Nombres et calculs

Les grands nombres sont faits de chiffres. La place d'un chiffre dans le nombre est très importante. On regroupe les chiffres par paquets de trois, appelés classes. Exemple : Dans 123 456

• 456 forme la classe des unités simples (centaines, dizaines, unités)
• 123 forme la classe des milliers (centaines de mille, dizaines de mille, unités de mille)

Pour lire : on lit chaque classe, puis on dit son nom. Exemple : 123 456 se lit "cent-vingt-trois-mille-quatre-cent-cinquante-six".

Pour comparer des nombres, on regarde d'abord le nombre de chiffres.

• Celui qui a le plus de chiffres est le plus grand. Exemple : $123~456 > 9~876$

Si les nombres ont le même nombre de chiffres, on compare les chiffres un par un, en partant de la gauche. Exemple : Pour comparer 123 456 et 123 500

1. Les centaines de mille sont les mêmes (1).
2. Les dizaines de mille sont les mêmes (2).
3. Les unités de mille sont les mêmes (3).
4. Les centaines sont différentes : $4 < 5$. Donc $123~456 < 123~500$.

On utilise les symboles :

• $<$ (plus petit que)
• $>$ (plus grand que)
• $=$ (égal à)

Ranger :

• Ordre croissant : du plus petit au plus grand.
• Ordre décroissant : du plus grand au plus petit.

Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux autres nombres. Exemple : Encadrer 456 à la dizaine la plus proche : $450 < 456 < 460$.

Une droite graduée est une ligne droite avec des marques régulières. Chaque marque représente un nombre.

• L'échelle nous dit combien vaut l'espace entre deux marques.
• On peut placer des nombres ou lire des nombres déjà placés.

Exemple : Si chaque grand trait vaut 100 et qu'il y a 10 petits traits entre, alors chaque petit trait vaut 10.

Décomposer un nombre, c'est montrer comment il est construit.

• Décomposition additive (on ajoute les valeurs) : $456 = 400 + 50 + 6$ $123~456 = 100~000 + 20~000 + 3~000 + 400 + 50 + 6$

• Décomposition multiplicative (on multiplie la valeur de chaque chiffre par sa position) : $456 = (4 \times 100) + (5 \times 10) + (6 \times 1)$ $123~456 = (1 \times 100~000) + (2 \times 10~000) + (3 \times 1~000) + (4 \times 100) + (5 \times 10) + (6 \times 1)$

L'addition sert à ajouter, à regrouper. Pour additionner, on peut poser l'opération :

1. On aligne bien les chiffres (unités sous unités, dizaines sous dizaines...).
2. On commence par les unités.
3. S'il y a plus de 9, on met une retenue à la colonne suivante.

Exemple : $123 + 456$

  123
+ 456
-----
  579

Exemple avec retenue : $25 + 38$

  1
  25
+ 38
----
  63

On fait $5+8=13$. On écrit 3 et on retient 1. Puis $2+3+1$ (retenue) $= 6$.

La soustraction sert à enlever, à trouver une différence. Pour soustraire, on pose l'opération :

1. On aligne bien les chiffres.
2. On commence par les unités.
3. Si le chiffre du haut est plus petit, on doit "casser" la dizaine (ou centaine...) d'à côté.

Exemple : $45 - 23$

  45
- 23
----
  22

Exemple avec retenue (qu'on appelle "emprunt") : $53 - 28$

  4 13
  5 3
- 2 8
-----
  2 5

On ne peut pas faire $3-8$. On "casse" une dizaine (le 5 devient 4) et on ajoute 10 aux unités ($3+10=13$). Alors $13-8=5$. Puis $4-2=2$.

Estimer, c'est trouver un résultat "environ". C'est utile pour vérifier si ton calcul est juste. On arrondit les nombres avant de calculer. Exemple : Pour $18 + 32$

• 18 est proche de 20.
• 32 est proche de 30.
• $20 + 30 = 50$. L'ordre de grandeur est 50. (Le vrai résultat est 50, ici l'estimation est exacte !)

Exemple : $123 + 489$

• 123 est proche de 100.
• 489 est proche de 500.
• $100 + 500 = 600$. L'ordre de grandeur est 600.

Pour résoudre un problème :

1. Je lis bien l'énoncé.
2. Je cherche ce que je dois trouver.
3. Je repère les mots-clés :
   • "en tout", "ensemble", "ajouter" $\rightarrow$ addition
   • "reste", "différence", "enlever", "de moins" $\rightarrow$ soustraction
4. Je fais le calcul.
5. J'écris une phrase pour ma réponse.

Exemple : J'ai 15 billes. Mon ami m'en donne 7. Combien de billes j'ai en tout ? Calcul : $15 + 7 = 22$. Phrase réponse : J'ai 22 billes en tout.

La multiplication, c'est une addition répétée. Exemple : $3 \times 4$, c'est $4 + 4 + 4$ (3 fois le nombre 4). Le résultat s'appelle le produit. On l'utilise pour des groupements (3 paquets de 4 bonbons) ou des surfaces (3 rangées de 4 carreaux).

Il faut connaître les tables de multiplication de 0 à 10 par cœur ! C'est très important pour aller vite en calcul.

• La commutativité : l'ordre des nombres ne change pas le résultat. Exemple : $3 \times 4 = 12$ et $4 \times 3 = 12$.

On pose la multiplication :

1. On multiplie le chiffre du bas par chaque chiffre du haut, en commençant par les unités.
2. On gère les retenues comme pour l'addition.

Exemple : $123 \times 2$

  123
x   2
-----
  246

$2 \times 3 = 6$ $2 \times 2 = 4$ $2 \times 1 = 2$

Multiplication par 10, 100, 1000 :

• Pour multiplier par 10, on ajoute un zéro à la fin. Ex: $15 \times 10 = 150$.
• Pour multiplier par 100, on ajoute deux zéros à la fin. Ex: $15 \times 100 = 1500$.
• Pour multiplier par 1000, on ajoute trois zéros à la fin. Ex: $15 \times 1000 = 15000$.

On fait deux multiplications et une addition :

1. On multiplie le nombre du haut par les unités du nombre du bas.
2. On multiplie le nombre du haut par les dizaines du nombre du bas (on n'oublie pas le zéro des unités !).
3. On additionne les deux résultats.

Exemple : $23 \times 12$

  23
x 12
----
  46  ($23 \times 2$)
230  ($23 \times 10$)
----
276

La division, c'est partager une quantité en parts égales ou faire des groupements.

• Dividende : le nombre que l'on partage (le total).
• Diviseur : le nombre de parts ou la taille des groupes.
• Quotient : le résultat (la taille d'une part ou le nombre de groupes).
• Reste : ce qu'il reste et qu'on ne peut plus partager.

Exemple : J'ai 10 bonbons à partager entre 3 enfants. Chaque enfant aura 3 bonbons (quotient), et il restera 1 bonbon (reste). $10 = (3 \times 3) + 1$

On ne peut pas toujours partager parfaitement. Il y a souvent un reste.

• Le reste est toujours plus petit que le diviseur. Exemple : $10 \div 3 = 3$ reste $1$. Le reste (1) est plus petit que le diviseur (3).

C'est une technique pour trouver le quotient et le reste. Exemple : $75 \div 3$

1. Combien de fois 3 dans 7 ? 2 fois. $3 \times 2 = 6$.
2. $7 - 6 = 1$.
3. On abaisse le 5. On a 15.
4. Combien de fois 3 dans 15 ? 5 fois. $3 \times 5 = 15$.
5. $15 - 15 = 0$. Le quotient est 25, le reste est 0.

  75 | 3
- 6  |---
---  | 25
  15
- 15
----
   0

Quand tu vois dans un problème des mots comme "partager", "distribuer en parts égales", "faire des paquets de...", pense à la division.

1. Je lis l'énoncé.
2. Je cherche ce que je dois trouver (nombre de parts, nombre d'objets par part...).
3. Je fais la division.
4. J'interprète le quotient et le reste pour écrire ma phrase réponse.

Exemple : J'ai 20 fleurs. Je veux faire des bouquets de 6 fleurs. Combien de bouquets puis-je faire ? Combien de fleurs me restera-t-il ? Calcul : $20 \div 6 = 3$ reste $2$. Phrase réponse : Je peux faire 3 bouquets et il me restera 2 fleurs.

Une fraction, c'est une façon d'écrire une partie d'un tout.

• Le numérateur (en haut) indique le nombre de parts que l'on prend.
• Le dénominateur (en bas) indique en combien de parts égales le tout a été coupé.

Exemple : $\frac{1}{2}$ se lit "un demi". C'est 1 part sur 2. $\frac{3}{4}$ se lit "trois quarts". C'est 3 parts sur 4.

On peut dessiner des fractions :

• Un cercle coupé en parts égales.
• Une bande (un rectangle) coupée en parts égales.

Exemple : Pour $\frac{1}{2}$, on colorie une moitié d'un cercle. Pour comparer des fractions :

• Si elles ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Exemple : $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$
• Si elles ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (parce que les parts sont plus grandes). Exemple : $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$

Une fraction peut être égale à un nombre entier. Exemple : $\frac{4}{4} = 1$ (4 parts sur 4, c'est le tout !) $\frac{6}{3} = 2$ (6 parts, coupées par 3, ça fait 2 entiers).

On peut aussi décomposer une fraction : Exemple : $\frac{5}{2}$ (cinq demis) C'est 2 entiers et un demi. $\frac{5}{2} = 2 + \frac{1}{2}$. Pour encadrer une fraction entre deux nombres entiers : Exemple : Pour $\frac{5}{2}$ $2 < \frac{5}{2} < 3$. (C'est entre 2 et 3)