La musique ou l'art de faire entendre les nombres

Le son est une onde mécanique qui se propage dans un milieu matériel (air, eau, solide) par des variations de pression. Pour le dire simplement, quand quelque chose vibre, cela pousse les molécules d'air autour de lui, qui poussent à leur tour les molécules voisines, créant ainsi une chaîne de compressions et de dilatations.

• Onde sonore : C'est une perturbation qui se propage dans un milieu, transportant de l'énergie sans transporter de matière. Imaginez une pierre jetée dans l'eau : les vagues se propagent, mais l'eau elle-même ne se déplace pas avec la vague.
• Propagation du son : Le son a besoin d'un milieu de propagation. Il ne peut pas se propager dans le vide, car il n'y a pas de molécules pour transmettre la vibration. Dans l'air, le son se déplace à environ 340 mètres par seconde (m/s) à température ambiante. Cette vitesse varie avec la température et la nature du milieu.
• Milieu de propagation : Le son se propage plus vite dans les liquides et encore plus vite dans les solides que dans les gaz, car les molécules y sont plus proches et interagissent plus facilement.

Un son peut être caractérisé par plusieurs grandeurs physiques mesurables qui déterminent notre perception.

• Fréquence (hauteur) : La fréquence correspond au nombre de vibrations (ou d'oscillations) par seconde. Elle se mesure en Hertz (Hz). Une fréquence élevée correspond à un son aigu, tandis qu'une fréquence basse correspond à un son grave. Par exemple, la note La3 (le La du diapason) a une fréquence de 440 Hz. $f = \frac{1}{T}$ où $f$ est la fréquence en Hz et $T$ est la période en secondes (temps pour une oscillation complète). La fréquence détermine la hauteur d'une note.
• Amplitude (intensité) : L'amplitude est l'écart maximal par rapport à la position d'équilibre de l'onde. Elle est liée à l'énergie transportée par l'onde sonore et donc à la force ou au volume du son. Une grande amplitude signifie un son fort, une petite amplitude un son faible. L'amplitude détermine l'intensité sonore.
• Timbre : C'est ce qui permet de distinguer deux sons de même hauteur et de même intensité produits par des instruments différents (par exemple, un violon et une flûte jouant la même note). Le timbre est déterminé par la forme de l'onde sonore, qui est elle-même la résultante de la superposition de la fréquence fondamentale (la hauteur perçue) et d'autres fréquences appelées harmoniques ou partiels. Chaque instrument a une composition harmonique unique.

Notre oreille est un organe complexe capable de transformer les ondes sonores en signaux électriques interprétables par le cerveau.

• Oreille et audition : L'oreille capte les vibrations sonores. L'oreille externe canalise le son vers le tympan, qui vibre. Ces vibrations sont transmises par les osselets (marteau, enclume, étrier) à la cochlée dans l'oreille interne, où des cellules ciliées transforment les vibrations mécaniques en impulsions nerveuses envoyées au cerveau.
• Gamme de fréquences audibles : L'oreille humaine est capable de percevoir une plage limitée de fréquences. En général, un jeune adulte peut entendre des sons allant de 20 Hz (sons très graves) à 20 000 Hz (20 kHz, sons très aigus). Cette plage diminue avec l'âge, surtout pour les hautes fréquences.
  • Sons inférieurs à 20 Hz : Infrasons (perçus par certains animaux, par exemple les éléphants).
  • Sons supérieurs à 20 000 Hz : Ultrasons (utilisés en échographie, par les chauves-souris).
• Décibel et intensité sonore : L'intensité sonore, liée à l'amplitude, est mesurée en décibels (dB). L'échelle des décibels est logarithmique, car notre perception de l'intensité sonore n'est pas linéaire. Une augmentation de 10 dB correspond à une multiplication par 10 de l'intensité physique et est perçue comme un son deux fois plus fort.
  • 0 dB : Seuil d'audition (le son le plus faible que l'oreille humaine puisse percevoir).
  • 50-60 dB : Conversation normale.
  • 100 dB : Concert de rock, marteau-piqueur (peut causer des dommages à long terme).
  • 120 dB : Seuil de douleur (peut causer des dommages immédiats et irréversibles). Une exposition prolongée à des niveaux sonores élevés peut entraîner des dommages auditifs irréversibles.

La légende attribue à Pythagore (VIe siècle av. J.-C.) la découverte des rapports numériques simples qui régissent les intervalles musicaux consonants.

• Monocorde de Pythagore : Pythagore aurait utilisé un instrument à une seule corde tendue, appelé monocorde. En plaçant un chevalet mobile à différentes positions sur la corde, il a observé que des rapports de longueurs simples produisaient des sons agréables à l'oreille.
  • Corde entière (longueur $L$) : Note de référence.
  • Corde coupée en deux (longueur $L/2$) : Son à l'octave supérieure.
  • Corde aux deux tiers (longueur $2L/3$) : Son à la quinte supérieure.
  • Corde aux trois quarts (longueur $3L/4$) : Son à la quarte supérieure. La hauteur d'une note est inversement proportionnelle à la longueur de la corde vibrante.
• Rapports de longueurs de cordes : Ces observations ont mené à l'idée que les intervalles musicaux "harmonieux" ou consonants correspondent à des rapports de nombres entiers simples entre les fréquences (et donc inversement entre les longueurs de cordes).
  • Octave : rapport de fréquence 2:1 (longueur 1:2)
  • Quinte : rapport de fréquence 3:2 (longueur 2:3)
  • Quarte : rapport de fréquence 4:3 (longueur 3:4)
• Consonances parfaites : Les intervalles de l'octave, de la quinte et de la quarte ont été considérés comme les consonances parfaites car leurs rapports sont les plus simples et les plus stables à l'oreille. Ils forment la base de nombreux systèmes musicaux.

Un intervalle est la "distance" entre deux notes. En musique, il est défini par le rapport de leurs fréquences.

• Octave (rapport 2:1) : L'octave est l'intervalle le plus fondamental. Deux notes séparées par une octave ont une fréquence dont le rapport est 2:1. Par exemple, si le La3 a une fréquence de 440 Hz, le La4 (une octave au-dessus) aura une fréquence de 880 Hz. On perçoit ces deux notes comme étant "la même" note, mais à une hauteur différente.
• Quinte (rapport 3:2) : La quinte est le deuxième intervalle le plus consonant après l'octave. Si une note a une fréquence $f$, sa quinte supérieure aura une fréquence de $1.5 \times f$. Par exemple, la quinte de Do est Sol.
• Quarte (rapport 4:3) : La quarte est le troisième intervalle consonant. Si une note a une fréquence $f$, sa quarte supérieure aura une fréquence de $\frac{4}{3} \times f \approx 1.33 \times f$. Par exemple, la quarte de Do est Fa.

Ces rapports simples sont la clé de la construction des gammes.

La gamme diatonique est la gamme à sept notes (plus l'octave) qui forme la base de la musique occidentale (par exemple, la gamme de Do majeur : Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do).

• Construction de la gamme : La gamme diatonique a été construite historiquement en empilant des quintes successives à partir d'une note de départ, puis en ramenant les notes dans la même octave par des octaves. Par exemple, en partant de Do:
  • Do $\xrightarrow{\text{quinte}}$ Sol
  • Sol $\xrightarrow{\text{quinte}}$ Ré (une octave au-dessus, on le baisse d'une octave pour l'avoir dans la gamme)
  • Ré $\xrightarrow{\text{quinte}}$ La
  • La $\xrightarrow{\text{quinte}}$ Mi
  • Mi $\xrightarrow{\text{quinte}}$ Si
  • Si $\xrightarrow{\text{quinte}}$ Fa# (on peut aussi trouver Fa en descendant d'une quinte depuis Do) En ajustant ces notes dans une seule octave, on obtient les sept notes de la gamme.
• Tons et demi-tons : La gamme diatonique est composée de tons entiers et de demi-tons. Un ton est constitué de deux demi-tons.
  • Intervalle de ton : Rapport de fréquence d'environ 9:8 ($\approx 1.125$).
  • Intervalle de demi-ton : Rapport de fréquence d'environ 16:15 ($\approx 1.067$). La structure typique d'une gamme majeure est : Ton - Ton - Demi-ton - Ton - Ton - Ton - Demi-ton. Exemple (gamme de Do majeur) : Do (Ton) Ré (Ton) Mi (Demi-ton) Fa (Ton) Sol (Ton) La (Ton) Si (Demi-ton) Do
• Succession d'intervalles : Cette succession spécifique d'intervalles donne à la gamme son caractère musical distinctif et permet de créer des mélodies et des harmonies reconnaissables.

Les gammes basées sur des rapports de nombres entiers simples (dites "naturelles" ou "justes") sonnent très bien pour les accords parfaits, mais elles ont des inconvénients majeurs.

• Comma pythagoricien : C'est une petite différence de hauteur qui apparaît lorsqu'on empile 12 quintes pures (3:2) ou 7 octaves pures (2:1). Théoriquement, 12 quintes devraient nous ramener à la note de départ, mais 12 quintes de rapport 3/2 donnent $(3/2)^{12} \approx 129.74$, alors que 7 octaves donnent $2^7 = 128$. La différence entre ces deux valeurs est le comma pythagoricien (un très petit intervalle). Cela signifie qu'une gamme construite uniquement avec des quintes pures ne "boucle" pas parfaitement.
• Problèmes de transposition : Dans une gamme naturelle, les intervalles ne sont pas exactement les mêmes d'une tonalité à l'autre. Si un morceau est "juste" en Do majeur, il sonnera "faux" si on le transpose en Ré majeur, car les rapports de fréquences entre les notes ne seront plus les mêmes. Cela rendait impossible la modulation (changement de tonalité au cours d'un morceau) sans que l'instrumentiste ne doive réaccorder son instrument ou que le son ne soit dissonant.
• Dissonances inévitables : Pour qu'une tonalité soit parfaitement juste, d'autres tonalités doivent être fausses. C'était un compromis nécessaire qui limitait la liberté des compositeurs. Les instruments à clavier, comme l'orgue ou le clavecin, ne pouvaient pas être accordés "justement" dans toutes les tonalités simultanément.

Pour résoudre ces problèmes, le tempérament égal a été développé et s'est imposé à partir du XVIIIe siècle, notamment avec des compositeurs comme Jean-Sébastien Bach.

• Division de l'octave en 12 demi-tons : Le tempérament égal est un système d'accordage où l'octave est divisée en 12 intervalles égaux, appelés demi-tons tempérés. Chaque demi-ton a exactement le même rapport de fréquence.
• Rapport de fréquence constant : Pour que 12 demi-tons successifs forment une octave (rapport 2:1), le rapport de fréquence de chaque demi-ton doit être la douzième racine de 2. Soit $r$ le rapport d'un demi-ton : $r^{12} = 2$, donc $r = \sqrt[12]{2} \approx 1.05946$. Cela signifie que, pour passer d'un demi-ton à l'autre, on multiplie la fréquence par ce facteur constant. Par exemple, si Do = 261.63 Hz, alors Do# = $261.63 \times \sqrt[12]{2} \approx 277.18$ Hz. Dans le tempérament égal, aucun intervalle (sauf l'octave) n'est parfaitement "juste" au sens des rapports pythagoriciens, mais tous sont "suffisamment proches".
• Compromis acoustique : Le tempérament égal est un compromis. Il sacrifie la "pureté" acoustique parfaite de certains intervalles pour gagner une flexibilité harmonique et modale totale. Les intervalles ne sont plus des rapports de nombres entiers simples, mais des rapports irrationnels (à l'exception de l'octave).

L'adoption du tempérament égal a eu des répercussions profondes sur la musique.

• Modularité et transposition : C'est l'avantage majeur. Puisque tous les demi-tons sont égaux, n'importe quel morceau peut être joué dans n'importe quelle tonalité sans sonner faux. Les instruments à clavier peuvent être accordés une fois pour toutes. Cela a permis aux compositeurs de moduler librement d'une tonalité à l'autre, d'explorer des harmonies plus complexes et de transposer facilement des œuvres.
• Développement de la musique occidentale : Le tempérament égal a été un catalyseur pour l'évolution de la musique classique occidentale, ouvrant la voie à des formes musicales plus complexes, au développement de l'orchestre symphonique et à l'exploration de toutes les tonalités. L'œuvre de Bach, Le Clavier bien tempéré, est un exemple emblématique de l'exploitation de ce système.
• Perception des intervalles : Aujourd'hui, nos oreilles sont habituées au tempérament égal. Les "petites imperfections" des intervalles tempérés ne sont généralement pas perçues comme des dissonances, mais comme la norme. Il faut un entraînement spécifique pour distinguer les intervalles "justes" des intervalles "tempérés".

Les instruments à cordes (guitares, violons, pianos) produisent du son par la vibration de leurs cordes.

• Ondes stationnaires : Lorsqu'une corde est pincée ou frottée, elle vibre. Les ondes se propagent le long de la corde et sont réfléchies aux extrémités fixes. L'interférence de ces ondes incidentes et réfléchies crée des ondes stationnaires. Ces ondes ont des points immobiles appelés nœuds et des points de vibration maximale appelés ventres.
• Fréquences propres : Une corde ne peut vibrer qu'à certaines fréquences spécifiques, appelées fréquences propres ou fréquences de résonance. La fréquence fondamentale ($f_1$) correspond à la vibration la plus simple (un seul ventre au milieu, deux nœuds aux extrémités). Les fréquences propres suivantes sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale : $f_2 = 2f_1$, $f_3 = 3f_1$, etc. La fréquence fondamentale d'une corde dépend de :
  • Sa longueur $L$ (plus la corde est courte, plus le son est aigu).
  • Sa tension $T$ (plus la corde est tendue, plus le son est aigu).
  • Sa masse linéique $\mu$ (masse par unité de longueur) (plus la corde est fine, plus le son est aigu). $f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
• Harmoniques et partiels : Les fréquences $f_2, f_3, f_4$, etc., sont appelées harmoniques (ou partiels). Elles sont des multiples entiers de la fondamentale. La fondamentale est le premier harmonique. Le deuxième harmonique ($f_2 = 2f_1$) est l'octave de la fondamentale. Le troisième harmonique ($f_3 = 3f_1$) est la quinte de l'octave. La présence et l'intensité relative de ces harmoniques sont cruciales pour le timbre de l'instrument.

Les instruments à vent (flûtes, clarinettes, trompettes) produisent du son par la vibration d'une colonne d'air.

• Tuyaux ouverts et fermés :
  • Tuyau ouvert (comme une flûte traversière) : L'air vibre avec des ventres de déplacement aux extrémités ouvertes. La fondamentale correspond à une demi-longueur d'onde dans le tuyau. Les harmoniques sont des multiples entiers de la fondamentale ($f_1, 2f_1, 3f_1, ...$).
  • Tuyau fermé (comme une clarinette, fermé à une extrémité et ouvert à l'autre) : L'air vibre avec un nœud de déplacement à l'extrémité fermée et un ventre à l'extrémité ouverte. La fondamentale correspond à un quart de longueur d'onde. Seuls les harmoniques impairs sont présents ($f_1, 3f_1, 5f_1, ...$). C'est pourquoi la clarinette a un timbre particulier.
• Modes de vibration de l'air : Comme pour les cordes, la colonne d'air peut vibrer à différentes fréquences propres, créant des ondes stationnaires. Ces modes de vibration dépendent de la longueur du tuyau et de sa forme (cylindrique, conique).
• Influence de la longueur et du diamètre :
  • La longueur du tuyau détermine principalement la hauteur de la note (plus le tuyau est long, plus le son est grave). C'est pourquoi les instruments à vent ont des trous ou des pistons pour modifier la longueur effective de la colonne d'air.
  • Le diamètre et la conicité du tuyau influencent le timbre et la justesse des harmoniques.

Le timbre est la caractéristique la plus complexe et la plus riche d'un son. Il est ce qui permet de distinguer un violon d'une trompette.

• Composition spectrale : Le timbre est principalement déterminé par la composition spectrale du son, c'est-à-dire l'ensemble des harmoniques (ou partiels) présents et leurs intensités relatives par rapport à la fréquence fondamentale. Un son pur (sinusoïdal) n'a pas d'harmoniques et n'a pas de timbre riche. Les sons produits par les instruments sont des sons complexes, riches en harmoniques.
• Intensité relative des harmoniques : C'est la "recette" du timbre. Pour une même note jouée à la même intensité par différents instruments, la fondamentale aura la même fréquence, mais les harmoniques secondaires seront présents avec des intensités différentes, voire absents. La richesse et l'équilibre des harmoniques donnent sa couleur unique à chaque instrument.
• Enveloppe sonore : L'enveloppe sonore décrit l'évolution de l'intensité d'un son au cours du temps. Elle se décompose en quatre phases :
  1. Attaque (Attack) : Le temps que met le son à atteindre son intensité maximale.
  2. Déclin (Decay) : La diminution initiale de l'intensité après l'attaque.
  3. Maintien (Sustain) : Le niveau d'intensité soutenu pendant le son.
  4. Extinction (Release) : Le temps que met le son à s'éteindre complètement après la fin de la vibration. L'enveloppe sonore est aussi une composante essentielle du timbre. Par exemple, une note de piano a une attaque rapide et une extinction lente, tandis qu'une note de flûte a une attaque plus douce et un maintien plus constant.

Pour qu'un son analogique (continu) puisse être traité par un ordinateur, il doit être converti en données numériques (discrètes).

• Échantillonnage : C'est le processus qui consiste à prendre des "instantanés" (échantillons) de l'amplitude du signal sonore à intervalles de temps réguliers. Plus la fréquence d'échantillonnage est élevée, plus le signal numérique capture fidèlement le signal analogique original.
  • Théorème de Shannon-Nyquist : Pour reproduire fidèlement un signal, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins le double de la fréquence la plus élevée présente dans le signal. Pour l'oreille humaine (max 20 kHz), une fréquence d'échantillonnage de 44.1 kHz (comme celle des CD audio) est suffisante.
• Quantification : Chaque échantillon d'amplitude est ensuite converti en une valeur numérique discrète. La résolution (ou profondeur de bit) détermine le nombre de valeurs possibles pour représenter l'amplitude de chaque échantillon.
  • Par exemple, une résolution de 16 bits permet 65 536 ($2^{16}$) niveaux d'amplitude différents. Plus la résolution est élevée, plus la dynamique du son est grande et moins il y a de bruit de quantification.
• Fréquence d'échantillonnage et résolution :
  • Fréquence d'échantillonnage (ex: 44.1 kHz, 48 kHz, 96 kHz) : Détermine la plage de fréquences (hauteur) que le son numérisé peut représenter.
  • Résolution (ex: 16 bits, 24 bits) : Détermine la précision de l'amplitude (intensité) et la dynamique du son.

La synthèse sonore est la création artificielle de sons.

• Génération d'ondes : La synthèse sonore commence souvent par la génération d'ondes simples (sinusoïdales, carrées, en dents de scie, triangulaires) qui servent de "matière première".
• Synthèse additive : Elle consiste à créer un son complexe en additionnant plusieurs ondes sinusoïdales (les harmoniques) de fréquences et d'amplitudes différentes. C'est une approche qui imite la formation du timbre des instruments acoustiques. On peut ainsi construire n'importe quel timbre en combinant des sinusoïdes.
• Synthèse soustractive : Elle part d'une onde riche en harmoniques (par exemple, une onde en dents de scie ou carrée) et utilise des filtres pour en retirer certaines fréquences ou atténuer certains harmoniques. C'est une méthode très courante dans les synthétiseurs analogiques classiques.
  • Filtrage : Les filtres peuvent être passe-haut (laissent passer les hautes fréquences), passe-bas (laissent passer les basses fréquences), passe-bande (laissent passer une plage de fréquences) ou coupe-bande (atténuent une plage de fréquences).
• Modulation : Des techniques de modulation (comme la modulation de fréquence FM, la modulation d'amplitude AM) permettent de faire varier les paramètres du son (fréquence, amplitude, timbre) au cours du temps, créant des sonorités plus dynamiques et évolutives.

La musique numérique et la synthèse sonore ont transformé le paysage musical.

• Musique assistée par ordinateur (MAO) : Les logiciels de MAO (DAW - Digital Audio Workstation) sont devenus des outils indispensables pour la composition, l'enregistrement, le mixage et le mastering. Ils permettent aux musiciens d'accéder à une immense palette sonore, de manipuler le son avec une précision inégalée et de produire de la musique sans avoir besoin d'un grand studio.
• Formats audio numériques : Les formats comme le WAV (non compressé), le MP3 (compressé avec perte), le FLAC (compressé sans perte) ont permis la diffusion massive de la musique via internet et les plateformes de streaming. Chaque format présente un compromis différent entre qualité sonore et taille de fichier.
• Création de nouveaux timbres : La synthèse sonore a ouvert des possibilités illimitées pour la création de sons entièrement nouveaux, impossibles à produire avec des instruments acoustiques. Cela a donné naissance à de nouveaux genres musicaux (musique électronique, musique électroacoustique) et a enrichi la palette sonore des musiques classiques et populaires. La musique n'est plus seulement l'art de faire entendre des nombres, mais aussi l'art de les manipuler numériquement pour créer des univers sonores inédits.