Appliquer un taux d'evolution pour calculer une valeur finale ou initiale

Le taux d'évolution est un outil mathématique qui permet de mesurer le changement relatif d'une quantité entre deux instants. Il est crucial pour analyser des phénomènes économiques, démographiques, ou scientifiques.

Pour calculer un taux d'évolution, nous avons besoin de deux valeurs :

• La valeur initiale ($V_i$) : la quantité au début de la période.
• La valeur finale ($V_f$) : la quantité à la fin de la période.

La formule pour calculer le taux d'évolution ($t$) est la suivante :

$t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$

Ce résultat est souvent exprimé en pourcentage. Pour cela, il suffit de multiplier le résultat par 100. $t \text{ (en pourcentage)} = \left(\frac{V_f - V_i}{V_i}\right) \times 100$

Exemple : Le prix d'un article passe de 50 € à 60 €. $V_i = 50$ € $V_f = 60$ €

Calcul du taux d'évolution : $t = \frac{60 - 50}{50} = \frac{10}{50} = 0,2$

En pourcentage : $0,2 \times 100 = 20\%$. L'article a augmenté de 20%.

Le signe du taux d'évolution nous indique s'il s'agit d'une augmentation ou d'une diminution :

• Si $t > 0$ (ou $V_f > V_i$), c'est une augmentation. Le taux est positif.
• Si $t < 0$ (ou $V_f < V_i$), c'est une diminution. Le taux est négatif.

Exemples concrets :

1. Augmentation : Le nombre d'abonnés à un service passe de 1000 à 1200. $V_i = 1000$, $V_f = 1200$ $t = \frac{1200 - 1000}{1000} = \frac{200}{1000} = 0,2 = +20\%$. Il y a eu une augmentation de 20%.

2. Diminution : Le prix d'un produit passe de 80 € à 72 €. $V_i = 80$, $V_f = 72$ $t = \frac{72 - 80}{80} = \frac{-8}{80} = -0,1 = -10\%$. Il y a eu une diminution de 10%.

Il est important de toujours bien identifier $V_i$ et $V_f$ pour éviter les erreurs de calcul.

Le coefficient multiplicateur (noté $CM$) est un concept fondamental lié au taux d'évolution. Il représente le facteur par lequel on doit multiplier la valeur initiale pour obtenir la valeur finale.

La relation entre la valeur finale, la valeur initiale et le coefficient multiplicateur est : $V_f = V_i \times CM$

À partir de la formule du taux d'évolution $t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$, on peut déduire le lien avec le coefficient multiplicateur : $t = \frac{V_f}{V_i} - \frac{V_i}{V_i}$ $t = \frac{V_f}{V_i} - 1$ Donc, $\frac{V_f}{V_i} = 1 + t$.

Ainsi, le coefficient multiplicateur est donné par la formule : $CM = 1 + t$

Où $t$ est le taux d'évolution exprimé sous forme décimale (par exemple, pour 20%, $t=0,2$).

Utilisation pratique :

• Si le prix augmente de 20%, $t = 0,2$. Le $CM = 1 + 0,2 = 1,2$. Pour trouver le nouveau prix, on multiplie l'ancien prix par 1,2.
• Si le prix diminue de 10%, $t = -0,1$. Le $CM = 1 + (-0,1) = 0,9$. Pour trouver le nouveau prix, on multiplie l'ancien prix par 0,9.

Le coefficient multiplicateur est un outil très puissant pour simplifier les calculs, surtout lors d'évolutions successives.

Pour calculer la valeur finale ($V_f$) connaissant la valeur initiale ($V_i$) et le taux d'évolution ($t$), on utilise la formule dérivée du coefficient multiplicateur :

$V_f = V_i \times (1 + t)$

N'oubliez pas que $t$ doit être exprimé sous sa forme décimale.

Exemple : Une population de 5000 habitants augmente de 15%. $V_i = 5000$ $t = 15\% = 0,15$

Calcul de la valeur finale : $V_f = 5000 \times (1 + 0,15)$ $V_f = 5000 \times 1,15$ $V_f = 5750$

La nouvelle population est de 5750 habitants.

Comme vu précédemment, le coefficient multiplicateur ($CM = 1+t$) est très utile. La formule devient alors simplement : $V_f = V_i \times CM$

Cette approche est particulièrement avantageuse pour les enchaînements d'évolutions.

Exemple d'application : Un salaire de 2000 € est d'abord augmenté de 5%, puis de 3% l'année suivante.

1. Augmentation de 5% : $t_1 = 0,05 \implies CM_1 = 1 + 0,05 = 1,05$ Salaire après la 1ère augmentation : $V_1 = 2000 \times 1,05 = 2100$ €

2. Augmentation de 3% sur le nouveau salaire : $t_2 = 0,03 \implies CM_2 = 1 + 0,03 = 1,03$ Salaire final : $V_f = V_1 \times 1,03 = 2100 \times 1,03 = 2163$ €

On peut aussi calculer le coefficient multiplicateur global (voir section "Évolutions Successives") : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 = 1,05 \times 1,03 = 1,0815$ $V_f = 2000 \times 1,0815 = 2163$ €. C'est plus rapide !

Les taux d'évolution sont partout dans la vie quotidienne.

• Prix après réduction/augmentation : Un article coûte 80 €. Il est soldé avec une réduction de 25%. $V_i = 80$ $t = -25\% = -0,25$ $V_f = 80 \times (1 - 0,25) = 80 \times 0,75 = 60$ €. Le prix soldé est de 60 €.

• Évolution de population : Une ville compte 150 000 habitants. Sa population augmente de 2% par an. Combien d'habitants dans 3 ans ? $V_i = 150000$ $t = 0,02$ Après 1 an : $V_1 = 150000 \times 1,02$ Après 2 ans : $V_2 = V_1 \times 1,02 = 150000 \times 1,02 \times 1,02 = 150000 \times (1,02)^2$ Après 3 ans : $V_3 = 150000 \times (1,02)^3 \approx 159181$ habitants.

• TVA et prix TTC : Un article hors taxes (HT) coûte 120 €. La TVA est de 20%. Quel est le prix toutes taxes comprises (TTC) ? Le prix HT est la valeur initiale, la TVA est le taux d'augmentation. $V_i = 120$ $t = 20\% = 0,20$ $V_{TTC} = 120 \times (1 + 0,20) = 120 \times 1,20 = 144$ €. Le prix TTC est de 144 €.

Parfois, nous connaissons la valeur finale après une évolution et nous voulons trouver la valeur initiale. Nous utilisons la même formule de base : $V_f = V_i \times (1 + t)$. Pour trouver $V_i$, il suffit de réarranger la formule :

$V_i = \frac{V_f}{1 + t}$

Ou, en utilisant le coefficient multiplicateur ($CM = 1+t$) : $V_i = \frac{V_f}{CM}$

Exemple : Après une augmentation de 10%, un produit coûte 55 €. Quel était son prix initial ? $V_f = 55$ $t = 10\% = 0,10$ $CM = 1 + 0,10 = 1,10$

$V_i = \frac{55}{1,10} = 50$ €. Le prix initial était de 50 €.

Cas des diminutions : Après une réduction de 20%, un article est vendu 40 €. Quel était son prix avant la réduction ? $V_f = 40$ $t = -20\% = -0,20$ $CM = 1 - 0,20 = 0,80$

$V_i = \frac{40}{0,80} = 50$ €. Le prix initial était de 50 €.

• Prix avant une promotion : Un vêtement est affiché à 75 € après une remise de 25%. Quel était son prix avant la remise ? $V_f = 75$ $t = -0,25$ $V_i = \frac{75}{1 - 0,25} = \frac{75}{0,75} = 100$ €. Le prix initial était de 100 €.

• Salaire avant une augmentation : Le salaire d'un employé est de 1890 € après une augmentation de 5%. Quel était son salaire avant cette augmentation ? $V_f = 1890$ $t = 0,05$ $V_i = \frac{1890}{1 + 0,05} = \frac{1890}{1,05} = 1800$ €. Son salaire initial était de 1800 €.

• Calcul du prix hors taxe (HT) à partir du prix toutes taxes comprises (TTC) : Un article coûte 120 € TTC. Le taux de TVA est de 20%. Quel est son prix HT ? $V_{TTC} = 120$ $t = 0,20$ $V_{HT} = \frac{120}{1 + 0,20} = \frac{120}{1,20} = 100$ €. Le prix HT est de 100 €.

L'erreur la plus fréquente est d'appliquer le "taux inverse" au lieu de diviser par le coefficient multiplicateur. Par exemple, si un prix augmente de 20% pour atteindre 120 €, il ne faut PAS le diminuer de 20% pour retrouver le prix initial. Si on diminue 120 € de 20% : $120 \times (1 - 0,20) = 120 \times 0,80 = 96$ €. Ce n'est pas 100 € !

Pourquoi est-ce une erreur ? Car la base de calcul change. Une diminution de 20% sur 120 € n'est pas la même chose qu'une augmentation de 20% sur 100 €.

• Augmentation de 20% sur 100 € : $100 \times 0,20 = 20$ €. Nouveau prix : $100 + 20 = 120$ €.
• Diminution de 20% sur 120 € : $120 \times 0,20 = 24$ €. Nouveau prix : $120 - 24 = 96$ €.

Il est crucial de toujours diviser par le coefficient multiplicateur $(1+t)$ pour retrouver la valeur initiale. Comprendre cette logique est essentiel pour maîtriser les calculs d'évolution.

Lorsque plusieurs évolutions se produisent successivement, on applique les coefficients multiplicateurs les uns après les autres. Si une valeur $V_i$ subit une première évolution de taux $t_1$, puis une seconde évolution de taux $t_2$, la valeur finale $V_f$ est obtenue par :

$V_f = V_i \times (1 + t_1) \times (1 + t_2)$

On peut généraliser : si $n$ évolutions successives de taux $t_1, t_2, ..., t_n$ s'appliquent, alors : $V_f = V_i \times (1 + t_1) \times (1 + t_2) \times \dots \times (1 + t_n)$

Le coefficient multiplicateur global ($CM_{global}$) est le produit des coefficients multiplicateurs individuels : $CM_{global} = (1 + t_1) \times (1 + t_2) \times \dots \times (1 + t_n)$

L'ordre des évolutions n'a pas d'importance pour le résultat final. Exemple : Un prix augmente de 10%, puis diminue de 5%. $t_1 = 0,10 \implies CM_1 = 1,10$ $t_2 = -0,05 \implies CM_2 = 0,95$

$CM_{global} = 1,10 \times 0,95 = 1,045$ Si le prix initial est 100 €, le prix final sera $100 \times 1,045 = 104,50$ €.

À partir du coefficient multiplicateur global, on peut facilement retrouver le taux d'évolution global ($t_{global}$). Puisque $CM_{global} = 1 + t_{global}$, il en découle que : $t_{global} = CM_{global} - 1$

Exemple : Reprenons l'exemple précédent : augmentation de 10% puis diminution de 5%. $CM_{global} = 1,045$ $t_{global} = 1,045 - 1 = 0,045 = +4,5\%$. Le prix a globalement augmenté de 4,5%.

Attention : Le taux d'évolution global n'est PAS la somme des taux individuels ! Dans notre exemple : $10\% - 5\% = 5\%$, ce qui est différent de $4,5\%$. Il est impératif de passer par les coefficients multiplicateurs pour calculer le taux global.

• Augmentations et diminutions combinées : Un produit coûte 200 €. Son prix augmente de 10%, puis diminue de 15%, et enfin augmente de 5%. $CM_1 = 1 + 0,10 = 1,10$ $CM_2 = 1 - 0,15 = 0,85$ $CM_3 = 1 + 0,05 = 1,05$

  $CM_{global} = 1,10 \times 0,85 \times 1,05 = 0,98475$ Prix final : $200 \times 0,98475 = 196,95$ €. Le taux global est $0,98475 - 1 = -0,01525 = -1,525\%$. Le prix a globalement diminué.

• Applications financières : Un capital de 10 000 € est placé. La première année, il rapporte 3%. La deuxième année, il perd 1%. $CM_1 = 1,03$ $CM_2 = 0,99$ $CM_{global} = 1,03 \times 0,99 = 1,0197$ Capital final : $10000 \times 1,0197 = 10197$ €. Le taux d'évolution global est de $1,97\%$.

Le taux réciproque (ou taux d'évolution réciproque) est le taux qu'il faudrait appliquer à la valeur finale pour retrouver la valeur initiale. Si une valeur $V_i$ subit un taux $t$ pour devenir $V_f$, alors $V_f = V_i \times (1+t)$. Pour revenir à $V_i$ à partir de $V_f$, on doit diviser par $(1+t)$, c'est-à-dire multiplier par $\frac{1}{1+t}$. Le coefficient multiplicateur réciproque est donc $CM_{réciproque} = \frac{1}{1+t}$.

Le taux réciproque ($t_{réciproque}$) est alors : $t_{réciproque} = CM_{réciproque} - 1 = \frac{1}{1+t} - 1$

Exemple : Un article augmente de 20%. $t = 0,20$. $CM = 1,20$. $t_{réciproque} = \frac{1}{1,20} - 1 = 0,8333... - 1 = -0,1666... \approx -16,67\%$. Cela signifie que pour ramener le prix (qui a augmenté de 20%) à sa valeur initiale, il faut le diminuer d'environ 16,67%.

C'est une erreur fréquente de confondre le taux réciproque avec le taux opposé. Le taux opposé est simplement $-t$. Comme nous l'avons vu dans la section sur les erreurs courantes, appliquer le taux opposé ne permet pas de retrouver la valeur initiale.

Exemple : Si un prix augmente de 20% ($t = +0,20$), le taux opposé est $-20\%$. Si le prix initial est 100 €, il devient 120 €. Appliquer le taux opposé (-20%) sur 120 € donne $120 \times (1 - 0,20) = 96$ €. Ce n'est pas 100 €.

Par contre, appliquer le taux réciproque (environ -16,67%) sur 120 € donne : $120 \times (1 - 0,1666...) = 120 \times (1 - \frac{1}{6}) = 120 \times \frac{5}{6} = 100$ €. C'est bien la valeur initiale.

Retenez que le taux réciproque est toujours différent du taux opposé, sauf si le taux initial est nul.

Le taux d'évolution moyen est utilisé pour trouver un taux unique qui, appliqué plusieurs fois de suite, produirait le même effet que des évolutions successives. Il est principalement pertinent lorsque l'on considère une série d'évolutions identiques sur plusieurs périodes.

Si une grandeur $V_i$ évolue pendant $n$ périodes (années, mois, etc.) pour atteindre $V_f$, et que l'on suppose un taux d'évolution $t_{moyen}$ constant pour chaque période, alors : $V_f = V_i \times (1 + t_{moyen})^n$

Pour trouver $t_{moyen}$, on isole $(1 + t_{moyen})$ : $(1 + t_{moyen})^n = \frac{V_f}{V_i}$ $1 + t_{moyen} = \left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{\frac{1}{n}}$ $t_{moyen} = \left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{\frac{1}{n}} - 1$

Exemple : Une population passe de 10 000 à 12 000 habitants en 5 ans. Quel est le taux d'évolution annuel moyen ? $V_i = 10000$, $V_f = 12000$, $n = 5$. $t_{moyen} = \left(\frac{12000}{10000}\right)^{\frac{1}{5}} - 1$ $t_{moyen} = (1,2)^{\frac{1}{5}} - 1$ $t_{moyen} \approx 1,037137 - 1 \approx 0,037137 \approx +3,71\%$. La population a augmenté en moyenne d'environ 3,71% par an.

Limites de la notion de taux moyen : Le taux moyen est une moyenne géométrique, et non arithmétique. Il suppose une évolution régulière. Si les évolutions annuelles sont très différentes (ex: +10%, puis -5%, puis +20%), calculer un taux moyen "typique" sans passer par la formule est délicat. La formule du taux moyen est surtout utile quand on cherche le taux constant qui aurait pu produire le résultat final.