Multiples et diviseurs

Un multiple est le résultat d'une multiplication. C'est un nombre que l'on obtient en multipliant un nombre par un autre nombre entier. Par exemple :

• $3 \times 4 = 12$. Donc, $12$ est un multiple de $3$ et de $4$.
• Si tu comptes de 2 en 2 (2, 4, 6, 8...), tu listes les multiples de 2.

Un multiple est un nombre qui peut être divisé exactement par un autre nombre, sans reste.

C'est facile de reconnaître certains multiples :

• Multiples de 2 : Ce sont tous les nombres pairs. Ils se terminent par $0, 2, 4, 6$ ou $8$. Exemples : $14, 28, 50, 102$.
• Multiples de 5 : Ils se terminent toujours par $0$ ou $5$. Exemples : $15, 30, 75, 100$.
• Multiples de 10 : Ils se terminent toujours par $0$. Exemples : $20, 60, 130, 200$.

Pour trouver les multiples d'un nombre, il suffit de multiplier ce nombre par $0, 1, 2, 3, 4$, etc. Les multiples d'un nombre sont infinis. Exemple avec les multiples de 3 :

• $3 \times 0 = 0$
• $3 \times 1 = 3$
• $3 \times 2 = 6$
• $3 \times 3 = 9$
• ... Les multiples de 3 sont : $0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...$

Un diviseur est un nombre par lequel on peut diviser un autre nombre sans qu'il y ait de reste. Si tu peux partager des objets en groupes égaux sans qu'il en reste, le nombre de groupes ou le nombre d'objets par groupe est un diviseur. Par exemple : $12 \div 3 = 4$ et il ne reste rien. Donc, $3$ est un diviseur de $12$. $4$ est aussi un diviseur de $12$.

Un diviseur est un nombre qui "entre" un nombre entier de fois dans un autre nombre.

La multiplication et la division sont liées ! Ce sont des opérations inverses. Si tu sais que $A \times B = C$, alors tu sais aussi que $A$ et $B$ sont des diviseurs de $C$. Exemple :

• On sait que $5 \times 6 = 30$.
• Alors, $5$ est un diviseur de $30$.
• Et $6$ est un diviseur de $30$.
• On peut écrire : $30 \div 5 = 6$ et $30 \div 6 = 5$.

C'est une règle très importante :

• Tout nombre est divisible par 1. Exemple : $7 \div 1 = 7$. Donc, $1$ est un diviseur de $7$.
• Tout nombre est divisible par lui-même. Exemple : $7 \div 7 = 1$. Donc, $7$ est un diviseur de $7$. Ces deux diviseurs sont toujours présents pour n'importe quel nombre (sauf 0).

Pour savoir si un nombre est divisible par 2, 5 ou 10, c'est facile :

• Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (il se termine par $0, 2, 4, 6$ ou $8$). Exemple : $36$ est divisible par 2 car il se termine par $6$.
• Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par $0$ ou $5$. Exemple : $45$ est divisible par 5 car il se termine par $5$.
• Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par $0$. Exemple : $70$ est divisible par 10 car il se termine par $0$.

Pour trouver tous les diviseurs d'un nombre, tu peux essayer de le diviser par $1, 2, 3, 4,$ etc. jusqu'à ce que tu trouves tous les couples de diviseurs. Les diviseurs sont toujours en nombre fini. Exemple pour trouver les diviseurs de $12$ :

• $12 \div 1 = 12$ (donc $1$ et $12$ sont des diviseurs)
• $12 \div 2 = 6$ (donc $2$ et $6$ sont des diviseurs)
• $12 \div 3 = 4$ (donc $3$ et $4$ sont des diviseurs)
• $12 \div 4 = 3$ (on a déjà $4$ et $3$) Les diviseurs de $12$ sont : $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Les diviseurs sont très utiles pour les problèmes de partage équitable sans reste. Si tu as 18 bonbons et que tu veux les partager en parts égales entre plusieurs enfants sans qu'il en reste, tu cherches les diviseurs de 18. Les diviseurs de 18 sont : $1, 2, 3, 6, 9, 18$. Tu peux partager les 18 bonbons entre 1, 2, 3, 6, 9 ou 18 enfants.

Un multiple commun est un nombre qui est un multiple de deux nombres à la fois. Pour les trouver, on liste les multiples de chaque nombre et on cherche ceux qui sont dans les deux listes. Exemple pour 2 et 3 :

• Multiples de 2 : $0, 2, 4, <mark>6</mark>, 8, 10, <mark>12</mark>, 14, ...$
• Multiples de 3 : $0, 3, <mark>6</mark>, 9, <mark>12</mark>, 15, ...$ Les multiples communs de 2 et 3 sont : $0, 6, 12, ...$ Le plus petit multiple commun (non nul) de 2 et 3 est $6$.

Un diviseur commun est un nombre qui divise deux nombres à la fois sans reste. Pour les trouver, on liste les diviseurs de chaque nombre et on cherche ceux qui sont dans les deux listes. Exemple pour 12 et 18 :

• Diviseurs de 12 : $<mark>1</mark>, <mark>2</mark>, <mark>3</mark>, 4, <mark>6</mark>, 12$
• Diviseurs de 18 : $<mark>1</mark>, <mark>2</mark>, <mark>3</mark>, <mark>6</mark>, 9, 18$ Les diviseurs communs de 12 et 18 sont : $1, 2, 3, 6$. Le plus grand diviseur commun de 12 et 18 est $6$.

• Multiples communs : Utiles pour trouver quand deux événements se produiront en même temps. Par exemple, si un bus passe toutes les 10 minutes et un autre toutes les 15 minutes, quand passeront-ils en même temps ?
• Diviseurs communs : Utiles pour partager des choses en parts égales. Par exemple, si tu as 20 pommes et 30 oranges, et que tu veux faire des paniers identiques avec le plus de fruits possible dans chaque panier.

• Jeu du "Fizz Buzz" : Quand un nombre est un multiple de 3, tu dis "Fizz". Quand il est un multiple de 5, tu dis "Buzz". Quand il est multiple des deux, tu dis "Fizz Buzz" !
• Cartes des diviseurs : Fabrique des cartes avec des nombres. Tire un nombre et trouve tous ses diviseurs le plus vite possible.

1. Un fleuriste a 24 roses et 30 tulipes. Il veut faire des bouquets identiques, avec le même nombre de roses et de tulipes dans chaque bouquet, sans qu'il ne reste de fleurs. Combien de bouquets peut-il faire au maximum ? (Cherche les diviseurs communs de 24 et 30.)
2. Un train part toutes les 10 minutes et un autre toutes les 25 minutes. S'ils partent en même temps à 9h00, à quelle heure repartiront-ils ensemble ? (Cherche le plus petit multiple commun de 10 et 25.)

Invente un petit problème utilisant la notion de multiples ou de diviseurs. Écris-le et demande à un ami de le résoudre ! Cela t'aidera à bien comprendre.