ex: $\frac{3}{4} = 0,75 = 0,75 \times 100 \% = 75 \%$.

• Calcul d'une proportion : Pour calculer une fraction de quelque chose, on utilise la multiplication. Ex: Les $\frac{2}{5}$ de $20$ élèves sont des filles. Combien y a-t-il de filles ? Calcul : $\frac{2}{5} \times 20 = \frac{2 \times 20}{5} = \frac{40}{5} = 8$. Il y a 8 filles.

• Application à des situations de la vie courante :

  • Réductions : Un article coûte 60€. Il y a une réduction de $\frac{1}{3}$. Quel est le montant de la réduction ? $60 \times \frac{1}{3} = 20€$.
  • Partages équitables : Partager $15€$ entre 4 amis : $15 \div 4 = \frac{15}{4} = 3,75€$ par personne.

Les nombres rationnels sont indispensables dans de nombreux domaines :

• Recettes de cuisine : "Ajouter $\frac{1}{2}$ tasse de farine", "utiliser $\frac{3}{4}$ litre de lait".
• Partages équitables : Diviser une pizza en parts égales, répartir une somme d'argent.
• Échelles et plans : Sur un plan, "1 cm représente $\frac{1}{100}$ de la taille réelle" (échelle $1:100$).
• Statistiques et probabilités : Calculer des fréquences (fractions du total), exprimer des chances.
• Finance : Taux d'intérêt, parts d'actions.

Maîtriser les nombres rationnels est essentiel pour comprendre et interagir avec le monde qui nous entoure !