Dérivation et étude de fonctions

Le taux de variation moyen d'une fonction $f$ entre deux points $a$ et $b$ est une mesure de la rapidité avec laquelle la fonction change en moyenne sur cet intervalle.

Mathématiquement, il est défini par : $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Interprétation graphique

Graphiquement, ce taux de variation représente la pente de la droite sécante qui passe par les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ sur la courbe de la fonction. Une sécante est une droite qui coupe la courbe en au moins deux points. Plus la pente est élevée, plus la fonction "monte" rapidement sur cet intervalle. Plus elle est faible (ou négative), plus la fonction "descend" rapidement.

Calcul sur des exemples simples

Exemple : Soit la fonction $f(x) = x^2$. Calculons le taux de variation entre $x=1$ et $x=3$. $a=1$, $f(a) = f(1) = 1^2 = 1$. $b=3$, $f(b) = f(3) = 3^2 = 9$.

Taux de variation = $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Cela signifie qu'en moyenne, entre $x=1$ et $x=3$, la fonction $f(x)=x^2$ augmente de 4 unités pour chaque unité d'augmentation de $x$.

Nous avons vu le taux de variation moyen sur un intervalle. Mais que se passe-t-il si nous voulons connaître la vitesse de changement de la fonction en un point précis ? C'est là qu'intervient le nombre dérivé.

Pour y arriver, nous allons faire "rapprocher" le point $b$ du point $a$. Posons $b = a+h$, où $h$ est un petit nombre (positif ou négatif). Le taux de variation devient : $\frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Limite du taux de variation

Le nombre dérivé de la fonction $f$ en un point $a$, noté $f'(a)$, est la limite de ce taux de variation lorsque $h$ tend vers 0. C'est-à-dire : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ Si cette limite existe et est finie, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$.

Définition du nombre dérivé

Le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. La tangente est la droite qui "touche" la courbe en un seul point et a la même direction que la courbe à cet endroit.

Équation de la tangente

L'équation d'une droite de pente $m$ passant par un point $(x_0, y_0)$ est $y - y_0 = m(x - x_0)$. En remplaçant $m$ par $f'(a)$, $x_0$ par $a$ et $y_0$ par $f(a)$, on obtient l'équation de la tangente $T_a$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ : $T_a: y = f'(a)(x - a) + f(a)$ Cette formule est fondamentale et à connaître par cœur !

Interprétation géométrique

Le nombre dérivé $f'(a)$ nous donne la direction et la "force" de la pente de la courbe au point $(a, f(a))$.

• Si $f'(a) > 0$, la tangente monte, la fonction est croissante en $a$.
• Si $f'(a) < 0$, la tangente descend, la fonction est décroissante en $a$.
• Si $f'(a) = 0$, la tangente est horizontale, on est potentiellement à un extremum local (maximum ou minimum).

Jusqu'à présent, nous avons calculé le nombre dérivé en un point spécifique $a$. Si une fonction est dérivable en chaque point $x$ d'un intervalle, alors nous pouvons définir une nouvelle fonction, appelée la fonction dérivée.

Définition de la fonction dérivée

La fonction dérivée de $f$, notée $f'$, associe à chaque $x$ de l'intervalle où $f$ est dérivable, le nombre dérivé $f'(x)$. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ La fonction dérivée $f'$ nous donne la pente de la tangente en tout point de la courbe de $f$.

Notations de la dérivée

Outre $f'(x)$, d'autres notations sont parfois utilisées, notamment en sciences physiques :

• $\frac{df}{dx}(x)$
• $\frac{d}{dx}f(x)$
• $y'$ si $y=f(x)$

Exemples de fonctions dérivées

Pour l'instant, nous allons utiliser la définition pour trouver quelques dérivées de base. Plus tard, nous apprendrons des formules pour aller plus vite.

Exemple 1 : Soit $f(x) = c$ (fonction constante). $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0$. La dérivée d'une fonction constante est 0. C'est logique : une droite horizontale n'a pas de pente.

Exemple 2 : Soit $f(x) = x$. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1$. La dérivée de $f(x)=x$ est 1. La pente de la droite $y=x$ est bien 1.

Exemple 3 : Soit $f(x) = x^2$. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$. La dérivée de $f(x)=x^2$ est $2x$.

Voici un tableau récapitulatif des dérivées des fonctions de référence à connaître. Dans ce tableau, $c$ représente une constante réelle.

Retenez bien ces formules, elles sont la base de tous les calculs de dérivées !

Lorsque des fonctions sont combinées par des opérations (somme, produit, quotient), leurs dérivées suivent des règles spécifiques. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ un réel.

Conseil pour le produit $uv$ : Pensez à "dériver le premier, laisser le second, plus laisser le premier, dériver le second". Conseil pour le quotient $\frac{u}{v}$ : La formule est similaire à celle du produit, mais avec un signe moins et le dénominateur au carré. Pensez à "dériver le haut, laisser le bas, moins laisser le haut, dériver le bas, le tout sur le bas au carré".

Maintenant, combinons les formules de référence et les règles d'opérations pour calculer des dérivées plus complexes.

Calcul de dérivées complexes

Exemple 1 : Dériver $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$. C'est une somme de termes, et chaque terme est un produit par un réel. $f'(x) = (3x^4)' - (2x^2)' + (5x)' - (7)'$ $f'(x) = 3(4x^{4-1}) - 2(2x^{2-1}) + 5(1) - 0$ $f'(x) = 12x^3 - 4x + 5$.

Exemple 2 : Dériver $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$. C'est un produit $uv$ avec $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = x^2-3$. $u'(x) = 2$ $v'(x) = 2x$ $f'(x) = u'v + uv'$ $f'(x) = 2(x^2-3) + (2x+1)(2x)$ $f'(x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x$ $f'(x) = 6x^2 + 2x - 6$.

Exemple 3 : Dériver $f(x) = \frac{x-1}{x+2}$. C'est un quotient $\frac{u}{v}$ avec $u(x) = x-1$ et $v(x) = x+2$. $u'(x) = 1$ $v'(x) = 1$ $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ $f'(x) = \frac{1(x+2) - (x-1)(1)}{(x+2)^2}$ $f'(x) = \frac{x+2 - x + 1}{(x+2)^2}$ $f'(x) = \frac{3}{(x+2)^2}$.

Simplification des expressions

Après avoir appliqué les formules, il est souvent nécessaire de simplifier l'expression de la dérivée. Cela facilite l'étude de son signe par la suite. Développez, factorisez, réduisez les fractions si possible.

Erreurs courantes à éviter

• Oublier le signe moins dans la dérivée de $\frac{1}{x}$ ou dans la formule du quotient.
• Mal appliquer le produit $uv$ ou le quotient $\frac{u}{v}$. Écrivez $u, u', v, v'$ séparément avant de les assembler.
• Confondre $(x^n)'$ et $(c)'$. La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$, celle d'une constante est 0.
• Ne pas simplifier l'expression de la dérivée. Cela rendra l'étude du signe plus difficile.
• Oublier les conditions de dérivabilité (par exemple, $x \neq 0$ pour $\frac{1}{x}$, $x > 0$ pour $\sqrt{x}$).

Le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d'une fonction est un théorème fondamental en analyse.

Théorème fondamental

Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Ce théorème est la clé pour dresser les tableaux de variations. Il permet de passer d'une information locale (la pente en un point) à une information globale (le comportement sur un intervalle).

Les extremums locaux sont les "pics" et les "creux" d'une fonction.

Définition d'un extremum local

• Un maximum local est un point où la fonction atteint sa valeur la plus élevée dans un petit intervalle autour de ce point.
• Un minimum local est un point où la fonction atteint sa valeur la plus basse dans un petit intervalle autour de ce point.

Condition nécessaire pour un extremum

Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et admet un extremum local en un point $a \in I$, alors nécessairement $f'(a) = 0$. Autrement dit, si la fonction change de sens de variation (passe de croissante à décroissante ou vice-versa), sa dérivée s'annule à cet endroit. La tangente est alors horizontale.

Attention : La réciproque n'est pas toujours vraie ! Si $f'(a)=0$, il n'y a pas forcément un extremum local. Par exemple, pour $f(x)=x^3$, $f'(x)=3x^2$, donc $f'(0)=0$. Mais $f(x)=x^3$ est toujours croissante, il n'y a pas d'extremum en 0. C'est un point d'inflexion. Pour qu'il y ait un extremum, il faut que le signe de $f'(x)$ change autour de $a$.

Tableau de variations

Un tableau de variations résume le comportement d'une fonction (croissance, décroissance) sur son domaine de définition, en utilisant le signe de sa dérivée.

La construction d'un tableau de variations est une méthode systématique.

Étude du signe de la dérivée

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
2. Déterminer le domaine de définition de $f$ et $f'$.
3. Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ pour trouver les points où la tangente est horizontale (candidats aux extremums).
4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur les intervalles définis par les valeurs trouvées et les bornes du domaine. Pour cela, on peut utiliser des tableaux de signes classiques pour les polynômes ou les quotients.

Détermination des valeurs aux bornes

Une fois le signe de $f'(x)$ établi, on peut déduire le sens de variation de $f$. Il faut ensuite calculer les valeurs de la fonction $f$ aux points où la dérivée s'annule, ainsi qu'aux bornes du domaine de définition (limites ou valeurs exactes si la fonction est définie aux bornes).

Représentation des variations

Le tableau de variations se présente généralement comme suit :

• Les flèches indiquent le sens de variation (montante pour croissante, descendante pour décroissante).
• Les valeurs $f(x_1)$ et $f(x_2)$ sont les extremums locaux (maximum ou minimum).
• Aux bornes du domaine (ici $-\infty$ et $+\infty$), on indique les limites de la fonction.

Exemple : Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

1. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.
2. $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
3. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x-1)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x=1$ ou $x=-1$.
4. Étude du signe de $f'(x)$ : $f'(x)$ est un polynôme du second degré, positif à l'extérieur des racines.

Calcul des valeurs aux extremums : $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$. (Maximum local) $f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. (Minimum local)

On aurait aussi les limites aux bornes : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Une étude complète d'une fonction suit généralement les étapes suivantes :

1. Domaine de définition ($D_f$) : Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie.
   • Exclure les valeurs qui annulent un dénominateur.
   • Exclure les valeurs qui rendent négatif l'intérieur d'une racine carrée.
   • Exclure les valeurs qui ne sont pas dans le domaine d'une fonction trigonométrique, etc.
2. Calcul de la dérivée ($f'(x)$) : Appliquer les règles de dérivation pour trouver l'expression de $f'(x)$.
3. Étude du signe de la dérivée : Résoudre $f'(x) = 0$ et analyser le signe de $f'(x)$ sur les intervalles.
4. Tableau de variations : Construire le tableau de variations en déduisant le sens de variation de $f$ à partir du signe de $f'(x)$ et en calculant les valeurs aux points remarquables (extremums, bornes).
5. Limites aux bornes (si nécessaire) : Calculer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers les bornes du domaine de définition (notamment $\pm \infty$ ou les valeurs exclues).
6. Tracé de la courbe représentative : Utiliser toutes les informations précédentes (points remarquables, sens de variation, asymptotes éventuelles) pour esquisser la courbe de la fonction. On peut calculer quelques points supplémentaires pour plus de précision.

Les problèmes d'optimisation consistent à trouver la valeur maximale ou minimale d'une quantité (aire, volume, coût, profit, distance...) en fonction d'une ou plusieurs variables. La dérivation est l'outil parfait pour cela.

Modélisation d'une situation

1. Identifier la quantité à optimiser (maximiser ou minimiser).
2. Exprimer cette quantité comme une fonction d'une seule variable. Cela nécessite souvent d'utiliser des relations géométriques ou physiques pour éliminer d'autres variables.
3. Déterminer le domaine de définition pertinent pour cette fonction dans le contexte du problème.

Recherche de maximum/minimum

Une fois la fonction $f(x)$ à optimiser établie sur un intervalle $I$:

1. Calculer $f'(x)$.
2. Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les points critiques.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer le sens de variation de $f$ et identifier si les points critiques correspondent à un maximum ou un minimum.
4. Vérifier les bornes de l'intervalle $I$. Si l'intervalle est fermé et borné $[a,b]$, le maximum/minimum peut se trouver aux bornes $a$ ou $b$, ou à un point critique à l'intérieur de l'intervalle.

Interprétation du résultat

Une fois le maximum ou le minimum trouvé, il est crucial de répondre à la question posée dans le contexte du problème avec les unités appropriées.

Exemple : Un agriculteur veut clôturer un champ rectangulaire avec 200 mètres de clôture. Quelle est la surface maximale qu'il peut clôturer ?

1. Quantité à optimiser : l'aire $A$.
2. Variables : longueur $L$, largeur $l$. Périmètre $2L+2l = 200 \Rightarrow L+l = 100 \Rightarrow l = 100-L$. Aire $A(L) = L \times l = L(100-L) = 100L - L^2$.
3. Domaine : $L$ doit être positif et $l$ aussi, donc $0 < L < 100$.
4. Dérivation : $A'(L) = 100 - 2L$.
5. $A'(L) = 0 \Leftrightarrow 100 - 2L = 0 \Leftrightarrow 2L = 100 \Leftrightarrow L = 50$.
6. Signe de $A'(L)$ : $A'(L) > 0$ pour $L < 50$ (croissante), $A'(L) < 0$ pour $L > 50$ (décroissante). Il y a donc un maximum en $L=50$.
7. Interprétation : Si $L=50$ m, alors $l = 100-50 = 50$ m. Le champ est un carré. L'aire maximale est $A(50) = 50 \times 50 = 2500$ m$^2$.

La dérivée permet également d'étudier comment la courbe d'une fonction se situe par rapport à sa tangente en un point.

Comparaison de la fonction et de la tangente

Pour étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$ par rapport à sa tangente $T_a$ au point d'abscisse $a$, on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - (f'(a)(x - a) + f(a))$.

• Si $d(x) > 0$, la courbe est au-dessus de la tangente.
• Si $d(x) < 0$, la courbe est en dessous de la tangente.
• Si $d(x) = 0$, la courbe coupe la tangente (ce qui est toujours le cas au point de tangence $x=a$).

Utilisation du signe de la dérivée seconde (introduction)

Pour des fonctions plus "lisses", il est possible d'utiliser la dérivée seconde, notée $f''(x)$, qui est la dérivée de la dérivée $f'(x)$.

• Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle, la courbe est convexe (elle est "creuse", au-dessus de ses tangentes).
• Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle, la courbe est concave (elle est "bombée", en dessous de ses tangentes).

Points d'inflexion (introduction)

Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité (elle passe de concave à convexe ou inversement). C'est souvent un point où la dérivée seconde s'annule et change de signe. Au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe. C'est le cas de $f(x)=x^3$ en $x=0$. $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$. $f''(0)=0$ et $f''(x)$ change de signe en 0.

L'étude de la dérivée seconde n'est pas toujours au programme de Première, mais il est utile d'en avoir une première intuition pour comprendre la courbure des fonctions.