Les symetries

Une figure est symétrique par rapport à une droite (appelée axe de symétrie) si elle se superpose parfaitement à elle-même par pliage le long de cette droite. Le symétrique d'un point A par rapport à une droite $(d)$ est le point A' tel que la droite $(d)$ est la médiatrice du segment [AA']. Cela signifie que $(d)$ est perpendiculaire à [AA'] et passe par son milieu.

Pour construire le symétrique A' d'un point A par rapport à un axe $(d)$ :

1. Trace la droite perpendiculaire à $(d)$ passant par A.
2. Prolonge cette droite de l'autre côté de $(d)$.
3. Reporte la distance entre A et $(d)$ de l'autre côté de $(d)$ pour trouver A'.
   • Tu peux utiliser une équerre pour la perpendiculaire et un compas pour reporter la distance.
   • Le segment [AA'] doit être perpendiculaire à l'axe $(d)$ et le point d'intersection doit être le milieu de [AA'].

Pour construire le symétrique d'une figure, on construit le symétrique de plusieurs de ses points clés :

• Symétrique d'un segment : Le symétrique d'un segment [AB] est un segment [A'B'] de même longueur. Il suffit de construire A' et B'.
• Symétrique d'une droite : Le symétrique d'une droite $(d_1)$ est une droite $(d_1')$ qui lui est parallèle si $(d_1)$ n'est pas perpendiculaire à l'axe de symétrie. Si $(d_1)$ est perpendiculaire à l'axe, alors $(d_1')$ est parallèle à $(d_1)$. Si $(d_1)$ est l'axe de symétrie, son symétrique est elle-même.
• Symétrique d'un cercle : Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon. Il suffit de construire le symétrique de son centre.

La symétrie axiale est une transformation isométrique, c'est-à-dire qu'elle conserve les mesures :

• Conservation des longueurs : La longueur d'un segment est égale à la longueur de son symétrique. Si AB = 5 cm, alors A'B' = 5 cm.
• Conservation des angles : La mesure d'un angle est égale à la mesure de son symétrique.
• Conservation des aires : L'aire d'une figure est égale à l'aire de sa figure symétrique.
• Alignement des points : Si trois points A, B, C sont alignés, alors leurs symétriques A', B', C' sont aussi alignés.

Voici quelques figures courantes et leurs axes de symétrie :

• Carré : 4 axes de symétrie (les deux diagonales et les deux médianes).
• Rectangle : 2 axes de symétrie (les médianes des côtés).
• Triangle isocèle : 1 axe de symétrie (la hauteur issue du sommet principal).
• Triangle équilatéral : 3 axes de symétrie.
• Cercle : Une infinité d'axes de symétrie (tous ses diamètres).

Certaines figures peuvent avoir plusieurs axes de symétrie :

• Le carré en a 4.
• Le losange en a 2 (ses diagonales).
• Le cercle en a une infinité.

• Méthode par pliage : Si tu as la figure sur une feuille, plie la feuille de manière à ce que les deux parties de la figure se superposent parfaitement. Le pli est un axe de symétrie.
• Méthode par construction géométrique : Pour une figure simple comme un polygone, tu peux chercher les droites qui passent par des points clés (milieux de côtés, sommets) et qui partagent la figure en deux parties égales et superposables.

Une figure est symétrique par rapport à un point (appelé centre de symétrie) si elle se superpose parfaitement à elle-même par une rotation de 180° autour de ce point. Le symétrique d'un point A par rapport à un centre O est le point A' tel que O est le milieu du segment [AA'].

Pour construire le symétrique A' d'un point A par rapport à un centre O :

1. Trace la droite passant par A et O.
2. Prolonge cette droite de l'autre côté de O.
3. Reporte la distance entre A et O de l'autre côté de O pour trouver A'.
   • Tu peux utiliser une règle pour tracer la droite et reporter la distance. Un compas peut aussi servir à reporter la distance.
   • Le point O doit être le milieu du segment [AA'].

Comme pour la symétrie axiale, on construit les symétriques des points clés :

• Symétrique d'un segment : Le symétrique d'un segment [AB] est un segment [A'B'] de même longueur, parallèle au segment initial.
• Symétrique d'une droite : Le symétrique d'une droite $(d_1)$ est une droite $(d_1')$ qui lui est parallèle.
• Symétrique d'un cercle : Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon. Il suffit de construire le symétrique de son centre.

La symétrie centrale est aussi une transformation isométrique, elle conserve également les mesures :

• Conservation des longueurs : La longueur d'un segment est égale à la longueur de son symétrique.
• Conservation des angles : La mesure d'un angle est égale à la mesure de son symétrique.
• Conservation des aires : L'aire d'une figure est égale à l'aire de sa figure symétrique.
• Alignement des points : Si trois points A, B, C sont alignés, alors leurs symétriques A', B', C' sont aussi alignés.

• Carré : Le point d'intersection de ses diagonales.
• Rectangle : Le point d'intersection de ses diagonales.
• Parallélogramme : Le point d'intersection de ses diagonales.
• Losange : Le point d'intersection de ses diagonales.
• Cercle : Son propre centre.

• Tous les parallélogrammes (carré, rectangle, losange inclus) ont un centre de symétrie.
• Le cercle a son centre comme centre de symétrie.
• Certaines figures plus complexes peuvent aussi en avoir.

• Un triangle quelconque n'a pas de centre de symétrie.
• Un trapèze (sauf cas particulier) n'a pas de centre de symétrie.
• Un segment n'a pas de centre de symétrie (mais son milieu est le centre de symétrie de ses extrémités).

La symétrie axiale "retourne" la figure, tandis que la symétrie centrale la "fait pivoter".

• Les deux sont des transformations géométriques.
• Ce sont des isométries : elles conservent les longueurs, les angles et les aires.
• Elles conservent l'alignement des points.
• Elles transforment une droite en une droite, un segment en un segment, un cercle en un cercle de même rayon.

Les symétries sont partout :

• Nature : Les ailes d'un papillon (axiale), les pétales de certaines fleurs (axiale ou centrale).
• Art : Les mandalas (axiale et centrale), les rosaces des cathédrales (axiale et parfois centrale).
• Architecture : La façade d'un bâtiment (axiale), certains motifs de dallage (axiale et centrale).
• Corps humain : Globalement symétrique par rapport à un axe vertical (axiale).

Comprendre les symétries permet d'analyser le monde qui nous entoure et de construire des figures complexes de manière plus simple.