Les triangles

Un triangle est une figure géométrique plane fermée à trois côtés. Il est le polygone ayant le plus petit nombre de côtés.

Voici ses éléments principaux :

• Les sommets : Ce sont les points où les côtés se rencontrent. Un triangle a toujours 3 sommets. On les nomme souvent avec des lettres majuscules (A, B, C).
• Les côtés : Ce sont les segments qui relient les sommets. Un triangle a toujours 3 côtés. On les note par la longueur du segment (AB, BC, CA) ou par la lettre minuscule opposée au sommet (a, b, c).
• Les angles : Ce sont les ouvertures formées par deux côtés se rencontrant à un sommet. Un triangle a toujours 3 angles. On les note $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ ou $\widehat{BAC}$, $\widehat{ABC}$, $\widehat{BCA}$.

La notation d'un triangle se fait en nommant ses trois sommets. Par exemple, le triangle ABC.

L'inégalité triangulaire est une règle fondamentale pour savoir si l'on peut construire un triangle avec trois longueurs données.

Condition d'existence d'un triangle : Pour que trois segments de longueurs $a$, $b$ et $c$ puissent former un triangle, la longueur de chaque côté doit être inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si les longueurs sont AB, BC et CA :

• $AB < BC + CA$
• $BC < AB + CA$
• $CA < AB + BC$

En pratique, il suffit de vérifier que la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres. Si ce n'est pas le cas, la construction est impossible. Les segments ne se rejoindront jamais.

Cas d'égalité : Si la plus grande longueur est ÉGALE à la somme des deux autres, les trois points sont alignés. On ne peut pas former un "vrai" triangle, mais un "triangle plat" ou "dégénéré".

Exemple : Peut-on construire un triangle avec des côtés de 3 cm, 4 cm et 8 cm ? Le côté le plus long est 8 cm. La somme des deux autres est $3 + 4 = 7$ cm. Puisque $8 > 7$, la construction est impossible.

C'est une propriété fondamentale et très utile : Dans n'importe quel triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°.

Pour un triangle ABC, cela se traduit par la formule : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$

Démonstration intuitive : Imaginez que vous coupez les trois angles d'un triangle et que vous les placez côte à côte. Vous verrez qu'ils forment une ligne droite, ce qui correspond à un angle plat de 180°.

Cette propriété permet le calcul d'un angle manquant si vous connaissez les deux autres. Exemple : Dans un triangle DEF, si $\widehat{D} = 70°$ et $\widehat{E} = 50°$, alors : $\widehat{F} = 180° - (\widehat{D} + \widehat{E})$ $\widehat{F} = 180° - (70° + 50°)$ $\widehat{F} = 180° - 120°$ $\widehat{F} = 60°$

Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins deux côtés de même longueur.

• Les deux côtés égaux sont appelés les côtés égaux.
• Le troisième côté est appelé la base.
• Le sommet opposé à la base est le sommet principal.

Propriétés des angles : Dans un triangle isocèle, les angles à la base (les angles opposés aux côtés égaux) ont la même mesure. Si ABC est isocèle en A (AB = AC), alors $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

Axe de symétrie : Un triangle isocèle possède un axe de symétrie. C'est la médiatrice de sa base, qui passe par le sommet principal.

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. C'est un cas particulier de triangle isocèle (il est isocèle en chacun de ses sommets).

Propriétés des angles : Puisque les trois côtés sont égaux, les trois angles sont aussi égaux. Comme la somme des angles est 180°, chaque angle mesure : $180° \div 3 = 60°$. Donc, dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°.

Axes de symétrie : Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie. Ce sont les médiatrices de chacun de ses côtés (qui sont aussi les bissectrices de ses angles et les médianes issues de chaque sommet).

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (un angle de 90°).

• L'angle droit est souvent marqué par un petit carré.
• Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse. C'est toujours le plus long côté du triangle rectangle.
• Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit ou cathètes.

Exemple : Dans un triangle ABC rectangle en B, l'angle $\widehat{ABC}$ mesure 90°. Le côté AC est l'hypoténuse.

Supposons que l'on veuille construire un triangle ABC avec AB = 5 cm, BC = 4 cm et AC = 6 cm.

1. Tracez le plus grand côté (ou n'importe quel côté) à l'aide de la règle. Par exemple, le segment AC de 6 cm.
2. Prenez le compas et ouvrez-le à la longueur du deuxième côté (par exemple, 5 cm pour AB). Placez la pointe sèche sur le sommet A et tracez un arc de cercle.
3. Ouvrez le compas à la longueur du troisième côté (4 cm pour BC). Placez la pointe sèche sur le sommet C et tracez un deuxième arc de cercle.
4. Le point d'intersection des deux arcs de cercle est le troisième sommet (B).
5. Reliez les sommets A, B et C à l'aide de la règle pour former le triangle. N'oubliez pas de vérifier l'inégalité triangulaire avant de commencer ! ($6 < 5 + 4 \rightarrow 6 < 9$, c'est possible).

Supposons que l'on veuille construire un triangle DEF avec DE = 7 cm, EF = 5 cm et $\widehat{DEF} = 40°$.

1. Tracez l'un des deux côtés donnés à l'aide de la règle, par exemple le segment DE de 7 cm.
2. Placez le centre du rapporteur sur le sommet où l'angle est donné (ici, le point E). Alignez la ligne de foi du rapporteur avec le segment DE.
3. Marquez un point à 40° à partir de DE.
4. Tracez une demi-droite depuis E passant par ce point marqué.
5. À l'aide de la règle, mesurez 5 cm (la longueur EF) sur cette demi-droite à partir de E. Marquer le point F.
6. Reliez les points D et F pour compléter le triangle.

Supposons que l'on veuille construire un triangle GHI avec GH = 6 cm, $\widehat{IGH} = 70°$ et $\widehat{GHI} = 60°$.

1. Tracez le côté donné à l'aide de la règle, ici le segment GH de 6 cm.
2. Placez le centre du rapporteur sur le sommet G. Alignez-le avec GH. Mesurez et marquez un angle de 70°. Tracez une demi-droite depuis G passant par ce point.
3. Placez le centre du rapporteur sur le sommet H. Alignez-le avec HG. Mesurez et marquez un angle de 60°. Tracez une demi-droite depuis H passant par ce point.
4. Le point d'intersection des deux demi-droites est le troisième sommet I.
5. Le triangle GHI est construit. Astuce : Vérifiez que la somme des angles est inférieure à 180° pour que la construction soit possible ($70° + 60° = 130° < 180°$).

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).

• Chaque triangle a trois hauteurs.
• Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un unique point appelé l'orthocentre.

Cas des triangles rectangles et obtus :

• Dans un triangle rectangle, l'orthocentre est le sommet de l'angle droit. Deux des hauteurs sont les côtés de l'angle droit.
• Dans un triangle obtusangle (qui a un angle > 90°), l'orthocentre est situé à l'extérieur du triangle. Il faut alors prolonger les côtés pour tracer les hauteurs.

Une médiane d'un triangle est un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé.

• Chaque triangle a trois médianes.
• Les trois médianes d'un triangle se coupent en un unique point appelé le centre de gravité du triangle. On le note souvent G.

Propriété du centre de gravité : Le centre de gravité G est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Par exemple, si [AM] est une médiane issue de A, alors $AG = \frac{2}{3} AM$. C'est aussi le point d'équilibre du triangle si on le considère comme une surface homogène.

Une médiatrice d'un triangle est la droite perpendiculaire à un côté en son milieu.

• Chaque triangle a trois médiatrices.
• Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un unique point. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle.
• Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
• Le centre du cercle circonscrit est équidistant des trois sommets du triangle.

Une bissectrice d'un triangle est une droite qui partage un angle du triangle en deux angles égaux.

• Chaque triangle a trois bissectrices.
• Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un unique point. Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
• Le cercle inscrit est le cercle tangent aux trois côtés du triangle.
• Le centre du cercle inscrit est équidistant des trois côtés du triangle.