Dérivation

Imaginez le graphique d'une fonction $f$. Si vous prenez deux points $A(a; f(a))$ et $M(x; f(x))$ sur la courbe, vous pouvez tracer une droite qui les relie. Cette droite est appelée une sécante.

Le taux de variation moyen de la fonction $f$ entre $a$ et $x$ mesure la variation moyenne de $f(x)$ par rapport à la variation de $x$. Il est donné par la formule :

$\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Ce taux de variation n'est rien d'autre que la pente (ou coefficient directeur) de la droite sécante $(AM)$. Il indique comment la fonction varie "en moyenne" sur l'intervalle $[a, x]$ ou $[x, a]$.

L'interprétation graphique du taux de variation est la pente de la sécante.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = x^2$. Calculons le taux de variation entre $a=1$ et $x=3$. $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^2 - 1^2}{2} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$. La pente de la sécante passant par $(1;1)$ et $(3;9)$ est 4.

Le concept de nombre dérivé apparaît lorsque l'on rapproche le point $M$ du point $A$. Autrement dit, on fait tendre $x$ vers $a$. La sécante $(AM)$ va alors "pivoter" et se rapprocher d'une position limite : la tangente à la courbe au point $A$.

Le nombre dérivé de la fonction $f$ au point $a$, noté $f'(a)$, est la limite du taux de variation lorsque $x$ tend vers $a$ :

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Une autre notation courante, en posant $h = x - a$ (donc $x = a + h$), est :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. C'est une mesure de la "pente instantanée" de la courbe en ce point.

Interprétation géométrique :

• Si $f'(a) > 0$, la tangente monte, la fonction est croissante en $a$.
• Si $f'(a) < 0$, la tangente descend, la fonction est décroissante en $a$.
• Si $f'(a) = 0$, la tangente est horizontale, la fonction peut atteindre un extremum local (maximum ou minimum) en $a$.

Puisque $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point $A(a; f(a))$, nous pouvons utiliser la formule de l'équation d'une droite passant par un point donné $(x_0; y_0)$ et de pente $m$: $y - y_0 = m(x - x_0)$.

Ici, le point est $(a; f(a))$ et la pente est $f'(a)$. L'équation de la tangente $T_a$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est donc :

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

Ce qui peut aussi s'écrire :

$==y = f'(a)(x - a) + f(a)==$

Cette formule est essentielle ! Elle permet de trouver l'équation de la droite qui "frôle" la courbe au point $(a; f(a))$.

Exemple : Soit $f(x) = x^2$. On sait que $f'(1) = 2$ (nous le verrons plus tard avec les règles de dérivation, ou en calculant la limite). Le point de tangence est $(1; f(1)) = (1; 1^2) = (1; 1)$. L'équation de la tangente en $x=1$ est $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = 2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 = 2x - 1$.

Une fonction $f$ est dite dérivable en un point $a$ si et seulement si le nombre dérivé $f'(a)$ existe et est fini. C'est-à-dire si la limite $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ existe et est un nombre réel.

Conséquences :

• Si une fonction est dérivable en un point, alors elle est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (ex: $f(x) = |x|$ en $x=0$).
• La non-dérivabilité peut se manifester par un "point anguleux" (comme pour $|x|$ en 0), une tangente verticale (où la pente serait infinie), ou une discontinuité.

Exemples de non-dérivabilité :

• $f(x) = |x|$ en $x=0$. La limite à gauche est $-1$, la limite à droite est $1$. Les deux limites sont différentes, donc $f'(0)$ n'existe pas.
• $f(x) = \sqrt{x}$ en $x=0$. La tangente est verticale. $\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{0+h} - \sqrt{0}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = +\infty$.

Si une fonction $f$ est dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, alors on peut définir une nouvelle fonction, appelée fonction dérivée de $f$, notée $f'$.

Pour chaque $x \in I$, la valeur $f'(x)$ est le nombre dérivé de $f$ en ce point $x$. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Le domaine de dérivabilité de $f$ est l'ensemble de tous les points où $f$ est dérivable. Il est souvent noté $D_{f'}$.

Connaître les dérivées des fonctions de base est primordial.

Exemples :

• Si $f(x) = 5$, alors $f'(x) = 0$.
• Si $f(x) = -3x + 7$, alors $f'(x) = -3$.
• Si $f(x) = x^5$, alors $f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4$.

La dérivation est une opération linéaire, ce qui simplifie grandement les calculs.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ un nombre réel.

1. Dérivée d'une somme : La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme de leurs dérivées. $==(u + v)' = u' + v'==$ Exemple : Si $f(x) = x^3 + x^2$, alors $f'(x) = (x^3)' + (x^2)' = 3x^2 + 2x$.

2. Dérivée d'un produit par un réel : La dérivée d'une fonction multipliée par une constante est la constante multipliée par la dérivée de la fonction. $==(k u)' = k u'==$ Exemple : Si $f(x) = 5x^4$, alors $f'(x) = 5(x^4)' = 5(4x^3) = 20x^3$.

3. Combiner les deux (linéarité) : Exemple : Si $f(x) = 3x^2 - 2x + 7$. $f'(x) = (3x^2)' - (2x)' + (7)' = 3(x^2)' - 2(x)' + 0 = 3(2x) - 2(1) = 6x - 2$.

Ces règles sont un peu plus complexes mais sont fondamentales pour dériver des fonctions plus élaborées.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.

1. Dérivée d'un produit : $==(uv)' = u'v + uv'==$ Exemple : Si $f(x) = x^2 \sqrt{x}$. On pose $u(x) = x^2$ et $v(x) = \sqrt{x}$. Alors $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $f'(x) = (2x)(\sqrt{x}) + (x^2)(\frac{1}{2\sqrt{x}}) = 2x\sqrt{x} + \frac{x^2}{2\sqrt{x}} = 2x^{3/2} + \frac{1}{2}x^{3/2} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$. (Note : on peut aussi écrire $x^2\sqrt{x} = x^2 x^{1/2} = x^{5/2}$, donc $f'(x) = \frac{5}{2}x^{3/2}$ par la règle de $x^n$).

2. Dérivée d'un quotient : (Attention, cette formule est souvent source d'erreurs !) $==\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}==$ Cette formule est valable là où $v(x) \neq 0$.

   Exemple : Si $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$. On pose $u(x) = x+1$ et $v(x) = x-1$. Alors $u'(x) = 1$ et $v'(x) = 1$. $f'(x) = \frac{(1)(x-1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.

   Cas particulier : Dérivée de $\frac{1}{v}$ En appliquant la formule du quotient avec $u(x)=1$ (donc $u'(x)=0$) : $\left(\frac{1}{v}\right)' = \frac{0 \cdot v - 1 \cdot v'}{v^2} = -\frac{v'}{v^2}$. Exemple : Si $f(x) = \frac{1}{x^2}$. On pose $v(x) = x^2$, donc $v'(x) = 2x$. $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2)^2} = -\frac{2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$.

C'est l'application la plus fondamentale de la dérivation. Elle établit une relation directe entre le signe de la fonction dérivée $f'(x)$ et le sens de variation de la fonction $f(x)$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Le signe de la dérivée nous donne les variations de la fonction. C'est la clé de l'étude de fonction !

Interprétation :

• Lorsque la pente de la tangente est positive ($f'(x) > 0$), la courbe "monte".
• Lorsque la pente de la tangente est négative ($f'(x) < 0$), la courbe "descend".
• Lorsque la pente de la tangente est nulle ($f'(x) = 0$), la courbe est localement "plate".

Un extremum local (maximum local ou minimum local) est un point où la fonction change de sens de variation. Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$, et si elle admet un extremum local en un point $a \in I$, alors nécessairement $f'(a) = 0$.

Pour déterminer les extrema locaux, on suit cette démarche :

1. Calculer la dérivée $f'(x)$.
2. Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ pour trouver les points critiques.
3. Étudier le changement de signe de $f'(x)$ autour de ces points.
   • Si $f'(x)$ change de signe de $+$ à $-$ en $a$, alors $f$ admet un maximum local en $a$.
   • Si $f'(x)$ change de signe de $-$ à $+$ en $a$, alors $f$ admet un minimum local en $a$.
   • Si $f'(x)$ ne change pas de signe en $a$ (par exemple, reste positif des deux côtés), alors $f$ n'admet pas d'extremum en $a$ mais un point d'inflexion (la courbe "s'aplatit" un instant avant de repartir dans le même sens).

Il est crucial de calculer la valeur de la fonction $f(a)$ pour l'extremum.

Le tableau de variations est un outil graphique très utile pour synthétiser l'étude du signe de la dérivée et des variations de la fonction.

Étapes pour construire un tableau de variations :

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
2. Calculer la dérivée $f'(x)$.
3. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$.
4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur son domaine de définition. Cela implique souvent de résoudre $f'(x) = 0$ et de faire un tableau de signes.
5. Construire le tableau de variations :
   • Première ligne : les valeurs de $x$ (bornes du domaine, valeurs où $f'(x)=0$ ou n'est pas définie).
   • Deuxième ligne : le signe de $f'(x)$ (avec des $0$ aux racines et des barres pour les valeurs interdites).
   • Troisième ligne : les variations de $f$ (flèches montantes pour croissant, descendantes pour décroissant).
   • Aux extrémités des flèches, indiquer les valeurs de la fonction $f(x)$ aux bornes du domaine et aux extrema locaux.

Exemple : Soit $f(x) = x^3 - 3x$.

1. $D_f = \mathbb{R}$.
2. $f'(x) = 3x^2 - 3$.
3. $D_{f'} = \mathbb{R}$.
4. Signe de $f'(x)$ : $3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = -1$ ou $x = 1$. $f'(x)$ est un polynôme du second degré, positif à l'extérieur des racines.
5. Tableau de variations :

La dérivation est un outil puissant pour résoudre des problèmes d'optimisation, c'est-à-dire trouver la valeur maximale ou minimale d'une quantité.

Méthode générale :

1. Modéliser le problème : Identifier la quantité à optimiser (aire, volume, coût, distance, etc.) et l'exprimer sous forme de fonction d'une ou plusieurs variables. Si nécessaire, utiliser les contraintes du problème pour l'exprimer en fonction d'une seule variable.
2. Déterminer le domaine de définition pertinent de cette fonction.
3. Calculer la dérivée de la fonction à optimiser.
4. Rechercher les extrema en étudiant le signe de la dérivée et en construisant un tableau de variations.
5. Interpréter le résultat dans le contexte du problème.

Les problèmes d'optimisation demandent de trouver le maximum ou le minimum d'une fonction qui modélise une situation concrète.

Exemple : On veut construire une boîte sans couvercle à partir d'une feuille de carton carrée de côté 10 cm, en découpant des carrés identiques aux quatre coins et en pliant les bords. Quelle doit être la taille des carrés découpés pour que le volume de la boîte soit maximal ?

1. Modélisation : Soit $x$ la longueur du côté des carrés découpés. Les dimensions de la base de la boîte seront $(10-2x)$ par $(10-2x)$. La hauteur sera $x$. Le volume $V(x) = x(10-2x)^2$.
2. Domaine de définition : $x > 0$ et $10-2x > 0 \Rightarrow 10 > 2x \Rightarrow x < 5$. Donc $x \in ]0; 5[$.
3. Dérivée : $V(x) = x(100 - 40x + 4x^2) = 4x^3 - 40x^2 + 100x$. $V'(x) = 12x^2 - 80x + 100$.
4. Extrema : Résolvons $V'(x) = 0$. $12x^2 - 80x + 100 = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 20x + 25 = 0$. Calcul du discriminant $\Delta = (-20)^2 - 4(3)(25) = 400 - 300 = 100$. Les racines sont $x_1 = \frac{20 - \sqrt{100}}{2(3)} = \frac{20 - 10}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ et $x_2 = \frac{20 + 10}{6} = \frac{30}{6} = 5$. Seule $x_1 = 5/3$ est dans l'intervalle $]0; 5[$. Tableau de variations de $V(x)$ :

5. Interprétation : Le volume maximal est obtenu lorsque l'on découpe des carrés de $5/3$ cm de côté, soit environ 1,67 cm. Le volume maximal est alors d'environ 74,07 cm$^3$.

En Première, on aborde des cas simples de fonctions composées, notamment les puissances, racines et inverses d'une fonction. Si $u$ est une fonction dérivable.

Ces formules étendent les règles de dérivation des fonctions usuelles à des expressions plus complexes.

La dérivée n'est pas qu'un concept mathématique abstrait, elle a de nombreuses applications concrètes.

• En physique :

  • Si $d(t)$ est la position d'un objet en fonction du temps $t$, alors $d'(t)$ est la vitesse instantanée de l'objet à l'instant $t$.
  • Si $v(t)$ est la vitesse instantanée, alors $v'(t)$ est l'accélération instantanée. La dérivée représente une vitesse de changement instantanée.

• En économie :

  • Si $C(q)$ est le coût total de production de $q$ unités d'un bien, alors $C'(q)$ est le coût marginal, c'est-à-dire le coût supplémentaire engendré par la production d'une unité supplémentaire.
  • Si $R(q)$ est la recette totale pour $q$ unités vendues, alors $R'(q)$ est la recette marginale.
  • De manière générale, la dérivée peut représenter un taux de croissance instantané (démographique, financier, etc.).

Pour maîtriser la dérivation, il est essentiel de s'entraîner sur des exercices variés.

Types d'exercices à pratiquer :

1. Calcul de dérivées de fonctions complexes en utilisant toutes les règles (somme, produit, quotient, composées simples).
2. Détermination de l'équation de tangentes à une courbe en un point donné.
3. Étude complète de fonctions :
   • Définition du domaine.
   • Calcul de la dérivée.
   • Étude du signe de la dérivée.
   • Tableau de variations.
   • Calcul des extrema locaux.
   • Tracé de la courbe (optionnel, mais aide à la compréhension).
4. Problèmes d'optimisation : Maximisation d'aire, de volume, minimisation de coûts, etc.
5. Problèmes de géométrie : Trouver le point d'une courbe le plus proche d'un point donné, ou des tangentes particulières.

Conseils pour la résolution :

• Toujours bien définir la fonction et son domaine.
• Ne pas se précipiter dans le calcul de la dérivée : identifier clairement $u$ et $v$ pour les produits/quotients.
• Prendre son temps pour l'étude du signe de la dérivée (factorisation, tableau de signes, etc.).
• Ne pas oublier de calculer les valeurs de $f(x)$ aux points clés (extrema, bornes).
• Pour les problèmes, bien lire l'énoncé et définir précisément la grandeur à optimiser.

La dérivation est un pilier de l'analyse mathématique. Une bonne maîtrise de ses concepts et techniques vous ouvrira les portes de nombreuses applications et de la compréhension de phénomènes du monde réel.