Lire, écrire et représenter les nombres entiers jusqu'au milliard

Notre système utilise 10 chiffres : de 0 à 9. C'est le système décimal (base 10). La position d'un chiffre dans un nombre donne sa valeur. Par exemple, le '2' dans 20 n'a pas la même valeur que le '2' dans 200.

On regroupe les chiffres par 3 pour former des classes. Chaque chiffre a un rang (unités, dizaines, centaines).

Voici les classes principales :

• Classe des unités simples : unités, dizaines, centaines
• Classe des milliers : unités de mille, dizaines de mille, centaines de mille
• Classe des millions : unités de million, dizaines de million, centaines de million

Après la classe des millions, il y a la classe des milliards. Un milliard, c'est $1\,000\,000\,000$. C'est un 1 suivi de neuf zéros. Un nombre dans la classe des milliards a au moins 10 chiffres. Exemple : La population mondiale est de plusieurs milliards d'habitants.

Pour lire un nombre, on le regroupe par 3 chiffres à partir de la droite. On lit ensuite de gauche à droite. Exemple : $5\,432$ se lit "cinq-mille-quatre-cent-trente-deux". Le mot "mille" est important pour la classe des milliers.

On sépare les classes par un espace. On lit chaque classe comme un nombre simple, puis on ajoute le nom de la classe. Exemple : $123\,456\,789$

• $123$ millions
• $456$ mille
• $789$ unités On lit : "cent-vingt-trois-millions-quatre-cent-cinquante-six-mille-sept-cent-quatre-vingt-neuf".

C'est le même principe. On identifie la classe des milliards en premier. Exemple : $2\,500\,000\,000$ se lit "deux-milliards-cinq-cents-millions". Un nombre à 10 chiffres ou plus commence par la classe des milliards.

• Zéros intercalés : $1\,005\,020$ se lit "un-million-cinq-mille-vingt". Ne pas oublier les zéros !
• Confusion des classes : Bien distinguer millions et milliers.
• Importance des espaces : Les espaces aident à bien regrouper les chiffres pour la lecture.

1. Identifier les classes (milliards, millions, milliers, unités).
2. Écrire les chiffres de chaque classe.
3. Utiliser des zéros pour les rangs ou les classes manquantes. Exemple : "Cinq-milliards-trois-millions-douze" s'écrit $5\,003\,000\,012$.

• On met un trait d'union entre chaque mot qui forme un nombre. Ex: "trente-deux".
• Les mots "vingt" et "cent" prennent un 's' s'ils sont multipliés et qu'il n'y a rien après. Ex: "quatre-vingts", mais "quatre-vingt-un".
• "Mille" est toujours invariable. Exemple : $2\,100\,000$ s'écrit "deux-millions-cent-mille".

Il faut être précis et bien vérifier chaque classe. Exemple : "Sept-milliards-deux-cent-quatre-millions-un-mille-cinq-cents" $7\,204\,001\,500$. Vérifiez toujours le nombre de chiffres et la position des zéros !

C'est écrire un nombre comme la somme de la valeur de chacun de ses chiffres. Exemple : $3\,521$ $3\,521 = 3000 + 500 + 20 + 1$

C'est écrire un nombre comme la somme de chaque chiffre multiplié par la valeur de son rang. Exemple : $3\,521$ $3\,521 = (3 \times 1000) + (5 \times 100) + (2 \times 10) + (1 \times 1)$ On utilise implicitement les puissances de 10.

Un tableau aide à visualiser les classes et les rangs des chiffres. C'est très utile pour lire, écrire et comprendre la valeur de position.

Ici, $2\,500\,000\,000$ (deux milliards cinq cents millions).

On peut placer des grands nombres sur une droite. Il faut choisir une graduation adaptée. Exemple : Pour placer $2\,500\,000\,000$, on pourrait graduer de milliard en milliard. $0 \quad 1\,000\,000\,000 \quad \underline{2\,000\,000\,000} \quad 3\,000\,000\,000 \quad ...$

1. Nombre de chiffres : Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand. Exemple : $1\,234\,567$ (7 chiffres) est plus grand que $987\,654$ (6 chiffres).
2. Comparaison chiffre par chiffre : Si les nombres ont le même nombre de chiffres, on compare de gauche à droite le premier chiffre différent. Exemple : $5\,**2**34$ et $5\,**4**32$. $4 > 2$, donc $5\,432 > 5\,234$. On utilise les symboles : $<$ (plus petit que), $>$ (plus grand que), $=$ (égal à).

• Ordre croissant : du plus petit au plus grand.
• Ordre décroissant : du plus grand au plus petit. Méthodologie : comparez d'abord le nombre de chiffres, puis les chiffres de gauche à droite.

Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux autres nombres. Exemple : Encadrer $1\,234$ à la centaine près. $1\,200 < 1\,234 < 1\,300$. On peut encadrer à la dizaine, centaine, millier, million, etc.

Arrondir, c'est trouver une valeur approchée d'un nombre, plus simple à utiliser. La règle du 5 :

• Si le chiffre juste après le rang d'arrondi est 0, 1, 2, 3 ou 4, on arrondit à la valeur inférieure (on garde le chiffre du rang d'arrondi et on met des zéros après).
• Si le chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, on arrondit à la valeur supérieure (on augmente le chiffre du rang d'arrondi de 1 et on met des zéros après).

Exemple : Arrondir $1\,2**3**7$ à la dizaine la plus proche. Le chiffre des dizaines est 3. Le chiffre suivant est 7 (plus grand que 5). On arrondit à la dizaine supérieure : $1\,240$.

Exemple : Arrondir $1\,**2**37$ à la centaine la plus proche. Le chiffre des centaines est 2. Le chiffre suivant est 3 (plus petit que 5). On arrondit à la centaine inférieure : $1\,200$.

La règle est la même, peu importe le rang. Exemple : Arrondir $1\,**7**50\,000$ au million le plus proche. Le chiffre des millions est 1. Le chiffre suivant est 7. On arrondit à $2\,000\,000$.

L'arrondi est utile pour estimer des résultats rapidement.