La résolution de problèmes de proportionnalité

La proportionnalité est un lien simple entre deux grandeurs. Cela veut dire que quand une quantité augmente, l'autre augmente aussi, toujours de la même manière. Par exemple, si tu achètes 2 stylos pour 1 euro, tu achèteras 4 stylos pour 2 euros. Le prix est proportionnel au nombre de stylos.

Pour savoir si une situation est proportionnelle, cherche si les quantités doublent ou triplent en même temps.

• Exemple proportionnel : Le prix des pommes au kilo. Si 1 kg coûte 2€, alors 2 kg coûteront 4€.
• Exemple non proportionnel : L'âge et la taille. Quand tu as 6 ans, tu mesures 1m20. Quand tu as 12 ans, tu ne mesures pas 2m40 !

On utilise souvent un tableau de proportionnalité pour organiser les données.

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie les valeurs d'une ligne ou colonne pour trouver les valeurs de l'autre. Dans l'exemple des stylos : $0,50 \div 1 = 0,50$. Le coefficient est 0,50. On peut aussi faire $1 \div 0,50 = 2$. Il sert à passer d'une quantité à l'autre.

Cette méthode consiste à trouver la valeur pour une seule unité. C'est une étape très utile pour résoudre des problèmes.

• Si 3 bonbons coûtent 6 euros, combien coûte 1 bonbon ? $6 \div 3 = 2$ euros.
• Ensuite, si tu veux 5 bonbons, tu fais $5 \times 2 = 10$ euros.

• Achats : Si 4 yaourts coûtent 2€, combien coûtent 7 yaourts ?
  1. Prix d'un yaourt : $2 \div 4 = 0,50$ €
  2. Prix de 7 yaourts : $7 \times 0,50 = 3,50$ €
• Recettes : Pour 6 personnes, il faut 300g de farine. Pour 10 personnes ?
  1. Farine pour 1 personne : $300 \div 6 = 50$ g
  2. Farine pour 10 personnes : $10 \times 50 = 500$ g

1. Écris clairement le calcul pour trouver la valeur de l'unité.
2. Écris le calcul pour trouver la réponse finale.
3. N'oublie pas la phrase de réponse ! "7 yaourts coûtent 3,50 €."

On trouve le nombre par lequel on multiplie une ligne pour obtenir l'autre. Exemple :

1. Trouve le coefficient : $10 \div 5 = 2$.
2. Applique le coefficient : $8 \times 2 = 16$. Le prix de 8 cahiers est 16 €.

C'est très pratique pour remplir des tableaux.

1. Coefficient : $6 \div 2 = 3$.
2. Pour 5 L : $5 \times 3 = 15$ oranges.
3. Pour 8 L : $8 \times 3 = 24$ oranges.

C'est une bonne méthode quand tu dois faire plusieurs calculs avec le même rapport. Elle est directe et efficace.

La règle de trois, ou produit en croix, est très utile quand tu as 3 nombres connus et que tu cherches le $4^e$. Imagine un tableau avec 4 cases :

Si A, B, C sont connus et que tu cherches D, la règle est : $D = (B \times C) \div A$. On multiplie les nombres en diagonale et on divise par le troisième.

Problème : Si 3 kg de pommes coûtent 4,50 €, combien coûtent 5 kg ?

Calcul : $(5 \times 4,50) \div 3 = 22,50 \div 3 = 7,50$ €. 5 kg de pommes coûtent 7,50 €.

• Avantage : Très rapide et efficace pour trouver une valeur manquante.
• Limite : Il faut bien placer les nombres dans le tableau pour ne pas faire d'erreur. Vérifie toujours si le résultat a du sens.

• Si le problème parle d'une seule unité (le prix d'un objet), utilise le passage à l'unité.
• Si tu dois remplir un tableau ou faire plusieurs calculs avec le même rapport, utilise le coefficient de proportionnalité.
• Si tu as trois nombres et tu cherches le quatrième, la règle de trois est souvent la plus rapide. L'important est de bien lire l'énoncé.

Certains problèmes sont plus longs.

1. Décompose : Coupe le problème en plusieurs petites questions.
2. Résous chaque étape : Utilise la bonne méthode pour chaque petite question.
3. Combine : Mets ensemble les résultats pour trouver la réponse finale.

Une fois que tu as la réponse :

1. Relis la question : as-tu bien répondu à ce qui est demandé ?
2. Est-ce que le résultat est logique ? Si 3 stylos coûtent 1,50 € et que ta réponse dit que 5 stylos coûtent 100 €, c'est sûrement faux !
3. Écris une phrase claire pour ta réponse.