Les statistiques

La statistique est une science qui permet de collecter, organiser, analyser et interpréter des données pour comprendre des phénomènes. C'est un outil très utile pour prendre des décisions ou pour mieux connaître une population.

Exemples d'utilisation dans la vie courante :

• Connaître le nombre d'élèves qui aiment le football dans votre classe.
• Savoir quel est le film le plus vu au cinéma la semaine dernière.
• Évaluer la taille moyenne des habitants d'une ville.
• Comprendre l'évolution du temps qu'il fait chaque saison.

Objectifs des statistiques :

• Décrire des populations ou des phénomènes.
• Identifier des tendances ou des particularités.
• Faire des prévisions (par exemple, la météo).
• Aider à la prise de décision (par exemple, savoir quels produits vendre dans un magasin).

Pour bien comprendre les statistiques, il est essentiel de connaître certains mots clés :

• Population : C'est l'ensemble sur lequel porte l'étude statistique. Cela peut être des personnes, des objets, des animaux, etc.
  • Exemple : Tous les élèves d'un collège, toutes les voitures d'une marque.
• Individu (ou unité statistique) : C'est un élément de la population.
  • Exemple : Un élève du collège, une voiture de la marque.
• Caractère (ou variable statistique) : C'est la propriété étudiée sur chaque individu de la population.
  • Exemple : La couleur des yeux des élèves, la consommation d'essence des voitures.
• Valeur du caractère : C'est le résultat possible que peut prendre le caractère pour un individu.
  • Exemple : Pour la couleur des yeux : bleu, vert, marron. Pour la consommation d'essence : 5 L/100 km, 7 L/100 km.

Il existe deux grandes catégories de caractères :

• Caractère qualitatif : Le caractère ne peut pas être mesuré par un nombre. Il décrit une qualité ou une catégorie.
  • Exemples : La couleur préférée (rouge, bleu), le sport pratiqué (football, danse), la matière préférée (maths, français).
• Caractère quantitatif : Le caractère peut être mesuré par un nombre. Il s'agit d'une quantité.
  • Exemples : L'âge (12 ans, 13 ans), la taille (1,50 m, 1,65 m), le nombre de frères et sœurs (0, 1, 2).

Pour faire une étude statistique, il faut d'abord recueillir les informations.

• Sondage : On interroge seulement une partie de la population (un échantillon). C'est souvent utilisé quand la population est très grande.
  • Exemple : Interroger 100 personnes pour connaître l'opinion de la population française.
• Recensement : On interroge tous les individus de la population. C'est plus précis mais parfois difficile à réaliser.
  • Exemple : Demander à tous les élèves de votre classe leur sport préféré.
• Questionnaire simple : C'est un outil pour collecter des données, avec des questions claires et courtes.

Une fois les données collectées, il faut les organiser pour qu'elles soient lisibles.

• Tableau brut : C'est la liste de toutes les réponses telles qu'elles ont été recueillies, sans classement.
  • Exemple : S'il y a 20 élèves et on demande la couleur préférée : bleu, rouge, vert, bleu, jaune, rouge, ...
• Tableau d'effectifs : Il organise les données en comptant le nombre de fois que chaque valeur apparaît. Ce nombre est l'effectif.
  • Exemple :

    Couleur	Effectif
    Bleu	8
    Rouge	5
    Vert	4
    Jaune	3
    Total	20

• Tableau de fréquences : Il indique la proportion de chaque valeur par rapport à l'effectif total.

• Effectif : C'est le nombre d'individus qui possèdent une certaine valeur du caractère.
  • Exemple : Dans le tableau ci-dessus, l'effectif de la couleur "Bleu" est 8.
• Fréquence : C'est la proportion d'un effectif par rapport à l'effectif total.
  • Elle se calcule avec la formule : $\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$
  • La fréquence peut être exprimée :
    • En fraction (non simplifiée ou simplifiée) : $\frac{8}{20}$ ou $\frac{2}{5}$
    • En valeur décimale : $0,4$
    • En pourcentage : $0,4 \times 100 = 40\%$
  • La somme de toutes les fréquences (en décimales ou en pourcentage) doit être égale à 1 ou 100%.

Ces notions sont utiles pour les caractères quantitatifs ordonnés.

• Effectif cumulé (croissant) : Pour une valeur donnée, c'est la somme de l'effectif de cette valeur et de tous les effectifs des valeurs précédentes.
  • Exemple : Pour les notes (sur 20) d'une classe :

    Note	Effectif	Effectif cumulé
    8	2	2
    10	5	$2+5=7$
    12	3	$7+3=10$
    15	4	$10+4=14$
    Total	14
    Cela signifie que 10 élèves ont eu une note inférieure ou égale à 12.

• Fréquence cumulée (croissante) : C'est la somme des fréquences de la valeur et de toutes les fréquences des valeurs précédentes. On peut aussi la calculer en divisant l'effectif cumulé par l'effectif total.
  • Exemple (suite) :

    Note	Effectif	Fréquence	Fréquence cumulée
    8	2	$2/14 \approx 0,14$	$0,14$
    10	5	$5/14 \approx 0,36$	$0,14+0,36=0,50$
    12	3	$3/14 \approx 0,21$	$0,50+0,21=0,71$
    15	4	$4/14 \approx 0,29$	$0,71+0,29=1,00$
    Cela signifie que 71% des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 12.

• L'intérêt des valeurs cumulées est de répondre à des questions du type "Combien d'individus ont... au plus / au moins... ?".

• Diagramme en bâtons : Utilisé pour les caractères quantitatifs discrets (valeurs isolées) ou qualitatifs. Chaque valeur est représentée par un bâton dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence.
  • Construction : Axe horizontal pour les valeurs, axe vertical pour les effectifs/fréquences.
• Diagramme en barres : Similaire au diagramme en bâtons, mais les "bâtons" sont plus larges et peuvent être horizontaux ou verticaux. Souvent utilisé pour les caractères qualitatifs.
  • Lecture et interprétation : Facile de comparer les effectifs de différentes catégories.

• Diagramme circulaire (ou "camembert") : Représente la répartition d'une population en secteurs. L'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif ou à la fréquence. La somme des angles doit faire 360°.
  • Calcul des angles : $\text{Angle} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}} \times 360^\circ$ ou $\text{Angle} = \text{Fréquence de la valeur} \times 360^\circ$
  • Construction : On utilise un rapporteur.
• Diagramme semi-circulaire : Similaire mais pour une répartition sur un demi-cercle (180°). Moins courant.
  • Lecture et interprétation : Permet de voir la part de chaque catégorie par rapport au total.

• Quand utiliser un histogramme : Pour les caractères quantitatifs continus ou groupés en classes (par exemple, les tailles des élèves : [150cm; 160cm[, [160cm; 170cm[).
• Représentation des classes : Chaque classe est représentée par un rectangle. La base du rectangle correspond à l'étendue de la classe sur l'axe horizontal, et la hauteur du rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence) de la classe. Les rectangles sont collés car les classes se suivent.
• Lecture simple : Permet de voir la répartition des données par intervalles.

• Caractère qualitatif ou quantitatif discret avec peu de valeurs : Diagramme en bâtons ou en barres, diagramme circulaire.
• Caractère quantitatif continu ou par classes : Histogramme.
• Avantages et inconvénients :
  • Les diagrammes en bâtons/barres sont utiles pour comparer des effectifs précis.
  • Les diagrammes circulaires montrent bien la part de chaque catégorie dans un tout.
  • Les histogrammes sont bons pour visualiser la répartition des données continues.
• Clarté et lisibilité : Un bon graphique doit avoir un titre, des légendes claires pour les axes et les couleurs. Il doit être facile à comprendre.

La moyenne est l'indicateur le plus connu. Elle représente la valeur "typique" d'une série de données.

• Calcul de la moyenne simple : On additionne toutes les valeurs et on divise par le nombre total de valeurs.
  • Exemple : Notes d'un élève : 12, 15, 9, 14. $\text{Moyenne} = \frac{12 + 15 + 9 + 14}{4} = \frac{50}{4} = 12,5$
• Calcul de la moyenne pondérée : Quand on a un tableau d'effectifs (chaque valeur apparaît plusieurs fois), on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne les produits, puis on divise par l'effectif total.
  • Exemple : Notes et effectifs :

    Note ($x_i$)	Effectif ($n_i$)	$x_i \times n_i$
    8	2	$8 \times 2 = 16$
    10	5	$10 \times 5 = 50$
    12	3	$12 \times 3 = 36$
    15	4	$15 \times 4 = 60$
    Total	14	162
    $\text{Moyenne} = \frac{162}{14} \approx 11,57$

La médiane est la valeur qui partage la série de données en deux parties égales : au moins 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins 50% sont supérieures ou égales.

• Méthode de calcul :
  1. Ordonner la série de données par ordre croissant.
  2. Identifier l'effectif total (N).
  3. Série impaire : Si N est impair, la médiane est la valeur située à la position $\frac{N+1}{2}$.
     • Exemple : 5, 8, 9, 12, 15 (N=5). La médiane est la valeur à la position $\frac{5+1}{2} = 3$. La médiane est 9.
  4. Série paire : Si N est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, situées aux positions $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$.
     • Exemple : 5, 8, 9, 12, 15, 16 (N=6). Les positions centrales sont $\frac{6}{2}=3$ et $\frac{6}{2}+1=4$. Les valeurs sont 9 et 12. La médiane est $\frac{9+12}{2} = 10,5$.
• Interprétation : La médiane n'est pas influencée par les valeurs extrêmes (très grandes ou très petites).

Le mode d'une série statistique est la valeur (ou la modalité) qui a le plus grand effectif. C'est la valeur la plus fréquente.

• Identification du mode dans une série :
  • Exemple : Couleurs préférées : Bleu, Rouge, Vert, Bleu, Jaune, Rouge, Bleu. Le mode est "Bleu" (effectif 3).
• Identification de la classe modale : Pour les données regroupées en classes, la classe modale est la classe qui a le plus grand effectif.
  • Exemple :

    Taille (cm)	Effectif
    [150; 160[	8
    [160; 170[	12
    [170; 180[	5
    La classe modale est [160; 170[.

Chaque indicateur donne une information différente sur la série.

• Quand utiliser la moyenne : Quand les valeurs sont assez proches les unes des autres et qu'il n'y a pas de valeurs extrêmes. Elle est sensible aux valeurs extrêmes.
• Quand utiliser la médiane : Quand il y a des valeurs extrêmes qui pourraient fausser la moyenne (par exemple, les salaires dans une entreprise).
• Quand utiliser le mode : Pour identifier la catégorie ou la valeur la plus populaire/fréquente, surtout pour les caractères qualitatifs.
• Limites de chaque indicateur : Aucun indicateur ne peut résumer à lui seul toute l'information d'une série. Il est souvent préférable d'utiliser plusieurs indicateurs.

• Extraire des informations clés : Regardez les totaux, les effectifs les plus grands et les plus petits.
• Comparer des effectifs et des fréquences : Identifiez les catégories majoritaires ou minoritaires.
• Identifier des tendances : Les fréquences cumulées peuvent montrer si une grande partie de la population se situe en dessous d'une certaine valeur.

• Titre, légendes, axes : Commencez toujours par lire le titre et les légendes des axes pour comprendre ce que le graphique représente.
• Identifier les valeurs maximales/minimales : Repérez les points les plus hauts ou les plus bas pour voir les catégories les plus ou moins représentées.
• Tirer des conclusions à partir du graphique : Un diagramme circulaire montrera rapidement les proportions, un histogramme la répartition. Ne vous contentez pas de décrire, expliquez ce que cela signifie.

Après avoir analysé les données, il faut pouvoir présenter vos découvertes de manière claire.

• Présenter les résultats de l'étude : Commencez par un résumé des informations les plus importantes (moyenne, médiane, mode si pertinents).
• Utiliser le vocabulaire statistique approprié : Employez correctement les termes comme "effectif", "fréquence", "moyenne", "médiane".
• Formuler des observations et des conclusions : Expliquez ce que vous avez appris des données. Par exemple, "La majorité des élèves préfèrent le sport X", ou "La moyenne des notes est de Y, ce qui est plutôt bon". Mettez en évidence les points intéressants ou surprenants.