Décomposer et encadrer une fraction

Une fraction représente une partie d'un tout. Imagine un gâteau partagé en plusieurs parts égales. Si tu prends une part, c'est une fraction du gâteau.

Une fraction s'écrit avec deux nombres :

• Le nombre du haut s'appelle le numérateur. Il dit combien de parts on prend.
• Le nombre du bas s'appelle le dénominateur. Il dit en combien de parts égales le tout est partagé.

Exemple : $\frac{1}{4}$ signifie 1 part sur 4.

On peut dessiner une fraction. Imagine un rectangle (c'est l'unité). Si tu le divises en 4 parties égales et que tu en colores 1, tu as représenté $\frac{1}{4}$. Le dénominateur te dit en combien de parts tu dois couper l'unité.

Il y a des fractions que l'on utilise souvent :

• $\frac{1}{2}$ (un demi) : la moitié
• $\frac{1}{4}$ (un quart) : une part sur quatre
• $\frac{3}{4}$ (trois quarts) : trois parts sur quatre

Quand le numérateur et le dénominateur sont les mêmes, la fraction est égale à 1 (une unité entière). Exemples : $\frac{2}{2} = 1$, $\frac{4}{4} = 1$, $\frac{8}{8} = 1$. C'est comme un gâteau entier partagé en 4 parts, et tu prends les 4 parts !

Décomposer une fraction, c'est l'écrire comme une addition de plusieurs petites fractions. Exemple : $\frac{3}{4}$ c'est comme $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$. On peut aussi écrire $\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4}$. Le dénominateur ne change pas quand on additionne des fractions !

Parfois, une fraction est plus grande que 1. Par exemple, $\frac{5}{4}$. Cela veut dire que tu as plus d'une unité entière. $\frac{5}{4}$ c'est $\frac{4}{4} + \frac{1}{4}$. Comme $\frac{4}{4} = 1$, alors $\frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4}$. Ici, "1" est la partie entière et "$\frac{1}{4}$" est la partie fractionnaire.

• Décomposer $\frac{7}{3}$ : Combien de fois y a-t-il 3 dans 7 ? Il y a 2 fois 3 (car $2 \times 3 = 6$). Donc $\frac{7}{3} = \frac{3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = 1 + 1 + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}$.
• Décomposer $\frac{9}{2}$ : Combien de fois y a-t-il 2 dans 9 ? Il y a 4 fois 2 (car $4 \times 2 = 8$). Donc $\frac{9}{2} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 1 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{2}$. On peut placer ces fractions sur une droite numérique pour mieux comprendre.

Encadrer une fraction, c'est trouver les deux nombres entiers qui sont juste avant et juste après la fraction. Par exemple, la fraction $\frac{7}{3}$ est entre 2 et 3. On écrit : $2 < \frac{7}{3} < 3$. On place la fraction entre un entier plus petit et un entier plus grand.

Pour encadrer une fraction, tu peux te demander :

1. Combien de fois le dénominateur rentre-t-il dans le numérateur ?
2. Le résultat de cette division (sans reste) est l'entier juste avant.
3. L'entier juste après est le résultat + 1.

Exemple avec $\frac{7}{3}$ :

• Combien de fois 3 dans 7 ? Il y a 2 fois 3 (car $2 \times 3 = 6$).
• Donc l'entier juste avant est 2.
• L'entier juste après est $2+1=3$.
• On encadre : $2 < \frac{7}{3} < 3$.

Si la fraction est égale à un nombre entier, l'encadrement devient ce nombre entier. Exemple : $\frac{6}{3} = 2$. Dans ce cas, on n'a pas besoin d'encadrer entre deux entiers différents, car la fraction est déjà un entier.

Décompose les fractions suivantes en partie entière et partie fractionnaire :

• $\frac{5}{2}$ = ? + ?
• $\frac{10}{3}$ = ? + ?
• $\frac{8}{4}$ = ? (C'est un entier !)

Encadre les fractions suivantes entre deux nombres entiers :

• ? $< \frac{9}{4} <$ ?
• ? $< \frac{11}{2} <$ ?
• ? $< \frac{13}{5} <$ ? Utilise la droite numérique pour t'aider si besoin.

Un chef a 7 demi-pains ($\frac{7}{2}$ de pain).

1. Combien de pains entiers peut-il faire avec ces demi-pains ? (Décomposition)
2. Entre quels nombres entiers se situe la quantité totale de pain ? (Encadrement) Réponse : $\frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2}$. Il peut faire 3 pains entiers et il lui reste un demi-pain. L'encadrement est $3 < \frac{7}{2} < 4$.