Les nombres relatifs

Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe : positif (+) ou négatif (-). Les nombres que tu connaissais avant, comme 1, 2, 3, sont des nombres relatifs positifs (on peut écrire +1, +2, +3).

• Nombres positifs : Ils sont supérieurs à zéro. On peut écrire le signe "+" devant, mais ce n'est pas obligatoire (ex: $5$ ou $+5$).
• Nombres négatifs : Ils sont inférieurs à zéro. On DOIT toujours écrire le signe "-" devant (ex: $-3$, $-10$).
• Zéro (0) n'est ni positif, ni négatif.

Exemples concrets :

• Température : $5^\circ C$ (positif) signifie cinq degrés au-dessus de zéro. $-3^\circ C$ (négatif) signifie trois degrés en dessous de zéro.
• Altitude : Une montagne à $+800$ mètres est $800$m au-dessus du niveau de la mer. Une fosse océanique à $-1000$ mètres est $1000$m en dessous du niveau de la mer.
• Compte bancaire : Un solde de $+150$ € signifie que tu as $150$ € sur ton compte. Un solde de $-20$ € signifie que tu es à découvert de $20$ €.

Une droite graduée est une ligne sur laquelle on a choisi :

• Une origine (le point zéro).
• Un sens (généralement vers la droite pour les nombres positifs).
• Une unité de longueur (l'écart entre $0$ et $1$, par exemple).

Pour placer un nombre relatif :

• Les nombres positifs sont à droite de l'origine.
• Les nombres négatifs sont à gauche de l'origine.

Exemple :

<----|----|----|----|----|----|----|---->
    -3   -2   -1    0   +1   +2   +3

La distance à zéro d'un nombre relatif est la distance entre ce nombre et l'origine $0$ sur la droite graduée. C'est toujours un nombre positif.

• La distance à zéro de $+5$ est $5$.
• La distance à zéro de $-5$ est $5$.
• Deux nombres opposés ont la même distance à zéro.

L'opposé d'un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro mais le signe contraire.

• L'opposé de $+7$ est $-7$.
• L'opposé de $-3$ est $+3$.
• L'opposé de $0$ est $0$.

Sur une droite graduée, deux nombres opposés sont symétriques par rapport à l'origine $0$. La notation pour l'opposé de $x$ est $-x$. Par exemple, l'opposé de $+5$ est $-(+5) = -5$. L'opposé de $-4$ est $-(-4) = +4$.

C'est ce que tu sais déjà faire ! Pour comparer deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.

• $8 > 3$ (8 est plus grand que 3)
• $12 < 15$ (12 est plus petit que 15)

C'est un peu différent. Pour comparer deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus PETITE distance à zéro. Il est le plus proche de zéro sur la droite graduée.

• $-2 > -5$ (car $-2$ est plus proche de $0$ que $-5$)
• $-10 < -3$ (car $-10$ est plus éloigné de $0$ que $-3$)

C'est la règle la plus simple :

• Tout nombre positif est toujours supérieur à tout nombre négatif.
  • $+5 > -100$
  • $1 > -0.001$
• Zéro est plus grand que n'importe quel nombre négatif et plus petit que n'importe quel nombre positif.
  • $0 > -7$
  • $0 < +2$

Pour ranger des nombres relatifs (par ordre croissant ou décroissant), une bonne méthode est de les placer mentalement (ou sur papier) sur une droite graduée.

• Ordre croissant : du plus petit au plus grand (de gauche à droite sur la droite graduée).
• Ordre décroissant : du plus grand au plus petit (de droite à gauche sur la droite graduée).

Exemple : Ranger les nombres $-3$; $5$; $0$; $-8$; $2$ par ordre croissant.

1. Identifie les négatifs : $-3$, $-8$. Le plus petit (le plus éloigné de $0$) est $-8$.
2. Identifie le zéro : $0$.
3. Identifie les positifs : $5$, $2$. Le plus petit est $2$. Ordre croissant : $-8 < -3 < 0 < 2 < 5$.

1. Le signe du résultat est le même que le signe des nombres.
2. La distance à zéro du résultat est la somme des distances à zéro des nombres.

• Exemple 1 : $(+3) + (+5)$
  • Même signe : $+$
  • Distances à zéro : $3+5=8$
  • Résultat : $+8$ (ou $8$)
• Exemple 2 : $(-3) + (-5)$
  • Même signe : $-$
  • Distances à zéro : $3+5=8$
  • Résultat : $-8$

1. Le signe du résultat est celui du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
2. La distance à zéro du résultat est la différence entre la plus grande et la plus petite distance à zéro.

• Exemple 1 : $(+7) + (-4)$
  • Distances à zéro : $7$ et $4$. La plus grande est $7$ (pour $+7$).
  • Signe du résultat : $+$
  • Différence des distances à zéro : $7-4=3$
  • Résultat : $+3$ (ou $3$)
• Exemple 2 : $(-7) + (+4)$
  • Distances à zéro : $7$ et $4$. La plus grande est $7$ (pour $-7$).
  • Signe du résultat : $-$
  • Différence des distances à zéro : $7-4=3$
  • Résultat : $-3$

Soustraire un nombre relatif, c'est ajouter son opposé. La règle est : $a - b = a + (-b)$.

• Exemple 1 : $(+5) - (+3)$
  • On transforme en addition : $(+5) + (-3)$
  • On applique la règle d'addition de signes différents : $(+5) + (-3) = +2$ (ou $2$)
• Exemple 2 : $(+5) - (-3)$
  • On transforme en addition : $(+5) + (+3)$
  • On applique la règle d'addition de même signe : $(+5) + (+3) = +8$ (ou $8$)
• Exemple 3 : $(-2) - (+6)$
  • On transforme en addition : $(-2) + (-6)$
  • On applique la règle d'addition de même signe : $(-2) + (-6) = -8$

On peut simplifier l'écriture des calculs en supprimant les parenthèses inutiles et certains signes.

• Un signe $+$ devant une parenthèse ne change pas le signe du nombre à l'intérieur :
  • $+(+a) = +a$
  • $+(-a) = -a$
• Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe du nombre à l'intérieur (c'est prendre l'opposé) :
  • $-(+a) = -a$
  • $-(-a) = +a$

Exemples :

• $(+3) + (-5) = 3 - 5 = -2$
• $(-4) - (-7) = -4 + 7 = 3$
• $8 + (-2) - (+6) = 8 - 2 - 6 = 6 - 6 = 0$

La règle des signes est la même pour la multiplication et la division.

• Produit de deux nombres de même signe : le résultat est positif.
  • $(+) \times (+) = (+)$
  • $(-) \times (-) = (+)$
• Produit de deux nombres de signes différents : le résultat est négatif.
  • $(+) \times (-) = (-)$
  • $(-) \times (+) = (-)$

Mémorisation : "Les amis de mes amis sont mes amis" ($+ \times + = +$). "Les ennemis de mes ennemis sont mes amis" ($- \times - = +$). "Les amis de mes ennemis sont mes ennemis" ($+ \times - = -$). "Les ennemis de mes amis sont mes ennemis" ($- \times + = -$).

Exemples :

• $(+3) \times (+5) = +15$
• $(-3) \times (-5) = +15$
• $(+3) \times (-5) = -15$
• $(-3) \times (+5) = -15$

Pour multiplier plusieurs nombres relatifs :

1. Détermine le signe du produit :
   • Compte le nombre de facteurs négatifs.
   • Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.
   • Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.
2. Calcule la valeur absolue (la distance à zéro) du produit en multipliant toutes les distances à zéro.

Exemple : $(-2) \times (+3) \times (-4) \times (-1)$

1. Facteurs négatifs : $-2$, $-4$, $-1$ (il y en a 3, c'est un nombre impair). Le signe du produit sera donc $-$.
2. Valeur absolue : $2 \times 3 \times 4 \times 1 = 24$.
3. Résultat : $-24$.

Les règles des signes sont identiques à celles de la multiplication :

• Quotient de deux nombres de même signe : le résultat est positif.
  • $(+) \div (+) = (+)$
  • $(-) \div (-) = (+)$
• Quotient de deux nombres de signes différents : le résultat est négatif.
  • $(+) \div (-) = (-)$
  • $(-) \div (+) = (-)$

Attention : La division par zéro est impossible.

Exemples :

• $(+15) \div (+3) = +5$
• $(-15) \div (-3) = +5$
• $(+15) \div (-3) = -5$
• $(-15) \div (+3) = -5$

Les règles d'addition, soustraction, multiplication et division s'appliquent de la même manière aux fractions avec des nombres relatifs.

• Exemple (multiplication) : $\left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{5}{7}\right) = -\frac{2 \times 5}{3 \times 7} = -\frac{10}{21}$
• Exemple (division) : $\left(-\frac{1}{2}\right) \div \left(-\frac{3}{4}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{4}{3}\right) = +\frac{1 \times 4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

L'ordre des opérations (PEMDAS/Priorités) reste le même, mais il faut appliquer les règles des signes pour chaque étape.

1. Parenthèses (et crochets)
2. Exposants (si tu en as, mais pas au programme 5ème)
3. Multiplications et Divisions (de gauche à droite)
4. Additions et Soustractions (de gauche à droite)

Exemple complexe : $A = -5 + (-3) \times (7 - (4 + (-2)))$

1. Parenthèse la plus intérieure : $(4 + (-2)) = 4 - 2 = 2$
2. $A = -5 + (-3) \times (7 - 2)$
3. Deuxième parenthèse : $(7 - 2) = 5$
4. $A = -5 + (-3) \times 5$
5. Multiplication : $(-3) \times 5 = -15$
6. $A = -5 + (-15)$
7. Addition : $-5 - 15 = -20$ Donc $A = -20$.

Lire attentivement l'énoncé pour traduire la situation en calculs avec des nombres relatifs.

1. Identifier les grandeurs positives et négatives.
2. Choisir le bon type d'opération (addition, soustraction, multiplication, division).
3. Effectuer les calculs en respectant les règles des signes et les priorités.
4. Vérifier la cohérence du résultat avec la situation du problème.

Exemple : Un sous-marin est à $-150$ mètres. Il remonte de $30$ mètres, puis redescend de $70$ mètres. Quelle est sa nouvelle profondeur ?

• Profondeur initiale : $-150$ m
• Remonte de $30$ m : $+30$ m
• Redescend de $70$ m : $-70$ m
• Calcul : $-150 + 30 - 70 = -120 - 70 = -190$
• Nouvelle profondeur : $-190$ mètres.

Les nombres relatifs sont partout !

• Températures : Météo, congélateur (ex: $-18^\circ C$).
• Budgets / Comptes bancaires : Gain ($+$), perte ($-$), découvert ($-$).
• Altitudes / Profondeurs : Montagnes ($+$), fosses océaniques ($-$), niveau de la mer ($0$).
• Dates : Avant J.C. ($-$), après J.C. ($+$).
• Gains et pertes de points : Dans un jeu, un quiz.
• Niveaux d'ascenseur : Sous-sol ($-1$, $-2$), rez-de-chaussée ($0$), étages supérieurs ($+1$, $+2$).

Comprendre les nombres relatifs permet de mieux interpréter ces situations et de modéliser le monde réel.