Comparer des fractions simples

Une fraction est une façon d'écrire une partie d'un tout. Elle montre qu'on a partagé quelque chose en parts égales.

Une fraction a deux nombres :

• Le nombre du haut est le numérateur. Il dit combien de parts on prend.
• Le nombre du bas est le dénominateur. Il dit en combien de parts égales le tout a été coupé.

Exemple : Dans la fraction $\frac{1}{2}$, le 1 est le numérateur, le 2 est le dénominateur. On prend 1 part sur 2.

On peut dessiner des fractions pour mieux les comprendre :

• Disques et bandes : Imagine un gâteau coupé en 4 parts égales. Si tu en manges 1, tu as mangé $\frac{1}{4}$ du gâteau.
• Droite graduée : On peut placer les fractions sur une ligne. Par exemple, $\frac{1}{2}$ est au milieu entre 0 et 1.

Une fraction peut être :

• Inférieure à 1 (comme $\frac{1}{2}$) : le numérateur est plus petit que le dénominateur.
• Égale à 1 (comme $\frac{2}{2}$) : le numérateur est égal au dénominateur.
• Supérieure à 1 (comme $\frac{3}{2}$) : le numérateur est plus grand que le dénominateur.

Quand le numérateur est le même que le dénominateur, la fraction est égale à 1 (une unité entière). C'est comme prendre toutes les parts du tout.

Exemples :

• $\frac{2}{2}$ = 1 (2 parts sur 2)
• $\frac{3}{3}$ = 1 (3 parts sur 3)
• $\frac{4}{4}$ = 1 (4 parts sur 4)

Quand des fractions ont le même dénominateur, cela veut dire que toutes les parts sont de la même taille. Pour les comparer, il suffit de regarder le numérateur. La fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande.

Exemple : Comparer $\frac{2}{4}$ et $\frac{3}{4}$. Les parts sont des quarts. On a 2 quarts ou 3 quarts. $3$ est plus grand que $2$, donc $\frac{3}{4}$ est plus grand que $\frac{2}{4}$.

Imagine deux gâteaux de même taille, chacun coupé en 4 parts.

• Un gâteau avec $\frac{2}{4}$ mangés (2 parts sur 4).
• L'autre gâteau avec $\frac{3}{4}$ mangés (3 parts sur 4). Tu vois bien que $\frac{3}{4}$ représente une plus grande quantité.

On utilise les symboles :

• < (plus petit que)
• > (plus grand que)
• = (égal à)

Exemples :

• $\frac{2}{4} < \frac{3}{4}$
• $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$
• $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Quand des fractions ont le même numérateur, cela veut dire qu'on a pris le même nombre de parts. Mais la taille des parts n'est pas la même ! Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites. Donc, la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande.

Exemple : Comparer $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{4}$. On prend 1 part dans les deux cas. Mais les moitiés ($\frac{1}{2}$) sont plus grandes que les quarts ($\frac{1}{4}$). Donc $\frac{1}{2}$ est plus grand que $\frac{1}{4}$.

Imagine deux pizzas.

• Une coupée en 2 parts. Tu prends 1 part ($\frac{1}{2}$).
• L'autre coupée en 4 parts. Tu prends 1 part ($\frac{1}{4}$). La part de la pizza coupée en 2 est beaucoup plus grande !

Exemples :

• $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$
• $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ (car des tiers sont plus grands que des cinquièmes)
• $\frac{3}{8} < \frac{3}{6}$ (car des huitièmes sont plus petits que des sixièmes)

Une fraction est inférieure à 1 quand son numérateur est plus petit que son dénominateur. Exemples : $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$. Sur une droite graduée, ces fractions sont placées entre 0 et 1.

Une fraction est égale à 1 quand son numérateur est égal à son dénominateur. C'est une unité entière. Exemples : $\frac{2}{2}$, $\frac{5}{5}$, $\frac{8}{8}$. Sur une droite graduée, elles sont placées exactement sur le chiffre 1.

Une fraction est supérieure à 1 quand son numérateur est plus grand que son dénominateur. Exemples : $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{7}{4}$. Sur une droite graduée, ces fractions sont placées après le chiffre 1. Elles représentent plus d'une unité.

Pour comparer une fraction à 1, il suffit de regarder le numérateur et le dénominateur :

• Si Numérateur < Dénominateur $\rightarrow$ Fraction < 1
• Si Numérateur = Dénominateur $\rightarrow$ Fraction = 1
• Si Numérateur > Dénominateur $\rightarrow$ Fraction > 1

Exemples :

• $\frac{5}{7} < 1$ (car 5 < 7)
• $\frac{9}{9} = 1$ (car 9 = 9)
• $\frac{4}{3} > 1$ (car 4 > 3)

On peut écrire n'importe quel nombre entier comme une fraction. Un entier est comme un gâteau entier. Par exemple, le nombre 2, c'est comme 2 gâteaux entiers.

• On peut écrire 2 comme $\frac{2}{1}$ (2 unités, chacune coupée en 1 part, on prend les 2).
• Si on veut le même dénominateur qu'une autre fraction, on peut changer l'entier. Exemple : Pour comparer avec des demis, on sait que 2 = $\frac{4}{2}$ (quatre demis, ça fait 2 entiers).

Pour comparer une fraction et un entier, on peut transformer l'entier en fraction avec le même dénominateur, ou utiliser la droite graduée.

Exemples :

• Comparer $\frac{1}{2}$ et 1 : On sait que 1 = $\frac{2}{2}$. Donc $\frac{1}{2} < \frac{2}{2}$, c'est-à-dire $\frac{1}{2} < 1$.
• Comparer $\frac{5}{3}$ et 1 : On sait que 1 = $\frac{3}{3}$. Donc $\frac{5}{3} > \frac{3}{3}$, c'est-à-dire $\frac{5}{3} > 1$.
• Comparer $\frac{7}{2}$ et 3 : On sait que 3 = $\frac{6}{2}$. Donc $\frac{7}{2} > \frac{6}{2}$, c'est-à-dire $\frac{7}{2} > 3$.

La droite graduée est très utile.

1. Place l'entier sur la droite (par exemple, 0, 1, 2, 3...).
2. Place la fraction sur la droite.
3. Regarde laquelle est la plus à gauche (la plus petite) ou la plus à droite (la plus grande).

Exemple : Pour comparer $\frac{7}{2}$ et 3.

• Place 3 sur la droite.
• $\frac{7}{2}$ c'est 7 demis. Cela fait $3$ et $\frac{1}{2}$.
• Donc $\frac{7}{2}$ est après 3 sur la droite. On voit que $\frac{7}{2} > 3$.