Comparer, ranger et encadrer des nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre qui a une partie entière et une partie décimale, séparées par une virgule.

• Exemple : $3,45$
  • $3$ est la partie entière.
  • $45$ est la partie décimale. Les chiffres après la virgule ont des noms :
• Le premier chiffre est le chiffre des dixièmes. (Ex: $3,<mark>\textbf{4}</mark>5$)
• Le deuxième chiffre est le chiffre des centièmes. (Ex: $3,4<mark>\textbf{5}</mark>$)
• Le troisième chiffre est le chiffre des millièmes.

Chaque chiffre a une valeur selon sa position :

• Avant la virgule (partie entière) :
  • Unités (juste avant la virgule)
  • Dizaines
  • Centaines
• Après la virgule (partie décimale) :
  • Dixièmes ($\frac{1}{10}$)
  • Centièmes ($\frac{1}{100}$)
  • Millièmes ($\frac{1}{1000}$) Exemple : Dans $125,37$:
• $1$ est le chiffre des centaines.
• $2$ est le chiffre des dizaines.
• $5$ est le chiffre des unités.
• $3$ est le chiffre des dixièmes. ($3 \times \frac{1}{10}$)
• $7$ est le chiffre des centièmes. ($7 \times \frac{1}{100}$)

On peut représenter les nombres décimaux de plusieurs façons :

• Sur une droite numérique : C'est comme une règle. On place les nombres à leur place exacte.
• Avec un tableau de numération : Cela aide à bien voir la valeur de chaque chiffre.

• Exemples concrets : Mesurer une taille ($1,50$ m), un prix ($2,75$ €).

C'est la première étape !

1. On regarde la partie entière de chaque nombre.
2. Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand.
   • Exemple : $5,2$ et $3,8$.
     • $5 > 3$, donc $5,2 > 3,8$.
3. Si les parties entières sont égales, on passe à l'étape suivante.
   • Exemple : $<mark>\textbf{7}</mark>,4$ et $<mark>\textbf{7}</mark>,9$. Les parties entières sont $7$ et $7$.

Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres après la virgule, de gauche à droite.

1. On compare les dixièmes.
   • Exemple : $7,<mark>\textbf{4}</mark>$ et $7,<mark>\textbf{9}</mark>$. $4 < 9$, donc $7,4 < 7,9$.
2. Si les dixièmes sont égaux, on compare les centièmes.
   • Exemple : $7,4<mark>\textbf{2}</mark>$ et $7,4<mark>\textbf{8}</mark>$. $2 < 8$, donc $7,42 < 7,48$.
3. Et ainsi de suite avec les millièmes si nécessaire.

Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre.

• $0,5 = 0,50 = 0,500$ Cela peut aider à comparer plus facilement en ayant le même nombre de chiffres après la virgule.
• Exemple : Comparer $3,2$ et $3,15$.
  • On peut écrire $3,2$ comme $3,<mark>\textbf{20}</mark>$.
  • Maintenant, on compare $3,20$ et $3,15$.
  • Les parties entières sont égales ($3$).
  • On compare les dixièmes : $2 > 1$. Donc $3,20 > 3,15$.
  • Ainsi, $3,2 > 3,15$.

• $<$ signifie "plus petit que". Exemple : $3 < 5$.
• $>$ signifie "plus grand que". Exemple : $5 > 3$.
• $=$ signifie "égal à". Exemple : $3 = 3$.

C'est ranger les nombres du plus petit au plus grand. Méthode :

1. Utilise les règles de comparaison (parties entières, puis décimales).
2. Place le plus petit en premier, puis le suivant, etc.
   • Exemple : Ranger $2,5 \,;\, 2,15 \,;\, 2,8$
     • $2,15 < 2,5 < 2,8$ (on peut écrire $2,50$ pour aider)

C'est ranger les nombres du plus grand au plus petit. Méthode : C'est l'inverse de l'ordre croissant.

1. Trouve le plus grand nombre en premier.
2. Puis le suivant, jusqu'au plus petit.
   • Exemple : Ranger $2,5 \,;\, 2,15 \,;\, 2,8$
     • $2,8 > 2,5 > 2,15$

• Tableau de numération : Écris les nombres dans le tableau pour bien voir la valeur de chaque chiffre.
• Ajouter des zéros : Mets le même nombre de chiffres après la virgule pour tous les nombres. C'est très utile ! (Ex: $2,5 \rightarrow 2,50$)
• Droite numérique : Imagine les nombres sur une droite. Le nombre le plus à gauche est le plus petit.

C'est trouver les deux nombres entiers les plus proches qui entourent le nombre décimal.

• Exemple : Encadrer $4,7$.
  • L'entier juste avant est $4$.
  • L'entier juste après est $5$.
  • Donc : $4 < 4,7 < 5$.
• C'est comme trouver le "voisin entier" d'un nombre.

C'est trouver les deux nombres avec un chiffre après la virgule (des dixièmes) les plus proches.

• Exemple : Encadrer $3,24$.
  • Le dixième juste avant est $3,2$.
  • Le dixième juste après est $3,3$.
  • Donc : $3,2 < 3,24 < 3,3$.

C'est trouver les deux nombres avec deux chiffres après la virgule (des centièmes) les plus proches.

• Exemple : Encadrer $1,568$.
  • Le centième juste avant est $1,56$.
  • Le centième juste après est $1,57$.
  • Donc : $1,56 < 1,568 < 1,57$.

L'encadrement nous aide à comprendre la valeur d'un nombre décimal et à faire des estimations.

• Si tu encadres $4,7$ entre $4$ et $5$, tu sais que $4,7$ est "presque $5$".
• C'est la première étape pour faire un arrondi (donner une valeur plus simple et proche).
• Utile pour estimer un prix ou une mesure rapidement sans calcul précis.