Les opérations sur les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre qui a une virgule. Il est composé de deux parties :

• La partie entière : les chiffres avant la virgule.
• La partie décimale : les chiffres après la virgule.

Exemple : Dans $12,34$, $12$ est la partie entière et $34$ est la partie décimale.

Pour lire un nombre décimal, on lit d'abord la partie entière, puis on dit "virgule" ou on nomme la position du dernier chiffre décimal.

Exemples :

• $0,1$ se lit "zéro virgule un" ou "un dixième".
• $0,01$ se lit "zéro virgule zéro un" ou "un centième".
• $5,25$ se lit "cinq virgule vingt-cinq" ou "cinq unités et vingt-cinq centièmes".

Chaque chiffre après la virgule a une valeur de position :

• 1er chiffre après la virgule : les dixièmes.
• 2ème chiffre après la virgule : les centièmes.
• 3ème chiffre après la virgule : les millièmes.

Pour comparer des nombres décimaux :

1. On compare d'abord les parties entières. Le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand.
2. Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres de la partie décimale un par un, de gauche à droite (dixièmes, puis centièmes, etc.).

Exemple : Comparer $3,45$ et $3,5$.

• Parties entières : $3 = 3$.
• Dixièmes : $4 < 5$. Donc $3,45 < 3,5$.

On peut placer les nombres décimaux sur une droite graduée. Entre deux nombres entiers, il y a dix dixièmes. Chaque petite graduation représente un dixième.

Exemple : Pour placer $2,3$, on va sur le $2$, puis on compte $3$ petites graduations vers la droite. Pour encadrer un nombre décimal, on cherche les deux nombres entiers ou décimaux les plus proches. Exemple : $2 < 2,3 < 3$ (encadrement à l'unité).

Pour additionner des nombres décimaux, il faut impérativement aligner les virgules. On additionne ensuite comme des nombres entiers.

1. On écrit les nombres les uns sous les autres en alignant bien les virgules. Les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, etc.
2. On peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale pour qu'ils aient le même nombre de chiffres après la virgule. Cela ne change pas leur valeur.
3. On additionne en commençant par la droite, en gérant les retenues.
4. On place la virgule dans le résultat, exactement sous les autres virgules.

Exemple : $12,3 + 4,56$

  12,30
+  4,56
-------
  16,86

Pour estimer, on arrondit les nombres à l'entier le plus proche. Cela permet de vérifier si le résultat est plausible. Exemple : $12,3 + 4,56 \approx 12 + 5 = 17$. Le résultat $16,86$ est proche de $17$, c'est cohérent.

Pour résoudre un problème, on identifie les quantités à ajouter. On pose l'opération correctement et on écrit une phrase réponse. Exemple : J'achète un livre à $7,50$ € et un stylo à $2,25$ €. Combien dois-je payer ? $7,50 + 2,25 = 9,75$ €. Je dois payer $9,75$ €.

Comme pour l'addition, il est essentiel d'aligner les virgules. On soustrait ensuite comme des nombres entiers.

1. On écrit les nombres l'un sous l'autre en alignant les virgules.
2. On ajoute des zéros à la fin de la partie décimale pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule si besoin.
3. On soustrait en commençant par la droite, en gérant les emprunts.
4. On place la virgule dans le résultat, sous les autres virgules.

Exemple : $25,8 - 3,45$

  25,80
-  3,45
-------
  22,35

On arrondit les nombres à l'entier pour estimer le résultat. Exemple : $25,8 - 3,45 \approx 26 - 3 = 23$. Le résultat $22,35$ est proche de $23$. On peut aussi vérifier en faisant l'addition : $22,35 + 3,45 = 25,80$.

On identifie la quantité à enlever ou la différence à trouver. On pose l'opération et on rédige la réponse. Exemple : J'ai $15,50$ €. J'achète une boisson à $1,20$ €. Combien me reste-t-il ? $15,50 - 1,20 = 14,30$ €. Il me reste $14,30$ €.

Pour multiplier un nombre décimal par un entier :

1. On effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule.
2. On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans le nombre décimal de départ.
3. On place la virgule dans le résultat (le produit) en comptant le même nombre de chiffres à partir de la droite.

Exemple : $3,25 \times 4$

  3,25  (2 chiffres après la virgule)
x 4
-----
 13,00 (Je place la virgule en comptant 2 chiffres depuis la droite)

Le résultat est $13$.

• Multiplier par $10$ : on décale la virgule de un rang vers la droite.
• Multiplier par $100$ : on décale la virgule de deux rangs vers la droite.
• Multiplier par $1000$ : on décale la virgule de trois rangs vers la droite. Si on manque de chiffres, on ajoute des zéros. Exemples :
• $4,5 \times 10 = 45$
• $1,23 \times 100 = 123$
• $0,7 \times 100 = 70$

On utilise la multiplication quand on doit répéter une quantité décimale un certain nombre de fois. Exemple : Un paquet de bonbons coûte $1,75$ €. Combien coûtent $3$ paquets ? $1,75 \times 3 = 5,25$ €. Les 3 paquets coûtent $5,25$ €.

Pour diviser un nombre décimal par un entier :

1. On commence la division normalement avec la partie entière.
2. Quand on arrive à la virgule du nombre décimal (le dividende), on place immédiatement une virgule dans le quotient.
3. On continue ensuite la division avec la partie décimale.

Exemple : $7,2 \div 3$

  7 , 2 | 3
- 6     |----
-----   | 2 , 4
  1 2
- 1 2
-----
    0

$7 \div 3 = 2$ reste $1$. Je descends le $2$, je mets la virgule au quotient. $12 \div 3 = 4$ reste $0$. Le résultat est $2,4$.

• Diviser par $10$ : on décale la virgule de un rang vers la gauche.
• Diviser par $100$ : on décale la virgule de deux rangs vers la gauche.
• Diviser par $1000$ : on décale la virgule de trois rangs vers la gauche. Si on manque de chiffres, on ajoute des zéros. Exemples :
• $45 \div 10 = 4,5$
• $123 \div 100 = 1,23$
• $7 \div 100 = 0,07$

On utilise la division pour partager une quantité décimale en parts égales. Exemple : Un ruban de $8,4$ mètres est coupé en $4$ morceaux égaux. Quelle est la longueur de chaque morceau ? $8,4 \div 4 = 2,1$ mètres. Chaque morceau mesure $2,1$ mètres.