Nombres et calculs

Les grands nombres sont organisés en classes :

• Classe des unités (unités, dizaines, centaines)
• Classe des milliers (unités de mille, dizaines de mille, centaines de mille)
• Classe des millions (unités de million, dizaines de million, centaines de million)
• Classe des milliards (unités de milliard...)

Chaque chiffre a une valeur de position selon sa place. Exemple : Dans 3 456, le 3 vaut 3 milliers.

Pour lire un nombre, on lit chaque classe. Pour l'écrire en lettres, on met des espaces entre les classes. Exemple : 1 234 567 se lit "un million deux cent trente-quatre mille cinq cent soixante-sept".

Pour comparer deux nombres, on regarde d'abord le nombre de chiffres. Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand. Si le nombre de chiffres est le même, on compare les chiffres de gauche à droite.

• < signifie "plus petit que"
• > signifie "plus grand que"
• = signifie "égal à"

Ranger par ordre croissant signifie du plus petit au plus grand. Ranger par ordre décroissant signifie du plus grand au plus petit. Les nombres consécutifs se suivent (ex: 5, 6, 7).

Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux autres nombres. Exemple : Encadrer 456 à la dizaine près : $450 < 456 < 460$. On peut encadrer à la centaine, au millier, etc.

Intercaler un nombre, c'est en trouver un qui se situe entre deux autres. Exemple : Intercaler un nombre entre 23 et 25 : 24.

Arrondir un nombre, c'est le remplacer par un nombre plus simple et proche. Exemple : 456 arrondi à la dizaine la plus proche est 460.

Décomposition additive : C'est la somme de la valeur de chaque chiffre. Exemple : $123 = 100 + 20 + 3$

Décomposition multiplicative : On montre la valeur de position de chaque chiffre. Exemple : $123 = (1 \times 100) + (2 \times 10) + (3 \times 1)$ Cela aide à comprendre la structure décimale de nos nombres (base 10).

Un nombre décimal a une partie entière (avant la virgule) et une partie décimale (après la virgule). Exemple : Dans 3,25, 3 est la partie entière, 25 est la partie décimale.

Les chiffres après la virgule représentent :

• Le premier chiffre : les dixièmes ($\frac{1}{10}$)
• Le deuxième chiffre : les centièmes ($\frac{1}{100}$)
• Le troisième chiffre : les millièmes ($\frac{1}{1000}$)

On peut écrire un décimal sous forme de fraction décimale. Exemple : $3,25 = \frac{325}{100}$

Une droite graduée est une ligne avec des marques (graduations). On peut diviser l'espace entre deux nombres entiers en 10 (pour les dixièmes), en 100 (pour les centièmes), etc. Cela permet de trouver la position précise d'un nombre décimal.

1. On compare d'abord les parties entières. Le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière.
2. Si les parties entières sont égales, on compare les parties décimales chiffre par chiffre, de gauche à droite. On peut ajouter des zéros à la fin de la partie décimale pour avoir le même nombre de chiffres. Exemple : 3,5 et 3,45. On compare 3,50 et 3,45. $50 > 45$, donc $3,5 > 3,45$.

Encadrer un nombre décimal, c'est le placer entre deux autres. Exemple : Encadrer 7,34 à l'unité près : $7 < 7,34 < 8$. On peut aussi encadrer au dixième près : $7,3 < 7,34 < 7,4$.

Intercaler un nombre décimal : trouver un nombre entre deux autres. Exemple : Intercaler un nombre entre 2,5 et 2,6 : 2,55.

Arrondir un nombre décimal : Exemple : 7,34 arrondi à l'unité est 7 (car 0,34 est plus proche de 0 que de 1). 7,34 arrondi au dixième est 7,3.

On utilise la technique opératoire en colonne. Il faut bien aligner les chiffres des unités, des dizaines, etc.

• Addition : On commence par la droite (unités). On gère les retenues.
• Soustraction : On commence par la droite. On gère les emprunts (ou casses).

On peut vérifier le résultat avec un ordre de grandeur (calcul approximatif). Exemple : $123 + 456 \approx 100 + 400 = 500$.

Technique opératoire :

• Multiplication par un chiffre : on multiplie chaque chiffre du grand nombre par le multiplicateur, de droite à gauche.
• Multiplication par deux chiffres : on multiplie d'abord par les unités, puis par les dizaines (en décalant d'un rang vers la gauche et en ajoutant un zéro). On additionne les résultats.

Multiplication par 10, 100, 1000 : On ajoute 1, 2 ou 3 zéros à la fin du nombre. Exemple : $25 \times 100 = 2500$.

Propriétés :

• Commutativité : L'ordre des nombres ne change pas le résultat ($3 \times 5 = 5 \times 3$).
• Associativité : On peut regrouper les nombres comme on veut pour multiplier ($(2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4)$).

La division euclidienne, c'est partager un nombre en parts égales. $\text{Dividende} = (\text{Diviseur} \times \text{Quotient}) + \text{Reste}$

• Le dividende est le nombre que l'on partage.
• Le diviseur est le nombre de parts ou la taille de chaque part.
• Le quotient est le résultat de la division (le nombre de parts ou la taille de chaque part).
• Le reste est ce qu'il reste et il est toujours plus petit que le diviseur.

On utilise la technique opératoire de la division (division posée).

1. Bien lire et comprendre l'énoncé.
2. Identifier les informations importantes et la question.
3. Choisir la bonne opération (ou les bonnes opérations) :
   • Addition : "ajouter", "en tout", "somme".
   • Soustraction : "enlever", "différence", "reste".
   • Multiplication : "plusieurs fois", "produit", "total de groupes".
   • Division : "partager", "distribuer", "combien de fois".
4. Effectuer les calculs.
5. Rédiger une phrase réponse claire.

C'est comme avec les nombres entiers, mais il y a une règle très importante : Il faut absolument aligner les virgules ! Exemple : 2,5

• 1,35

3,85

On peut estimer le résultat pour vérifier.

1. On multiplie les nombres comme s'il n'y avait pas de virgule.
2. On compte le nombre de chiffres après la virgule dans le nombre décimal de départ.
3. On place la virgule dans le résultat pour qu'il y ait le même nombre de chiffres après la virgule.

Exemple : $2,3 \times 4$ 23 x 4

92 Il y a 1 chiffre après la virgule dans 2,3. Donc le résultat est 9,2.

Multiplication par 10, 100, 1000 : On décale la virgule vers la droite de 1, 2 ou 3 rangs. Exemple : $3,45 \times 10 = 34,5$.

On pose la division comme d'habitude. Quand on arrive à la virgule du dividende, on place une virgule au quotient avant de continuer à diviser. On peut continuer la division après la virgule pour avoir un reste nul ou un quotient avec plus de décimales.

La démarche est la même que pour les nombres entiers :

1. Lire l'énoncé.
2. Identifier les données et la question.
3. Choisir la bonne opération (addition, soustraction, multiplication, division).
4. Effectuer les calculs en faisant attention aux virgules.
5. Vérifier la cohérence du résultat (est-ce que ma réponse a du sens ?).
6. Rédiger la phrase réponse.

Une fraction représente une partie d'un tout. Elle est écrite avec un numérateur (en haut) et un dénominateur (en bas). Exemple : $\frac{3}{4}$ (trois quarts).

• Le dénominateur (4) indique en combien de parts égales le tout est divisé.
• Le numérateur (3) indique combien de ces parts on prend.

Une fraction est égale à un entier si le numérateur est un multiple du dénominateur. Exemple : $\frac{4}{4} = 1$, $\frac{8}{4} = 2$.

Pour placer une fraction sur une droite graduée :

1. On divise chaque unité (entre 0 et 1, entre 1 et 2...) en un nombre de parts égales égal au dénominateur.
2. On compte le nombre de parts indiqué par le numérateur à partir de 0.

Une fraction peut être inférieure à 1 (numérateur < dénominateur), égale à 1 (numérateur = dénominateur) ou supérieure à 1 (numérateur > dénominateur).

• Fractions de même dénominateur : La plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Exemple : $\frac{3}{5} < \frac{4}{5}$.
• Fractions de même numérateur : La plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Exemple : $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.
• Comparer à l'unité : Une fraction est $<$ 1 si numérateur $<$ dénominateur. Elle est $>$ 1 si numérateur $>$ dénominateur.

Deux fractions sont équivalentes (égales) si elles représentent la même quantité. Exemple : $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

Pour trouver des fractions équivalentes, on peut multiplier ou diviser le numérateur ET le dénominateur par le même nombre (sauf zéro). Exemple : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$. On peut aussi simplifier une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun. Exemple : $\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.