Nombres et calculs

En 5ème, nous manipulons des nombres composés de chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Un nombre peut être entier ou décimal.

• Nombres entiers : Ils n'ont pas de partie décimale (ex: 12, 456, 1000).
• Nombres décimaux : Ils ont une partie entière et une partie décimale, séparées par une virgule (ex: 12,5 ; 3,14 ; 0,75).

Pour lire et écrire de grands nombres, on utilise des classes de nombres :

• Classe des unités simples : unités, dizaines, centaines.
• Classe des milliers : unités de mille, dizaines de mille, centaines de mille.
• Classe des millions : unités de million, dizaines de million, centaines de million.

La virgule sépare la partie entière de la partie décimale.

Exemple : Le nombre 1 234 567,89

• Partie entière : 1 234 567 (un million deux cent trente-quatre mille cinq cent soixante-sept)
• Partie décimale : 89 (quatre-vingt-neuf centièmes)
• Se lit : "Un million deux cent trente-quatre mille cinq cent soixante-sept et quatre-vingt-neuf centièmes".

Comparer des nombres signifie dire s'ils sont plus grands, plus petits ou égaux. Nous utilisons les symboles :

• < : "est plus petit que"
• > : "est plus grand que"
• = : "est égal à"

Pour comparer des nombres décimaux :

1. On compare d'abord leurs parties entières. Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand. Ex: 15,2 > 12,9 (car 15 > 12)
2. Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres de la partie décimale rang par rang, en commençant par les dixièmes. Ex: Pour comparer 7,45 et 7,48 :
   • Parties entières égales (7 = 7).
   • Chiffres des dixièmes égaux (4 = 4).
   • Chiffres des centièmes : 5 < 8. Donc 7,45 < 7,48.
   • Astuce : On peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale pour avoir le même nombre de chiffres. 7,450 et 7,480.

Rangement :

• Ordre croissant : du plus petit au plus grand.
• Ordre décroissant : du plus grand au plus petit.

Positionner des nombres sur une droite graduée aide à visualiser leur ordre. Le nombre le plus à droite est toujours le plus grand.

Arrondir un nombre signifie le remplacer par une valeur proche mais plus simple.

• Pour arrondir à l'unité : on regarde le chiffre des dixièmes.
  • S'il est 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde l'unité telle quelle. Ex: 7,3 $\rightarrow$ 7
  • S'il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 à l'unité. Ex: 7,8 $\rightarrow$ 8
• Pour arrondir au dixième : on regarde le chiffre des centièmes.
  • Ex: 12,43 $\rightarrow$ 12,4 ; 12,47 $\rightarrow$ 12,5

Tronquer un nombre signifie couper sa partie décimale à un certain rang, sans se soucier du chiffre suivant.

• Tronquer à l'unité : on enlève toute la partie décimale. Ex: 7,89 $\rightarrow$ 7
• Tronquer au dixième : on garde un seul chiffre après la virgule. Ex: 7,89 $\rightarrow$ 7,8

L'estimation d'un résultat consiste à calculer un ordre de grandeur en arrondissant les nombres avant d'effectuer l'opération.

La règle d'or pour l'addition et la soustraction de nombres décimaux est l'alignement des virgules.

• Addition :

    12,34
  +  5,60  (on peut ajouter un zéro pour aligner)
  -------
    17,94
  

• Soustraction :

    25,70
  -  8,35
  -------
    17,35
  

  On peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale pour faciliter le calcul. Ex: 25,7 - 8,35 = 25,70 - 8,35.

Calcul mental et astuces :

• Regrouper les nombres qui font des entiers (ex: 2,5 + 3,5 = 6).
• Décomposer les nombres (ex: 4,2 + 3,7 = 4 + 0,2 + 3 + 0,7 = 7 + 0,9 = 7,9).

• Multiplication par un entier : On pose la multiplication comme avec des entiers, et on place la virgule dans le résultat final en comptant le nombre total de chiffres après la virgule dans le nombre décimal de départ. Ex: $3,14 \times 2 = 6,28$ (un chiffre après la virgule dans 3,14, donc un chiffre après la virgule dans le résultat).

• Multiplication par un décimal :

  1. On multiplie les nombres comme s'ils étaient entiers, sans tenir compte des virgules.
  2. On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux nombres de départ.
  3. On place la virgule dans le produit final de sorte qu'il y ait ce même nombre de chiffres après la virgule.

  Ex: $2,5 \times 1,3$

  • $25 \times 13 = 325$
  • 2,5 a un chiffre après la virgule.
  • 1,3 a un chiffre après la virgule.
  • Total : 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule.
  • Donc, $2,5 \times 1,3 = 3,25$.

  Multiplier par 10, 100, 1000... : on décale la virgule vers la droite. Ex: $4,56 \times 10 = 45,6$ ; $4,56 \times 100 = 456$. Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001... : on décale la virgule vers la gauche. Ex: $45,6 \times 0,1 = 4,56$ ; $456 \times 0,01 = 4,56$.

La division euclidienne s'applique aux nombres entiers. Elle donne un quotient entier et un reste entier. Dividende = Diviseur $\times$ Quotient + Reste Le reste doit toujours être plus petit que le diviseur.

Ex: $17 \div 3$ $17 = 3 \times 5 + 2$. Quotient = 5, Reste = 2.

La division décimale permet d'obtenir un quotient décimal.

• Quotient exact : le reste est 0. Ex: $15 \div 2 = 7,5$.
• Quotient approché : la division ne se termine jamais, on l'arrête à un certain nombre de décimales. Ex: $10 \div 3 \approx 3,33$.

Critères de divisibilité (pour les nombres entiers) :

• Par 2 : le nombre se termine par 0, 2, 4, 6, 8 (chiffre pair).
• Par 3 : la somme de ses chiffres est divisible par 3. Ex: 123 (1+2+3=6, 6 est div. par 3, donc 123 est div. par 3).
• Par 4 : le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Ex: 1324 (24 est div. par 4, donc 1324 est div. par 4).
• Par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5.
• Par 9 : la somme de ses chiffres est divisible par 9. Ex: 459 (4+5+9=18, 18 est div. par 9, donc 459 est div. par 9).
• Par 10 : le nombre se termine par 0.

Une fraction est une manière d'exprimer une partie d'un tout ou un partage. Elle est écrite sous la forme $\frac{a}{b}$, où :

• a est le numérateur (nombre de parts prises).
• b est le dénominateur (nombre total de parts égales).
• La barre de fraction signifie "divisé par".

Ex: $\frac{3}{4}$ représente 3 parts sur 4.

Représentation : Une fraction peut représenter des parts d'un gâteau, des portions d'une longueur, etc.

• Si on partage une unité en 5 parts égales et qu'on en prend 2, cela représente $\frac{2}{5}$.

Deux fractions sont égales si elles représentent la même proportion. Ex: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{5}{10}$. Pour obtenir des fractions égales, on peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre (non nul). $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$.

Pour comparer des fractions :

1. Même dénominateur : La fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande. Ex: $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$ (car $5 > 3$).

2. Dénominateurs différents : Il faut d'abord les réduire au même dénominateur commun. Ex: Comparer $\frac{1}{2}$ et $\frac{2}{3}$.

   • Le dénominateur commun le plus simple est 6.
   • $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$
   • $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$
   • Comme $\frac{3}{6} < \frac{4}{6}$, alors $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$.

3. Comparaison à 1 :

   • Si le numérateur < dénominateur, la fraction est < 1. Ex: $\frac{3}{5} < 1$.
   • Si le numérateur = dénominateur, la fraction est = 1. Ex: $\frac{5}{5} = 1$.
   • Si le numérateur > dénominateur, la fraction est > 1. Ex: $\frac{7}{5} > 1$.

• Écriture décimale d'une fraction : Pour transformer une fraction en nombre décimal, il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. Ex: $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$. Ex: $\frac{1}{3} = 1 \div 3 \approx 0,333...$ (valeur approchée).

• Écriture fractionnaire d'un nombre décimal : Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme de fraction avec un dénominateur qui est une puissance de 10 (10, 100, 1000...). Ex: $0,25 = \frac{25}{100}$. Ex: $1,2 = \frac{12}{10}$.

Simplification de fractions : Rendre une fraction irréductible signifie la simplifier au maximum en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun. Ex: $\frac{25}{100}$

• On peut diviser par 5 : $\frac{25 \div 5}{100 \div 5} = \frac{5}{20}$
• On peut encore diviser par 5 : $\frac{5 \div 5}{20 \div 5} = \frac{1}{4}$. La fraction $\frac{1}{4}$ est irréductible.

Lorsque plusieurs opérations sont présentes dans un calcul, il faut respecter un ordre précis, appelé priorités opératoires. L'ordre est le suivant (mnémotechnique : PEMDAS ou "Parenthèses, Exposants, Multiplication/Division, Addition/Soustraction") :

1. Parenthèses (et crochets) : On commence toujours par calculer ce qui est à l'intérieur des parenthèses les plus profondes.
2. Multiplications et Divisions : Elles sont prioritaires sur les additions et soustractions. S'il y en a plusieurs, on les effectue de gauche à droite.
3. Additions et Soustractions : Elles sont effectuées en dernier, de gauche à droite.

Ex: $5 + 3 \times 2$

• Priorité à la multiplication : $3 \times 2 = 6$.
• Puis addition : $5 + 6 = 11$.

Ex: $(5 + 3) \times 2$

• Priorité aux parenthèses : $5 + 3 = 8$.
• Puis multiplication : $8 \times 2 = 16$.

Respecter les priorités est crucial pour obtenir le bon résultat.

Une expression numérique est une suite de nombres et d'opérations.

• Calcul d'expressions sans parenthèses : Appliquer les règles de priorité (multiplications/divisions avant additions/soustractions, de gauche à droite). Ex: $10 - 2 \times 3 + 4 \div 2$ $= 10 - 6 + 2$ (multiplication et division) $= 4 + 2$ (soustraction) $= 6$ (addition)

• Calcul d'expressions avec parenthèses : Commencer par les calculs entre parenthèses. Ex: $12 \div (3 + 1) \times 2$ $= 12 \div 4 \times 2$ (parenthèses) $= 3 \times 2$ (division, de gauche à droite) $= 6$ (multiplication)

L'utilisation de la calculatrice est pratique mais il faut savoir l'utiliser correctement en respectant les priorités. Certaines calculatrices respectent l'ordre des opérations, d'autres non. Il est donc souvent préférable d'utiliser des parenthèses.

Le calcul littéral consiste à utiliser des lettres pour désigner des nombres inconnus ou des variables. Ex: Le périmètre d'un carré de côté $c$ est $P = 4 \times c$ ou $P = 4c$.

• Simplification d'écritures littérales :

  • On omet souvent le signe "$\times$" entre un nombre et une lettre, ou entre deux lettres. Ex: $3 \times a = 3a$ ; $a \times b = ab$.
  • On regroupe les termes semblables (ex: $2a + 3a = 5a$).
  • On écrit les nombres avant les lettres (ex: $a \times 3 = 3a$).
  • $1 \times a = a$ (le "1" est souvent omis).

• Substitution d'une valeur dans une expression : Remplacer une lettre par sa valeur numérique et effectuer le calcul. Ex: Calculer $3x + 5$ pour $x = 2$. $3 \times 2 + 5 = 6 + 5 = 11$.

Le calcul littéral est une base essentielle pour l'algèbre.

Pour résoudre un problème, la première étape est de bien comprendre ce qui est demandé.

1. Identifier les données : Quels sont les nombres ou informations importantes fournis dans l'énoncé ? Surlignez-les.
2. Identifier la question : Que cherche-t-on à calculer ou à trouver ? Reformulez la question si nécessaire.
3. Choisir les opérations pertinentes : En fonction de la question et des données, quelles opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sont nécessaires ?
   • "Augmenter", "ajouter", "total" $\rightarrow$ addition.
   • "Diminuer", "retirer", "différence", "reste" $\rightarrow$ soustraction.
   • "fois plus", "produit", "en tout (pour des lots identiques)" $\rightarrow$ multiplication.
   • "Partager", "distribuer", "prix unitaire", "combien de fois" $\rightarrow$ division.

1. Démarche pas à pas : Ne tentez pas de tout résoudre d'un coup. Découpez le problème en petites étapes logiques.
2. Rédaction de la solution :
   • Écrivez clairement chaque étape de votre raisonnement et le calcul correspondant.
   • N'oubliez pas les unités ($€$, $kg$, $m$, $L$, etc.).
   • Formulez une phrase de conclusion pour répondre à la question posée.
   3. Vérification du résultat :
      • Le résultat est-il logique ? (Ex: Si on achète 3 pains à 1€ chacun, un total de 100€ est illogique).
      • Refaites le calcul ou utilisez une estimation pour vérifier l'ordre de grandeur.

Beaucoup de problèmes nécessitent plusieurs opérations.

1. Décomposer un problème complexe : Lisez attentivement l'énoncé et identifiez les informations qui peuvent être calculées en premier pour servir à la suite.
2. Utiliser les résultats intermédiaires : Chaque réponse partielle à une étape du problème devient une donnée pour l'étape suivante.
3. Problèmes concrets de la vie courante : Les mathématiques servent à résoudre des situations réelles. Entraînez-vous avec des problèmes de courses, de distances, de partages, etc.

Exemple : Un boulanger prépare 120 croissants le matin. Il en vend 85 avant midi. L'après-midi, il en prépare 50 de plus et en vend 40. Combien lui reste-t-il de croissants en fin de journée ?

• Étape 1 : Calculer le nombre de croissants restants avant midi. $120 - 85 = 35$ croissants.
• Étape 2 : Calculer le nouveau total de croissants après la préparation de l'après-midi. $35 + 50 = 85$ croissants.
• Étape 3 : Calculer le nombre de croissants restants en fin de journée. $85 - 40 = 45$ croissants.
• Conclusion : Il reste 45 croissants au boulanger en fin de journée.