La variation instantanée

Imaginez que vous effectuez un trajet en voiture. Pour connaître votre vitesse moyenne sur l'intégralité du parcours, vous divisez la distance totale parcourue par le temps total mis. En mathématiques, c'est la même idée.

Pour une fonction $f(x)$ qui représente une quantité (par exemple, la distance parcourue, la température, etc.) et un intervalle $[a, b]$, le taux de variation moyen de $f$ entre $a$ et $b$ est donné par :

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Ce rapport représente la pente de la sécante (la droite qui coupe la courbe en deux points distincts) passant par les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ de la courbe représentative de $f$. C'est une mesure du changement global de la fonction sur l'intervalle.

Exemple : Si $f(t)$ est la position d'un objet en fonction du temps $t$, alors le taux de variation moyen est la vitesse moyenne de l'objet sur l'intervalle de temps considéré.

Bien que le taux de variation moyen soit utile, il présente des limitations importantes.

• Information globale : Il nous donne une idée générale du changement sur un intervalle, mais ne nous dit rien sur ce qui se passe à un moment précis. Par exemple, une vitesse moyenne de 50 km/h ne signifie pas que vous rouliez à 50 km/h à chaque instant ; vous avez pu accélérer, freiner, vous arrêter.
• Manque de précision : Si nous voulons connaître la vitesse exacte d'une voiture au moment où elle passe devant un radar, la vitesse moyenne sur un trajet d'une heure ne nous sera d'aucune utilité.
• Besoin d'une variation locale : Pour comprendre des phénomènes instantanés (vitesse à un instant donné, taux de croissance à un moment précis), nous avons besoin d'un outil qui mesure le changement "en un point".

Le taux de variation moyen ne permet pas de capturer la dynamique instantanée d'un phénomène.

Exemples concrets :

• La vitesse d'une balle lancée en l'air à un instant $t_0$.
• Le taux de croissance d'une population bactérienne à un moment précis.
• La pente exacte d'une montagne en un point donné pour un skieur.

Pour pallier les limites du taux de variation moyen, l'idée est de "zoomer" de plus en plus sur un point.

Imaginez la courbe d'une fonction. Si vous prenez deux points très proches sur cette courbe, la droite qui les relie (la sécante) devient de plus en plus proche de la droite qui "touche" la courbe en un seul point, appelée la tangente.

La variation instantanée est précisément cela : la mesure du changement de la fonction en un point précis. Elle correspond à la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.

L'idée est de rendre l'intervalle d'étude $[a, b]$ de plus en plus petit, jusqu'à ce que $b$ se rapproche infiniment de $a$.

• Zoom sur un point : En réduisant l'intervalle $[a, b]$ de plus en plus, le point $b$ se rapproche du point $a$. La sécante devient alors une très bonne approximation de la tangente au point $(a, f(a))$.
• Vitesse à un instant précis : Si $f(t)$ est la position, alors la variation instantanée est la vitesse à un instant précis $t$.
• Pente de la tangente : Graphiquement, la variation instantanée est donnée par le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point considéré.

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$. Soit $a \in I$ et $h$ un réel non nul tel que $a+h \in I$. Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ est donné par :

$\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

C'est exactement la même formule que le taux de variation moyen, mais avec $b = a+h$. Le terme $h$ représente l'écart entre les deux points.

• $f(a+h) - f(a)$ représente la variation de la fonction.
• $h$ représente la variation de la variable.
• Le rapport est une mesure de la variation locale de la fonction autour du point $a$.

Pour obtenir la variation instantanée en $a$, nous devons faire en sorte que $h$ devienne infiniment petit, c'est-à-dire que $h$ tende vers 0.

Si la limite du taux d'accroissement existe et est finie lorsque $h$ tend vers 0, alors cette limite est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$. On le note $f'(a)$.

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Si cette limite existe, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$. Le nombre dérivé $f'(a)$ est une valeur numérique qui caractérise la pente de la courbe en un point précis.

Le nombre dérivé $f'(a)$ a une interprétation graphique fondamentale : Il représente le coefficient directeur (ou la pente) de la droite tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$ et d'ordonnée $f(a)$.

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $(a, f(a))$ est donnée par :

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$

• $(a, f(a))$ est le point de tangence.
• $f'(a)$ est la pente de la tangente.
• Cette droite est la meilleure approximation linéaire de la fonction $f$ autour du point $a$.

En physique, si une fonction $p(t)$ décrit la position d'un objet en fonction du temps $t$, alors le nombre dérivé de $p$ en un instant $t_0$, noté $p'(t_0)$, représente la vitesse instantanée de l'objet à cet instant $t_0$.

$v(t_0) = p'(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{p(t_0+h) - p(t_0)}{h}$

L'unité de la vitesse instantanée sera, par exemple, des mètres par seconde (m/s) si la position est en mètres et le temps en secondes. La dérivée de la position par rapport au temps donne la vitesse.

Pour comprendre le processus, il est utile de calculer quelques dérivées simples en utilisant la définition.

Méthode pas à pas :

1. Calculer $f(a+h)$.
2. Calculer $f(a+h) - f(a)$.
3. Calculer le taux d'accroissement $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
4. Calculer la limite de ce taux lorsque $h \to 0$.

Exemple 1 : Soit $f(x) = x^2$. Calculons $f'(a)$.

1. $f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$
2. $f(a+h) - f(a) = (a^2 + 2ah + h^2) - a^2 = 2ah + h^2$
3. $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$ (pour $h \neq 0$)
4. $f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a$. Donc, la dérivée de $x^2$ est $2x$.

Exemple 2 : Soit $f(x) = \frac{1}{x}$. Calculons $f'(a)$.

1. $f(a+h) = \frac{1}{a+h}$
2. $f(a+h) - f(a) = \frac{1}{a+h} - \frac{1}{a} = \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-h}{a(a+h)}$
3. $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{-h}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h \cdot a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)}$ (pour $h \neq 0$)
4. $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = \frac{-1}{a^2}$. Donc, la dérivée de $\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^2}$.

Erreurs courantes : Oublier de calculer la limite, simplifier $h$ alors qu'il est au numérateur et au dénominateur sans factoriser, erreurs de calcul algébrique.

Heureusement, nous n'avons pas à refaire le calcul par la définition à chaque fois. Il existe des formules pour les fonctions usuelles. La fonction dérivée $f'$ est la fonction qui à chaque $x$ associe le nombre dérivé $f'(x)$.

Connaître ces formules par cœur est essentiel pour les calculs de dérivées.

Pour dériver des fonctions plus complexes, nous utilisons des règles d'opérations. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ une constante réelle.

Exemple : Soit $f(x) = (3x^2 + 5)(2x - 1)$. On pose $u(x) = 3x^2 + 5$ et $v(x) = 2x - 1$. Alors $u'(x) = 6x$ et $v'(x) = 2$. $f'(x) = u'v + uv' = (6x)(2x - 1) + (3x^2 + 5)(2)$ $f'(x) = 12x^2 - 6x + 6x^2 + 10$ $f'(x) = 18x^2 - 6x + 10$.

Comme nous l'avons vu, la dérivée $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. L'équation de cette tangente est :

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Exemple : Déterminons l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2$ au point d'abscisse $a=2$.

1. Calculer $f(a)$: $f(2) = 2^2 = 4$. Le point de tangence est $(2, 4)$.
2. Calculer $f'(x)$: $f'(x) = 2x$.
3. Calculer $f'(a)$: $f'(2) = 2 \times 2 = 4$. C'est la pente de la tangente.
4. Appliquer la formule : $y = 4(x - 2) + 4$ $y = 4x - 8 + 4$ $y = 4x - 4$. L'équation de la tangente est $y = 4x - 4$. ==Cette droite est une approximation linéaire de la fonction $f(x)=x^2$ autour de $x=2$.==

L'une des applications les plus importantes de la dérivée est l'étude du sens de variation d'une fonction.

• Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. La tangente "monte".
• Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. La tangente "descend".
• Si $f'(x) = 0$ en un point $x_0$, alors la tangente est horizontale en ce point. Cela indique souvent un extremum local (maximum ou minimum).

Pour étudier le sens de variation d'une fonction, on construit un tableau de variation :

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$. Pour cela, on cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$ (points critiques) et les intervalles où $f'(x)$ est positive ou négative.
3. Construire le tableau en indiquant les valeurs de $x$, le signe de $f'(x)$, et le sens de variation de $f(x)$ (flèches montantes ou descendantes). On peut aussi y inclure les valeurs des extremums locaux.

Exemple : Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$.

1. $f'(x) = 3x^2 - 3$.
2. Signe de $f'(x)$: $f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow 3(x-1)(x+1) = 0$. Donc $x = 1$ ou $x = -1$. $f'(x)$ est un polynôme du second degré, positif à l'extérieur des racines.
   • Si $x < -1$, $f'(x) > 0$
   • Si $-1 < x < 1$, $f'(x) < 0$
   • Si $x > 1$, $f'(x) > 0$
3. Tableau de variation :

On a un maximum local en $x=-1$ (valeur $f(-1)=3$) et un minimum local en $x=1$ (valeur $f(1)=-1$).

La dérivation est un outil clé pour les problèmes d'optimisation, c'est-à-dire trouver les valeurs maximales ou minimales d'une quantité.

La méthode consiste à :

1. Modéliser le problème par une fonction $f(x)$ à optimiser (par exemple, aire maximale, coût minimal, volume maximal).
2. Calculer la dérivée $f'(x)$.
3. Chercher les points où $f'(x) = 0$. Ces points sont des candidats pour les extremums.
4. Utiliser le tableau de variation (ou la dérivée seconde) pour déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

Exemples :

• Problèmes de géométrie : Trouver les dimensions d'un récipient de volume maximal avec une surface donnée.
• Problèmes économiques : Déterminer la quantité de production qui maximise le profit ou minimise le coût.
• Problèmes de physique : Trouver le temps où une balle atteint sa hauteur maximale.

Toutes les fonctions ne sont pas dérivables en tout point. Si la limite du taux d'accroissement n'existe pas ou n'est pas finie en un point, alors la fonction n'est pas dérivable en ce point.

Cas typiques où une fonction n'est pas dérivable :

• Point anguleux : La courbe présente un "coin" ou une "pointe". La tangente n'est pas unique. Exemple : $f(x) = |x|$ en $x=0$. Pour $x > 0$, $f'(x) = 1$. Pour $x < 0$, $f'(x) = -1$. En $x=0$, la limite à gauche et la limite à droite du taux d'accroissement sont différentes.
• Tangente verticale : La pente de la tangente est infinie. Exemple : $f(x) = \sqrt[3]{x}$ en $x=0$.
• Discontinuité : Si une fonction n'est pas continue en un point, elle ne peut pas être dérivable en ce point. La dérivabilité implique la continuité, mais l'inverse est faux. Une fonction peut être continue sans être dérivable (ex: $|x|$ en 0).

La dérivation est omniprésente en physique.

• Vitesse et accélération : Si $p(t)$ est la position, $p'(t)$ est la vitesse $v(t)$, et $v'(t) = p''(t)$ est l'accélération $a(t)$. L'accélération est la dérivée seconde de la position par rapport au temps.
• Taux de réaction : En chimie, la vitesse d'une réaction est souvent exprimée comme la dérivée de la concentration des réactifs ou des produits par rapport au temps.
• Flux : La dérivée est utilisée pour décrire les flux de chaleur, de masse, d'électricité.

Jusqu'à présent, nous avons étudié des fonctions d'une seule variable ($y = f(x)$). Cependant, de nombreux phénomènes dépendent de plusieurs variables. Par exemple, la température d'une pièce peut dépendre de la position ($x, y, z$) et du temps ($t$).

Les dérivées partielles étendent le concept de dérivée aux fonctions de plusieurs variables. Pour une fonction $f(x, y)$, la dérivée partielle par rapport à $x$ (notée $\frac{\partial f}{\partial x}$) est obtenue en considérant $y$ comme une constante et en dérivant par rapport à $x$.

C'est un concept plus avancé, mais il est fondamental en physique, en ingénierie, en économie et dans d'autres domaines pour modéliser des systèmes complexes. Les dérivées partielles permettent d'analyser l'impact d'une seule variable sur une fonction multivariable, en maintenant les autres constantes.