Les nombres

Pour lire et écrire les grands nombres, on utilise des "classes". Chaque classe a 3 chiffres :

• Classe des unités simples : centaines, dizaines, unités (ex: 123)
• Classe des milliers : centaines de milliers, dizaines de milliers, unités de milliers (ex: 456 000)
• Classe des millions : centaines de millions, dizaines de millions, unités de millions (ex: 789 000 000)
• Classe des milliards : centaines de milliards, dizaines de milliards, unités de milliards (ex: 1 000 000 000)

Exemple : Le nombre 1 234 567 890 se lit "un milliard deux cent trente-quatre millions cinq cent soixante-sept mille huit cent quatre-vingt-dix". Chaque chiffre a une valeur de position différente. Le 1 dans 1 000 000 000 ne vaut pas la même chose que le 1 dans 100.

Décomposer un nombre, c'est montrer comment il est construit.

1. Décomposition additive : On additionne la valeur de chaque chiffre. Exemple : $1234 = 1000 + 200 + 30 + 4$
2. Décomposition multiplicative : On multiplie chaque chiffre par sa valeur de position, puis on additionne. Exemple : $1234 = (1 \times 1000) + (2 \times 100) + (3 \times 10) + (4 \times 1)$ Comprendre cette structure aide à mieux saisir la taille des nombres.

Pour comparer deux grands nombres :

1. Compte le nombre de chiffres. Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand. Exemple : $1234$ (4 chiffres) est plus grand que $987$ (3 chiffres).
2. Si les nombres ont le même nombre de chiffres, compare-les chiffre par chiffre en commençant par la gauche. Exemple : Pour comparer $56789$ et $56798$ :
   • Les dizaines de milliers sont pareilles (5).
   • Les milliers sont pareils (6).
   • Les centaines sont pareilles (7).
   • Les dizaines : $8 < 9$. Donc $56789 < 56798$. Ranger des nombres, c'est les mettre dans l'ordre :

• Ordre croissant : du plus petit au plus grand.
• Ordre décroissant : du plus grand au plus petit.

Un nombre décimal a deux parties, séparées par une virgule :

• La partie entière : à gauche de la virgule (unités, dizaines, centaines...).
• La partie décimale : à droite de la virgule (dixièmes, centièmes, millièmes...).

Exemple : Dans $12,345$

• $12$ est la partie entière.
• $345$ est la partie décimale.
• $3$ représente les dixièmes ($\frac{3}{10}$).
• $4$ représente les centièmes ($\frac{4}{100}$).
• $5$ représente les millièmes ($\frac{5}{1000}$).

On lit d'abord la partie entière, puis la partie décimale en précisant sa valeur. Exemple : $3,25$ se lit "trois virgule vingt-cinq" ou "trois unités et vingt-cinq centièmes".

• Les zéros inutiles sont à la fin de la partie décimale (ex: $1,50 = 1,5$).
• Les zéros nécessaires sont ceux qui donnent une valeur au chiffre (ex: $0,05$ où le 0 avant le 5 est nécessaire). Les nombres décimaux sont souvent liés aux fractions décimales (dénominateur 10, 100, 1000...). Exemple : $0,5 = \frac{5}{10}$.

Pour placer un nombre décimal sur une droite graduée :

1. Trouve les deux nombres entiers entre lesquels il se trouve (ex: $2,7$ est entre $2$ et $3$).
2. Observe les graduations intermédiaires. Si elles sont divisées en 10, chaque petite graduation représente un dixième. Exemple : $2,7$ se trouve à 7 petites graduations après le $2$. La précision de la droite graduée dépend de comment elle est divisée.

Pour comparer des nombres décimaux :

1. Compare d'abord les parties entières. Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand. Exemple : $5,2$ est plus grand que $3,9$.
2. Si les parties entières sont égales, compare les parties décimales chiffre par chiffre en commençant par les dixièmes. Il peut être utile d'ajouter des zéros pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule. Exemple : Pour comparer $4,25$ et $4,2$ :
   • Parties entières égales (4).
   • Dixièmes égaux (2).
   • Ajoutons un zéro : $4,20$. Maintenant on compare $4,25$ et $4,20$.
   • Centièmes : $5 > 0$. Donc $4,25 > 4,2$.

Une fraction représente une partie d'un tout ou d'une quantité. Elle est composée de :

• Un numérateur (en haut) : le nombre de parts que l'on prend.
• Un dénominateur (en bas) : le nombre total de parts égales.
• La barre de fraction signifie "divisé par". Exemple : $\frac{3}{4}$ signifie 3 parts sur 4. C'est comme partager un gâteau en 4 et en prendre 3 parts.

Des fractions égales représentent la même quantité, même si les chiffres sont différents. Exemple : $\frac{1}{2}$ est égal à $\frac{2}{4}$. On a pris la moitié dans les deux cas. Pour trouver une fraction égale, on peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre (sauf zéro). Exemple : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$. Simplifier une fraction, c'est la rendre la plus "petite" possible en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun. On obtient alors une fraction irréductible. Exemple : $\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.

Pour comparer des fractions :

1. Si elles ont le même dénominateur : La fraction avec le plus grand numérateur est la plus grande. Exemple : $\frac{3}{5} < \frac{4}{5}$.
2. Si elles ont le même numérateur : La fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande. Exemple : $\frac{3}{4} > \frac{3}{5}$ (car partager en 4 donne de plus grandes parts que partager en 5).
3. Si numérateurs et dénominateurs sont différents : Il faut les réduire au même dénominateur (trouver un multiple commun aux dénominateurs), puis comparer les numérateurs. Exemple : Comparer $\frac{1}{2}$ et $\frac{2}{3}$. Le dénominateur commun est 6. $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$ et $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$. Comme $\frac{3}{6} < \frac{4}{6}$, alors $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}$.

Certaines fractions peuvent s'écrire facilement sous forme de nombre décimal. Ce sont les fractions décimales dont le dénominateur est 10, 100, 1000... Exemple : $\frac{7}{10} = 0,7$. Pour convertir une fraction en décimal, on divise le numérateur par le dénominateur. Exemple : $\frac{1}{4} = 1 \div 4 = 0,25$. Pour convertir un décimal en fraction : Exemple : $0,25 = \frac{25}{100}$ (puis on peut simplifier en $\frac{1}{4}$).

La règle d'or : aligner les virgules !

1. Écris les nombres les uns sous les autres en alignant bien les virgules.
2. Tu peux ajouter des zéros à la fin de la partie décimale pour que les nombres aient la même longueur, si ça t'aide.
3. Fais l'addition ou la soustraction comme avec des nombres entiers.
4. N'oublie pas de remettre la virgule au résultat, alignée avec les autres.

Exemple : $12,5 + 3,75$ $12,50$ $+ \quad 3,75$ $= 16,25$

L'estimation du résultat aide à vérifier que tu ne t'es pas trompé. $12,5 + 3,75 \approx 13 + 4 = 17$.

1. Fais la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule.
2. Compte le nombre de chiffres après la virgule dans le nombre décimal de départ.
3. Dans le résultat (le produit), place la virgule de façon à avoir le même nombre de chiffres après la virgule.

Exemple : $3,2 \times 4$ $32 \times 4 = 128$ Il y a 1 chiffre après la virgule dans $3,2$. Donc le résultat est $12,8$.

La division euclidienne (ou division avec reste) s'applique aux nombres entiers. Elle permet de trouver combien de fois un nombre (diviseur) est contenu dans un autre (dividende) et quel est le reste. Formule : Dividende = (Diviseur $\times$ Quotient) + Reste Le reste doit toujours être plus petit que le diviseur. Exemple : $17 \div 5$

• Le diviseur est $5$. Le dividende est $17$.
• $5 \times 3 = 15$. $5 \times 4 = 20$. Donc $3$ est le quotient.
• $17 - 15 = 2$. Le reste est $2$. On peut vérifier : $(5 \times 3) + 2 = 15 + 2 = 17$.

Quand on divise un nombre décimal par un entier :

1. Fais la division comme d'habitude.
2. Quand tu arrives à la virgule du dividende, place une virgule au quotient avant de continuer la division.
3. Tu peux ajouter des zéros après la virgule du dividende pour continuer la division et obtenir un quotient décimal plus précis (jusqu'aux dixièmes, centièmes...). Exemple : $7,5 \div 2$ $7 \div 2 = 3$ reste $1$. On passe la virgule au quotient, on "descend" le $5$. On a $15$. $15 \div 2 = 7$ reste $1$. On ajoute un $0$ imaginaire : $10 \div 2 = 5$ reste $0$. Le quotient est $3,75$.

Pour résoudre un problème :

1. Lis bien l'énoncé pour comprendre ce qu'on te demande.
2. Repère les informations importantes et les nombres.
3. Choisis la bonne opération (addition, soustraction, multiplication, division).
4. Fais le calcul.
5. Écris une phrase réponse claire. Exemple : "Une ville a 1 250 000 habitants. Une autre en a 980 000. Combien d'habitants de plus a la première ville ?" Opération : $1 250 000 - 980 000 = 270 000$. Réponse : "La première ville a 270 000 habitants de plus."

Les nombres décimaux sont partout dans la vie de tous les jours : les prix, les mesures (longueur, poids, capacité). Même méthode que pour les grands nombres :

1. Comprendre la situation.
2. Choisir l'opération adaptée.
3. Faire attention à la virgule dans les calculs.
4. Vérifier la cohérence du résultat : est-ce que ma réponse a du sens ? Exemple : "J'achète 3 stylos à 1,20 € chacun. Combien je paie en tout ?" Opération : $1,20 \times 3 = 3,60$. Réponse : "Je paie 3,60 € en tout."

Les fractions servent à faire des partages équitables ou à calculer une partie d'une quantité. Exemple de partage : "Un gâteau est coupé en 8 parts égales. Je mange $\frac{3}{8}$ du gâteau." Exemple de calcul : "Dans une classe de 24 élèves, $\frac{1}{3}$ sont des filles. Combien y a-t-il de filles ?" Calcul : $\frac{1}{3} \text{ de } 24 = (24 \div 3) \times 1 = 8$. Réponse : "Il y a 8 filles." On les retrouve aussi dans les recettes (ex: $\frac{1}{2}$ litre de lait) ou les distances.