Se reperer dans lespace

Imagine une ligne droite infinie. Pour se repérer dessus, on a besoin de quelques éléments clés :

• L'axe numérique : C'est cette droite sur laquelle on va placer des nombres.
• L'origine : C'est le point de départ, généralement noté O, qui correspond au nombre 0.
• L'unité de longueur : C'est la distance entre 0 et 1. Elle permet de graduer la droite régulièrement. Par exemple, 1 cm, 1 carreau, etc.

Chaque point sur cette droite a une position unique, appelée son abscisse. L'abscisse d'un point est le nombre qui le représente sur la droite graduée.

• Si le point est à droite de l'origine, son abscisse est positive.
• Si le point est à gauche de l'origine, son abscisse est négative.

Exemple : Si un point A est à 3 unités à droite de l'origine, son abscisse est 3. On note A(3). Si un point B est à 2 unités à gauche, son abscisse est -2. On note B(-2).

Pour se repérer non plus sur une ligne, mais sur une surface (comme une feuille de papier), on utilise un système de coordonnées. C'est comme le jeu de la bataille navale !

On utilise un repère orthogonal, qui est formé de deux droites graduées perpendiculaires (qui se coupent à angle droit) et qui ont la même origine (le point (0;0)).

• L'axe horizontal s'appelle l'axe des abscisses. On y lit la première coordonnée d'un point.
• L'axe vertical s'appelle l'axe des ordonnées. On y lit la deuxième coordonnée d'un point.

Un point dans le plan est repéré par deux nombres, ses coordonnées, écrites sous la forme $(x; y)$.

• $x$ est l'abscisse du point (lu sur l'axe horizontal).
• $y$ est l'ordonnée du point (lu sur l'axe vertical).

L'ordre des coordonnées est très important : on donne toujours l'abscisse en premier, puis l'ordonnée.

Exemple : Le point A(2; 3) se trouve en partant de l'origine, en avançant de 2 unités sur l'axe des abscisses (vers la droite) puis en montant de 3 unités sur l'axe des ordonnées (vers le haut).

Pour placer un point dont on connaît les coordonnées $(x; y)$ :

1. Méthode de placement :

   • Commence à l'origine (0;0).
   • Déplace-toi horizontalement de $x$ unités : vers la droite si $x$ est positif, vers la gauche si $x$ est négatif.
   • À partir de cette nouvelle position, déplace-toi verticalement de $y$ unités : vers le haut si $y$ est positif, vers le bas si $y$ est négatif.
   • Tu as trouvé l'emplacement de ton point !

2. Lecture des coordonnées : Pour trouver les coordonnées d'un point déjà placé :

   • Trace une ligne verticale depuis le point jusqu'à l'axe des abscisses pour lire $x$.
   • Trace une ligne horizontale depuis le point jusqu'à l'axe des ordonnées pour lire $y$.

3. Erreurs courantes :

   • Inverser l'abscisse et l'ordonnée (placer (3;2) au lieu de (2;3)).
   • Ne pas partir de l'origine.
   • Mal compter les unités sur les axes.

La précision du placement est importante : utilise une règle et un crayon bien taillé pour marquer les points le plus exactement possible.

• Un segment est défini par ses deux points extrêmes. Par exemple, le segment [AB] est défini par les coordonnées du point A et du point B.
• Des points alignés : Si plusieurs points ont la même abscisse ou la même ordonnée, ils sont alignés sur une droite parallèle à un des axes.
  • Si des points ont la même abscisse $x$, ils sont sur une droite verticale d'équation $x = \text{constante}$.
  • Si des points ont la même ordonnée $y$, ils sont sur une droite horizontale d'équation $y = \text{constante}$.

Exemple : Les points C(1; 2), D(1; 5) et E(1; -3) sont alignés sur la droite verticale d'équation $x=1$.

Un polygone (comme un triangle, un carré, un rectangle) est défini par la liste de ses sommets.

• L'ordre des sommets est important car il indique comment les relier pour former la figure.
• Exemple : Un rectangle ABCD est défini par les coordonnées de ses quatre sommets A, B, C et D. Si A(1;1), B(5;1), C(5;3), D(1;3), on peut le dessiner en reliant A à B, B à C, C à D et D à A.

La symétrie axiale est une transformation géométrique où une figure est "retournée" par rapport à une droite (l'axe de symétrie).

• Symétrie par rapport à l'axe des abscisses (axe horizontal) : Si un point M a pour coordonnées $(x; y)$, son symétrique M' par rapport à l'axe des abscisses aura pour coordonnées $(x; -y)$. Seule l'ordonnée change de signe.
• Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical) : Si un point M a pour coordonnées $(x; y)$, son symétrique M'' par rapport à l'axe des ordonnées aura pour coordonnées $(-x; y)$. Seule l'abscisse change de signe.

Exemple : Le point A(2; 3). Son symétrique par rapport à l'axe des abscisses est A'(2; -3). Son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est A''(-2; 3).

Les solides usuels sont des objets en 3D comme le cube, le pavé droit (boîte), la pyramide, le cylindre, la sphère.

• Ils ont des faces (surfaces planes), des arêtes (segments où deux faces se rencontrent) et des sommets (points où plusieurs arêtes se rencontrent).
• La représentation en perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de donner une impression de 3D sur une feuille 2D. Les faces avant et arrière sont représentées en vraie grandeur, et les arêtes fuyantes sont dessinées en parallèle et raccourcies. Les arêtes cachées sont souvent représentées en pointillés.

Dans l'espace, un point est repéré par trois coordonnées : $(x; y; z)$.

• Sur un pavé droit, les sommets sont des points clés. On peut choisir un sommet comme origine (0;0;0).
• Les trois arêtes issues de cette origine peuvent servir d'axes pour le repérage.
  • L'axe des $x$ (longueur)
  • L'axe des $y$ (largeur)
  • L'axe des $z$ (hauteur)

Les coordonnées des autres sommets du pavé peuvent être déduites en fonction de la longueur, largeur et hauteur du pavé. Par exemple, si le pavé a une longueur L, une largeur l et une hauteur H, un sommet pourrait être (L; l; H).

Une section d'un solide est la forme que l'on obtient en coupant ce solide par un plan. Imagine que tu coupes une pomme : la face coupée est la section.

• Le plan de coupe peut être parallèle à une face, à une arête, ou oblique.
• La forme de la section dépend du solide et de l'orientation du plan.
  • Exemples simples :
    • Couper un cube ou un pavé droit par un plan parallèle à une face donne un rectangle (ou un carré).
    • Couper un cylindre par un plan parallèle à sa base donne un cercle.
    • Couper un cylindre par un plan parallèle à son axe donne un rectangle.

• La légende : C'est la clé de la carte. Elle explique la signification des symboles, couleurs et motifs utilisés.
• L'échelle : Elle indique la relation entre une distance sur la carte et la distance réelle sur le terrain. Par exemple, 1:100 000 signifie 1 cm sur la carte représente 100 000 cm (soit 1 km) dans la réalité.
• L'orientation : Les points cardinaux (Nord, Sud, Est, Ouest) sont souvent indiqués par une flèche pointant vers le Nord.
• Le quadrillage : Beaucoup de cartes utilisent un quadrillage (comme des coordonnées géographiques ou un système UTM) pour faciliter le repérage de zones spécifiques.

L'échelle est un rapport : $\text{Échelle} = \frac{\text{Distance sur le plan}}{\text{Distance réelle}}$.

Pour calculer une distance réelle :

1. Mesure la distance sur le plan (par exemple, en cm).
2. Multiplie cette distance par le dénominateur de l'échelle.
3. Conversion d'unités : N'oublie pas de convertir les unités pour avoir un résultat pertinent (par exemple, des cm en km).

Exemple : Si l'échelle est 1:50 000 et la distance mesurée sur la carte est 3 cm : Distance réelle = $3 \text{ cm} \times 50000 = 150000 \text{ cm}$. Convertir : $150000 \text{ cm} = 1500 \text{ m} = 1,5 \text{ km}$. C'est une application directe de la proportionnalité.

• Description d'un trajet : Utiliser des points de repère (monuments, rues, intersections) et des indications de direction (tourner à gauche, tout droit) pour guider quelqu'un.
• Utilisation de repères : Les points cardinaux, les numéros de rue, les bâtiments remarquables sont tous des repères utiles.
• Optimisation de parcours : Choisir le chemin le plus court, le plus rapide ou le plus facile en fonction de contraintes (trafic, dénivelé).

• L'unité de mesure des angles est le degré ($^\circ$). Un cercle complet mesure $360^\circ$.
• Un rapporteur est l'outil utilisé pour mesurer et construire des angles.
• Types d'angles :
  • Angle aigu : mesure moins de $90^\circ$.
  • Angle droit : mesure exactement $90^\circ$.
  • Angle obtus : mesure plus de $90^\circ$ mais moins de $180^\circ$.
  • Angle plat : mesure $180^\circ$ (forme une ligne droite).

Une boussole permet de s'orienter en indiquant le Nord magnétique.

• Les points cardinaux : Nord (N), Sud (S), Est (E), Ouest (O).
• Angles de direction : On peut exprimer une direction en degrés par rapport au Nord, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre.
  • Nord : $0^\circ$ (ou $360^\circ$)
  • Est : $90^\circ$
  • Sud : $180^\circ$
  • Ouest : $270^\circ$

L'utilisation de la boussole est essentielle pour la navigation, combinée avec une carte.

Une rotation est une transformation qui fait "tourner" une figure autour d'un point fixe.

• Le centre de rotation : C'est le point autour duquel la figure tourne.
• L'angle de rotation : C'est l'angle dont la figure tourne.
• Le sens de rotation :
  • Sens horaire : Dans le même sens que les aiguilles d'une montre.
  • Sens anti-horaire (ou trigonométrique) : Dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est le sens positif conventionnel en mathématiques.

Exemple : Faire pivoter un triangle de $90^\circ$ dans le sens anti-horaire autour d'un de ses sommets.