Interpréter, représenter, écrire et lire des nombres décimaux

Une fraction décimale est une fraction spéciale. Son dénominateur (le nombre du bas) est toujours 10, 100, 1000, etc. Le numérateur (le nombre du haut) peut être n'importe quel nombre. Exemples : $\frac{3}{10}$, $\frac{25}{100}$, $\frac{123}{1000}$. Ces fractions aident à écrire les nombres à virgule.

On peut dessiner les fractions décimales.

• Imagine une bande coupée en 10 parts égales. Si tu prends 3 parts, c'est $\frac{3}{10}$.
• Sur une droite numérique, tu peux placer 0 et 1. Entre 0 et 1, tu fais 10 petits traits. Chaque trait représente un dixième. Le troisième trait, c'est $\frac{3}{10}$. Écrire une fraction décimale, c'est juste noter le numérateur au-dessus du dénominateur.

Une unité (comme 1 mètre ou 1 litre) peut être partagée.

• Si tu partages 1 unité en 10 parts égales, chaque part est un dixième ($\frac{1}{10}$).
• Si tu partages 1 unité en 100 parts égales, chaque part est un centième ($\frac{1}{100}$).
• Si tu partages 1 unité en 1000 parts égales, chaque part est un millième ($\frac{1}{1000}$). C'est utile pour les mesures : 10 centimètres, c'est $\frac{10}{100}$ de mètre, soit $\frac{1}{10}$ de mètre.

Quand on a $\frac{1}{10}$, on peut l'écrire avec une virgule : 0,1. Le chiffre "1" est le chiffre des dixièmes. Il est juste après la virgule. Exemples : $\frac{3}{10}$ s'écrit 0,3. $\frac{7}{10}$ s'écrit 0,7.

$\frac{1}{100}$ s'écrit 0,01. Le "1" est le chiffre des centièmes. Il est le deuxième chiffre après la virgule. Exemples : $\frac{25}{100}$ s'écrit 0,25. $\frac{5}{100}$ s'écrit 0,05 (il faut un zéro entre la virgule et le 5).

$\frac{1}{1000}$ s'écrit 0,001. Le "1" est le chiffre des millièmes. C'est le troisième chiffre après la virgule. Exemples : $\frac{123}{1000}$ s'écrit 0,123. $\frac{8}{1000}$ s'écrit 0,008.

Pour passer d'une fraction décimale à un nombre décimal, on regarde le dénominateur :

• Si c'est 10, il y a un chiffre après la virgule. Ex: $\frac{4}{10} = 0,4$.
• Si c'est 100, il y a deux chiffres après la virgule. Ex: $\frac{32}{100} = 0,32$.
• Si c'est 1000, il y a trois chiffres après la virgule. Ex: $\frac{567}{1000} = 0,567$. Attention aux zéros : $\frac{6}{100}$ n'est pas 0,6 mais 0,06.

Un nombre décimal a deux parties, séparées par une virgule.

• La partie entière est à gauche de la virgule (comme les nombres que tu connais : 1, 2, 15, 123...).
• La partie décimale est à droite de la virgule. Elle est plus petite que 1. Exemple : Dans 5,75, "5" est la partie entière et "75" est la partie décimale.

On peut ranger les chiffres dans un tableau :

Exemple : Dans 12,345 :

• 1 est une dizaine
• 2 est une unité
• 3 est un dixième
• 4 est un centième
• 5 est un millième

On peut lire un nombre décimal de deux façons :

1. Lecture simple : On dit la partie entière, puis "virgule", puis les chiffres de la partie décimale. Exemple : 2,5 se lit "deux virgule cinq". 14,03 se lit "quatorze virgule zéro trois".
2. Lecture détaillée : On dit la partie entière et l'unité, puis la partie décimale en précisant sa valeur. Exemple : 2,5 se lit "deux unités et cinq dixièmes". 14,03 se lit "quatorze unités et trois centièmes". Les deux sont correctes !

Comme les fractions, on peut placer les nombres décimaux sur une droite graduée.

• Entre 0 et 1, on peut faire 10 graduations. Chaque graduation représente un dixième (0,1 ; 0,2 ; ...).
• Entre 0,1 et 0,2, on peut faire 10 petites graduations. Chaque petite graduation représente un centième (0,11 ; 0,12 ; ...). Pour placer 2,3, on va à 2, puis on compte 3 dixièmes après le 2.

Pour savoir quel nombre est le plus grand :

1. On compare d'abord les parties entières. Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand. Exemple : 5,2 est plus grand que 3,9 car 5 > 3.
2. Si les parties entières sont égales, on compare les dixièmes. Exemple : 4,7 est plus grand que 4,3 car 7 > 3.
3. Si les dixièmes sont égaux, on compare les centièmes, et ainsi de suite. Exemple : 6,25 est plus grand que 6,21 car 5 > 1. Astuce : On peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale sans changer le nombre. 4,5, c'est comme 4,50 ou 4,500. Cela aide à comparer 4,5 et 4,32. On compare 4,50 et 4,32.

Ranger des nombres, c'est les mettre dans un certain ordre.

• Ordre croissant : du plus petit au plus grand.
• Ordre décroissant : du plus grand au plus petit. On utilise la méthode de comparaison. Pour bien ranger, on peut imaginer les nombres sur une droite graduée ou ajouter des zéros pour qu'ils aient tous le même nombre de chiffres après la virgule. Exemple : Ranger 1,5 ; 1,25 ; 1,08. On peut les écrire : 1,50 ; 1,25 ; 1,08. Dans l'ordre croissant : 1,08 < 1,25 < 1,50.

On peut "casser" un nombre décimal en plusieurs morceaux. La décomposition additive, c'est séparer la partie entière et la partie décimale. Exemple : $3,25 = 3 + 0,2 + 0,05$. C'est comme dire : 3 unités, 2 dixièmes et 5 centièmes.

On peut aussi dire ce que représente chaque chiffre. C'est la valeur de position de chaque chiffre. Exemple : Dans 3,25 :

• 3 est le chiffre des unités, il vaut 3.
• 2 est le chiffre des dixièmes, il vaut 0,2.
• 5 est le chiffre des centièmes, il vaut 0,05. Donc $3,25 = 3 \text{ unités} + 2 \text{ dixièmes} + 5 \text{ centièmes}$.

On peut aussi écrire un nombre décimal en mélangeant la partie entière et les fractions décimales. Exemple : $3,25 = 3 + \frac{2}{10} + \frac{5}{100}$. C'est très utile pour comprendre le lien entre les fractions décimales et les nombres à virgule. Autre exemple : $12,07 = 12 + \frac{0}{10} + \frac{7}{100} = 12 + \frac{7}{100}$.