Calculer une proportion de proportion

Une proportion représente la part d'un sous-ensemble par rapport à un ensemble total. Elle indique quelle fraction ou quel pourcentage du tout est occupé par cette partie spécifique.

Pour calculer une proportion $p$, on utilise la formule suivante :

$p = \frac{\text{effectif du sous-ensemble}}{\text{effectif total}}$

où :

• Effectif du sous-ensemble est le nombre d'éléments qui possèdent la caractéristique étudiée.
• Effectif total est le nombre total d'éléments dans l'ensemble de référence.

Une proportion peut s'exprimer de trois manières principales :

1. En fraction : Par exemple, $\frac{1}{4}$
2. En nombre décimal : Par exemple, $0,25$ (on divise le numérateur par le dénominateur)
3. En pourcentage : Par exemple, $25\%$ (on multiplie le nombre décimal par $100$)

Il est crucial de bien identifier l'ensemble total de référence pour calculer une proportion correcte.

Voyons quelques exemples pour illustrer ce concept.

Exemple 1 : Proportion d'élèves ayant une caractéristique Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles. La proportion de filles dans cette classe est :

• En fraction : $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$
• En décimal : $0,6$
• En pourcentage : $0,6 \times 100 = 60\%$ On peut dire que 60% des élèves de la classe sont des filles.

Exemple 2 : Proportion de produits défectueux Une usine produit 500 téléphones par jour. Un contrôle qualité révèle que 15 téléphones sont défectueux. La proportion de téléphones défectueux est :

• En fraction : $\frac{15}{500} = \frac{3}{100}$
• En décimal : $0,03$
• En pourcentage : $0,03 \times 100 = 3\%$ On peut dire que 3% des téléphones produits sont défectueux.

L'interprétation des résultats est essentielle : une proportion nous donne une idée de l'importance relative d'une partie par rapport à un tout. Un pourcentage est souvent le format le plus intuitif pour la communication de ces proportions.

Les proportions peuvent être visualisées de différentes manières pour faciliter leur compréhension.

• Diagrammes circulaires (camemberts) : Ils représentent le tout (100%) par un cercle et les proportions par des secteurs angulaires. Chaque secteur a un angle proportionnel à la proportion qu'il représente. C'est très efficace pour montrer la répartition d'un ensemble en différentes catégories.

  Exemple : Répartition des élèves par option

  Option	Nombre d'élèves	Proportion
  Mathématiques	15	50%
  Physique	9	30%
  SVT	6	20%
  Total	30	100%

  Un diagramme circulaire montrerait ces trois options comme des parts du "gâteau".

• Diagrammes en barres : Ils utilisent des barres dont la longueur ou la hauteur est proportionnelle à la proportion ou à l'effectif. Ils sont utiles pour comparer des proportions entre différentes catégories ou groupes.

• Tableaux de données : Ce sont des outils fondamentaux pour organiser et présenter les effectifs et les proportions de manière claire. Ils sont souvent le point de départ de tout calcul de proportion.

Ces représentations aident à visualiser les données et à mieux comprendre les relations de proportionnalité.

Imagine que tu as une grande population, et à l'intérieur de cette population, il y a un groupe particulier. Ensuite, au sein de ce groupe particulier, il y a un sous-groupe encore plus spécifique. C'est exactement ce que gère la proportion de proportion.

• Population totale : C'est l'ensemble de référence initial.
• Sous-population (ou groupe A) : C'est une partie de la population totale. On peut calculer la proportion de cette sous-population par rapport à la population totale.
• Sous-sous-population (ou groupe B) : C'est une partie du groupe A. On peut calculer la proportion de ce sous-sous-groupe par rapport au groupe A.

L'objectif est souvent de trouver la proportion de ce sous-sous-groupe (B) par rapport à la population totale. C'est là qu'intervient le calcul de la proportion de proportion. Il est très important de bien distinguer de quel "tout" on parle quand on exprime une proportion.

Prenons un exemple concret pour fixer les idées.

Situation : Dans un grand lycée, il y a 800 élèves au total.

• Proportion de filles dans le lycée : On sait que 55% des élèves du lycée sont des filles.
  • Effectif de filles = $800 \times 0,55 = 440$ filles.
• Proportion de filles en Première parmi les filles : Parmi toutes les filles du lycée, 25% sont en classe de Première.
  • Effectif de filles en Première = $440 \times 0,25 = 110$ filles.

Nous avons :

1. Une première proportion : Les filles parmi l'ensemble des élèves du lycée ($55\%$).
2. Une seconde proportion : Les filles en Première parmi l'ensemble des filles ($25\%$).

La question que l'on se pose est : quelle est la proportion de filles en Première par rapport à l'ensemble des élèves du lycée ?

Pour trouver cette proportion, on peut multiplier les deux proportions : $0,55 \times 0,25 = 0,1375$

Converti en pourcentage, cela donne $13,75\%$. Donc, 13,75% de l'ensemble des élèves du lycée sont des filles en Première.

Pourquoi multiplie-t-on les proportions ? L'idée est de considérer une réduction successive des ensembles.

Imagine que tu commences avec 100% de la population totale.

1. Quand tu prends $55\%$ de cette population (les filles), tu "réduis" ton ensemble de référence à $55\%$ de l'original.
2. Ensuite, quand tu prends $25\%$ de ces $55\%$ (les filles en Première), tu appliques une nouvelle réduction. Tu prends une "part de la part" précédente.

C'est comme prendre une fraction d'une fraction : $\frac{1}{2}$ de $\frac{1}{4}$ est $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.

• Chaîne d'événements : Si un événement A se produit avec une probabilité $p_A$, et qu'un événement B se produit avec une probabilité $p_B$ si A s'est déjà produit, alors la probabilité que A et B se produisent tous les deux est $p_A \times p_B$. C'est le même principe.
• Visualisation par diagrammes ensemblistes : Imagine un grand rectangle représentant le lycée. Une partie de ce rectangle est colorée en bleu pour les filles. Ensuite, une partie de la zone bleue est colorée en vert pour les filles en Première. La surface verte par rapport à la grande surface du rectangle représente la proportion de proportion.

La multiplication est l'opération logique pour calculer une proportion qui se réfère à l'ensemble initial quand on a des proportions en cascade.

Soit :

• $P_A$ : la proportion du groupe A dans la population totale.
• $P_{B \text{ dans } A}$ : la proportion du groupe B parmi le groupe A.

La proportion du groupe B dans la population totale, notée $P_{B \text{ dans total}}$, est donnée par la formule :

$P_{B \text{ dans total}} = P_A \times P_{B \text{ dans } A}$

Développons avec les effectifs :

• $P_A = \frac{\text{effectif}_A}{\text{effectif}_{\text{total}}}$
• $P_{B \text{ dans } A} = \frac{\text{effectif}_B}{\text{effectif}_A}$ (ici, effectif $B$ est un sous-ensemble de $A$)

En substituant dans la formule : $P_{B \text{ dans total}} = \frac{\text{effectif}_A}{\text{effectif}_{\text{total}}} \times \frac{\text{effectif}_B}{\text{effectif}_A}$

On peut simplifier par $\text{effectif}_A$ : $P_{B \text{ dans total}} = \frac{\text{effectif}_B}{\text{effectif}_{\text{total}}}$

Cette simplification montre que la formule est bien logique : elle nous donne la proportion de l'effectif du sous-groupe le plus petit (B) par rapport à l'effectif total de la population de départ. La clé est de toujours s'assurer que la deuxième proportion est bien "parmi" le groupe de la première proportion.

Lorsque les proportions sont données en pourcentages, il est impératif de les convertir en nombres décimaux avant de les multiplier.

Pour convertir un pourcentage en décimal, il suffit de diviser par 100.

• $55\% = 0,55$
• $25\% = 0,25$

Exemple : Un magasin vend des articles. $40\%$ des articles sont des vêtements. Parmi les vêtements, $15\%$ sont des articles en soldes. Quelle est la proportion d'articles en soldes qui sont des vêtements par rapport à tous les articles du magasin ?

1. Proportion de vêtements : $P_{\text{vêtements}} = 40\% = 0,40$
2. Proportion de soldes parmi les vêtements : $P_{\text{soldes dans vêtements}} = 15\% = 0,15$

Proportion de soldes qui sont des vêtements dans le magasin total : $P_{\text{soldes dans total}} = P_{\text{vêtements}} \times P_{\text{soldes dans vêtements}}$ $P_{\text{soldes dans total}} = 0,40 \times 0,15 = 0,06$

Pour exprimer le résultat en pourcentage, on multiplie par 100 : $0,06 \times 100 = 6\%$

Donc, 6% des articles du magasin sont des vêtements en soldes.

Les problèmes de proportion de proportion suivent souvent un schéma similaire.

Étapes pour résoudre un problème :

1. Identifier la population totale de référence.
2. Identifier la première proportion (partie A du tout). Note cette proportion $P_A$.
3. Identifier la deuxième proportion (partie B de la partie A). Note cette proportion $P_{B \text{ dans } A}$.
4. Convertir les pourcentages en décimaux si nécessaire.
5. Appliquer la formule de multiplication : $P_{B \text{ dans total}} = P_A \times P_{B \text{ dans } A}$.
6. Interpréter le résultat et le reconvertir en pourcentage si demandé.

Exemple de problème : Dans une usine, $70\%$ des employés sont des hommes. Parmi ces hommes, $30\%$ travaillent à temps partiel. Quelle est la proportion d'hommes travaillant à temps partiel dans l'ensemble des employés de l'usine ?

1. Population totale : Tous les employés de l'usine.
2. Première proportion ($P_A$) : Hommes parmi les employés = $70\% = 0,70$.
3. Deuxième proportion ($P_{B \text{ dans } A}$) : Hommes à temps partiel parmi les hommes = $30\% = 0,30$.
4. Calcul : $P_{\text{hommes temps partiel dans total}} = 0,70 \times 0,30 = 0,21$.
5. Interprétation : $0,21 \times 100 = 21\%$. 21% des employés de l'usine sont des hommes travaillant à temps partiel.

Toujours vérifier la cohérence des résultats : une proportion de proportion doit être inférieure ou égale à la plus petite des deux proportions initiales.

C'est une erreur très fréquente : confondre une proportion (un pourcentage, une fraction) avec un effectif (un nombre absolu de personnes ou d'objets).

• Une proportion est une valeur relative, sans unité directe (même si on l'exprime souvent en pourcentage). Elle dépend du total de référence.
• Un effectif est un nombre absolu.

Exemple : "Il y a 30% d'élèves en Seconde." (Proportion) "Il y a 150 élèves en Seconde." (Effectif)

Si l'énoncé dit "30% des élèves sont en Seconde, et 20 de ces élèves sont des garçons", il faut être vigilant. Les "20 de ces élèves" est un effectif, pas une proportion. Si l'on veut la proportion de garçons en Seconde parmi les élèves de Seconde, il faudrait savoir combien il y a d'élèves en Seconde.

L'importance du 'parmi' ou 'de' : Ces mots sont des indicateurs clés.

• "30% des élèves" = 30% de la population totale.
• "20% parmi les 30% précédents" = La deuxième proportion s'applique au groupe défini par la première.

Prenez le temps de relire les énoncés pour bien identifier si vous avez affaire à des proportions ou à des effectifs et quel est l'ensemble de référence pour chaque proportion.

1. Oubli de convertir les pourcentages en décimaux : Si vous multipliez $70\% \times 30\%$ directement, vous obtenez $2100\%$, ce qui n'a aucun sens. Il faut toujours convertir en $0,70 \times 0,30 = 0,21$.
2. Addition au lieu de multiplication : On pourrait être tenté d'ajouter les pourcentages ($70\% + 30\% = 100\%$) ou même ($70\% + 30\% = 100\%$ si on pensait que c'est une part complémentaire), mais cela est incorrect. La proportion de proportion est une "part de part", ce qui implique une multiplication. L'addition ne s'applique que si les groupes sont disjoints et que l'on veut la proportion de l'union de ces groupes par rapport au total.
3. Inversion des proportions : S'assurer que chaque proportion est correctement identifiée par rapport à son ensemble de référence. Par exemple, ne pas confondre "proportion de A dans B" avec "proportion de B dans A".

Une fois le calcul effectué, il est crucial de donner un sens au résultat.

• Sens du résultat obtenu : La valeur doit être comprise et expliquée dans le contexte du problème. Par exemple, "21% des employés de l'usine sont des hommes travaillant à temps partiel" est une interprétation correcte.
• Cohérence avec le contexte : Si tu trouves une proportion de 120%, il y a clairement une erreur ! Une proportion doit toujours être entre 0 et 1 (ou 0% et 100%). De plus, comme mentionné, la proportion de proportion doit être plus petite que les proportions qui la composent (sauf si une des proportions est 100%).
• Arrondis et précision : Dans les problèmes réels, il faut souvent arrondir les résultats. Précise toujours le niveau de précision (ex: "environ 13,8%" ou "arrondi au dixième de pourcent"). Utilise suffisamment de décimales pendant les calculs intermédiaires pour éviter les erreurs d'arrondi cumulatives.

Exercice 1 : Dans un club de sport, $60\%$ des membres sont des adultes. Parmi les adultes, $45\%$ pratiquent la natation. Quelle proportion des membres du club sont des adultes qui pratiquent la natation ?

• $P_{\text{adultes}} = 0,60$
• $P_{\text{natation parmi adultes}} = 0,45$
• $P_{\text{natation adultes dans total}} = 0,60 \times 0,45 = 0,27$
• Réponse : $27\%$ des membres du club sont des adultes qui pratiquent la natation.

Exercice 2 : Un sondage révèle que $75\%$ des lycéens utilisent les réseaux sociaux. Parmi ceux qui utilisent les réseaux sociaux, $80\%$ le font quotidiennement. Quelle est la proportion de lycéens qui utilisent les réseaux sociaux quotidiennement ?

• $P_{\text{réseaux sociaux}} = 0,75$
• $P_{\text{quotidiennement parmi réseaux sociaux}} = 0,80$
• $P_{\text{quotidiennement dans total}} = 0,75 \times 0,80 = 0,60$
• Réponse : $60\%$ des lycéens utilisent les réseaux sociaux quotidiennement.

Exercice 3 (calcul d'un effectif) : Un lycée compte 1200 élèves. $40\%$ des élèves sont en Première. Parmi les élèves de Première, $35\%$ suivent l'option Mathématiques. Combien d'élèves de Première suivent l'option Mathématiques ?

1. Proportion d'élèves de Première dans le lycée : $P_{\text{Première}} = 0,40$.
2. Proportion d'élèves en Mathématiques parmi les Premières : $P_{\text{Maths dans Première}} = 0,35$.
3. Proportion d'élèves en Première et en Maths dans le lycée total : $0,40 \times 0,35 = 0,14$.
4. Effectif d'élèves en Première et en Maths : $1200 \times 0,14 = 168$.

• Réponse : 168 élèves de Première suivent l'option Mathématiques.

Certains problèmes peuvent impliquer plusieurs niveaux de proportions ou nécessiter de calculer des effectifs intermédiaires.

Exemple : Dans une entreprise de 500 employés :

• $60\%$ des employés sont des cadres.
• Parmi les cadres, $20\%$ sont des femmes.
• Parmi les employés non-cadres, $40\%$ sont des femmes.

1. Quelle est la proportion de femmes cadres dans l'entreprise ?

   • $P_{\text{cadres}} = 0,60$
   • $P_{\text{femmes parmi cadres}} = 0,20$
   • $P_{\text{femmes cadres dans total}} = 0,60 \times 0,20 = 0,12$ (soit $12\%$)

2. Quelle est la proportion de femmes non-cadres dans l'entreprise ?

   • Proportion de non-cadres : $1 - P_{\text{cadres}} = 1 - 0,60 = 0,40$.
   • $P_{\text{femmes parmi non-cadres}} = 0,40$
   • $P_{\text{femmes non-cadres dans total}} = 0,40 \times 0,40 = 0,16$ (soit $16\%$)

3. Quelle est la proportion totale de femmes dans l'entreprise ?

   • Il suffit d'ajouter les proportions de femmes cadres et de femmes non-cadres (ce sont des groupes disjoints) :
   • $P_{\text{total femmes}} = 0,12 + 0,16 = 0,28$ (soit $28\%$)

4. Combien y a-t-il de femmes dans l'entreprise ?

   • $500 \times 0,28 = 140$ femmes.

Ce type de problème montre comment décomposer une situation complexe en étapes gérables.

Les tableaux de contingence (ou tableaux croisés) sont des outils très puissants pour organiser les données catégorielles et calculer diverses proportions.

En utilisant l'exemple précédent :

1. Total employés : 500
2. $60\%$ cadres : $500 \times 0,60 = 300$ cadres. Donc $500 - 300 = 200$ non-cadres.

3. Parmi les cadres, $20\%$ sont des femmes : $300 \times 0,20 = 60$ femmes cadres. Donc $300 - 60 = 240$ hommes cadres.

4. Parmi les non-cadres, $40\%$ sont des femmes : $200 \times 0,40 = 80$ femmes non-cadres. Donc $200 - 80 = 120$ hommes non-cadres.

Avec ce tableau complet, on peut facilement calculer toutes les proportions :

• Proportions marginales (par rapport au total général) :
  • Proportion de femmes : $\frac{140}{500} = 0,28 = 28\%$.
  • Proportion de cadres : $\frac{300}{500} = 0,60 = 60\%$.
• Proportions conditionnelles (proportions de proportion) :
  • Proportion de femmes parmi les cadres : $\frac{60}{300} = 0,20 = 20\%$. (Ceci était une donnée initiale)
  • Proportion de femmes parmi les non-cadres : $\frac{80}{200} = 0,40 = 40\%$. (Ceci était une donnée initiale)
  • Proportion de cadres parmi les femmes : $\frac{60}{140} \approx 0,428 = 42,8\%$.
  • Proportion de femmes cadres dans l'ensemble de l'entreprise : $\frac{60}{500} = 0,12 = 12\%$. (Ceci est le résultat de $P_{\text{cadres}} \times P_{\text{femmes parmi cadres}} = 0,60 \times 0,20$)

Les tableaux de contingence sont excellents pour organiser les informations et éviter les confusions entre les différents "tout" de référence. Ils permettent de visualiser les relations entre les catégories et de vérifier la cohérence des calculs.