Encadrer un nombre entier

Encadrer un nombre, c'est trouver un nombre juste avant et un nombre juste après. Ces deux nombres "entourent" le nombre que tu veux encadrer.

On dit que le nombre juste avant est inférieur à le nombre encadré. On dit que le nombre juste après est supérieur à le nombre encadré.

Exemple : Si on encadre 5, on cherche le nombre avant (4) et le nombre après (6). $4 < 5 < 6$

La droite numérique est une ligne où tu peux placer les nombres dans l'ordre. Elle aide à bien comprendre l'encadrement.

Imagine que tu places le nombre 7 sur la droite. Le nombre juste avant (6) est à sa gauche. Le nombre juste après (8) est à sa droite.

<--- 6 --- 7 --- 8 --->

• Le nombre encadré : C'est le nombre au milieu.
• La borne inférieure : C'est le nombre le plus petit, juste avant.
• La borne supérieure : C'est le nombre le plus grand, juste après.

On utilise des signes pour écrire l'encadrement :

• < signifie "inférieur à" ou "plus petit que".
• > signifie "supérieur à" ou "plus grand que".

Exemple : Pour encadrer 12 : $11 < 12 < 13$ Ici, 11 est la borne inférieure et 13 est la borne supérieure.

Pour encadrer un nombre à l'unité près, c'est simple !

1. Pour trouver le nombre précédent (juste avant), tu retires 1 au nombre.
2. Pour trouver le nombre suivant (juste après), tu ajoutes 1 au nombre.

Exemple : Encadrer 25. Précédent : $25 - 1 = 24$ Suivant : $25 + 1 = 26$ Donc, $24 < 25 < 26$.

La règle est la même pour les grands nombres.

Exemple : Encadrer 345. $344 < 345 < 346$

Exemple : Encadrer 1 234. $1233 < 1234 < 1235$

Exemple : Encadrer 45 678. $45677 < 45678 < 45679$

Fais attention quand le nombre se termine par 0 ou 9 ! Exemple : Encadrer 79. $78 < 79 < 80$ (le 79 est entre 78 et 80)

Complète les encadrements :

Réponses : $14 < 15 < 16$, $41 < 42 < 43$, $99 < 100 < 101$, $566 < 567 < 568$, $998 < 999 < 1000$.

Pour encadrer à la dizaine près, tu cherches les dizaines "rondes" qui entourent ton nombre.

1. Regarde le chiffre des unités du nombre.
2. La borne inférieure est la dizaine juste avant. Tu mets un $0$ à la place des unités.
3. La borne supérieure est la dizaine juste après.

Exemple : Encadrer 37 à la dizaine près. Le chiffre des unités est 7. La dizaine inférieure est 30. La dizaine supérieure est 40. Donc, $30 < 37 < 40$.

Exemple : Encadrer 123 à la dizaine près. $120 < 123 < 130$.

C'est la même idée, mais avec les centaines !

1. Regarde les chiffres des unités et des dizaines.
2. La borne inférieure est la centaine juste avant (avec deux $0$ à la fin).
3. La borne supérieure est la centaine juste après.

Exemple : Encadrer 456 à la centaine près. La centaine inférieure est 400. La centaine supérieure est 500. Donc, $400 < 456 < 500$.

Pour encadrer au millier près, tu cherches les milliers "ronds".

1. Regarde les chiffres des unités, dizaines et centaines.
2. La borne inférieure est le millier juste avant (avec trois $0$ à la fin).
3. La borne supérieure est le millier juste après.

Exemple : Encadrer 2 789 au millier près. Le millier inférieur est 2 000. Le millier supérieur est 3 000. Donc, $2000 < 2789 < 3000$.

Tu peux encadrer à la dizaine de milliers, à la centaine de milliers, etc. La méthode est toujours la même !

• Pour encadrer à la dizaine de milliers près : regarde les milliers, centaines, dizaines, unités. Mets quatre $0$. Exemple : Encadrer 56 789 à la dizaine de milliers près. $50000 < 56789 < 60000$.

L'encadrement est utile pour faire des estimations. C'est comme donner une idée "à peu près" d'un résultat, sans faire le calcul exact. Cela sert à vérifier si ta réponse est logique.

Exemple : Tu veux calculer $48 + 23$. Encadre 48 à la dizaine : $40 < 48 < 50$ Encadre 23 à la dizaine : $20 < 23 < 30$

Le résultat sera entre $40 + 20 = 60$ et $50 + 30 = 80$. Donc, la somme $48 + 23$ sera entre 60 et 80. (Le vrai résultat est 71, ce qui est bien entre 60 et 80 !)

On utilise l'estimation par encadrement tous les jours !

• Les courses : "J'ai 20 euros, est-ce que je peux acheter trois articles à environ 5, 8 et 6 euros ?" ($5+8+6 = 19$, donc oui !)
• Les distances : "Il me reste 100 km à faire, et je roule à environ 80 km/h. J'arriverai dans un peu plus d'une heure."
• Le temps : "Il est 14h, le film dure 1h30, je serai rentré vers 15h30."

L'encadrement aide à prendre des décisions rapides et à comprendre les ordres de grandeur.

L'encadrement peut t'aider à répondre à des questions sans avoir besoin du calcul exact.

Problème : Une école commande 315 livres. Chaque livre coûte 9 euros. Le directeur a un budget de 3 000 euros. Est-ce qu'il a assez d'argent ?

Solution avec encadrement : Encadre le nombre de livres : $300 < 315 < 400$ Le prix est 9 euros, c'est presque 10 euros.

Prix minimum estimé : $300 \times 9 = 2700$ euros Prix maximum estimé : $400 \times 10 = 4000$ euros

Le coût réel est entre 2 700 € et 4 000 €. Le budget est de 3 000 €. Il est possible que le directeur n'ait pas assez d'argent si le prix réel est plus proche de 4000 euros. (Calcul exact : $315 \times 9 = 2835$ euros. Il a assez, mais l'encadrement nous a montré que c'était "juste" !)