Determiner algebriquement des images et des antecedants

En mathématiques, une fonction est une relation spéciale entre deux ensembles. Imaginez une machine : vous lui donnez une entrée, et elle vous donne une sortie unique.

• Définition d'une fonction : Une fonction $f$ associe à chaque élément d'un ensemble de départ (souvent noté $D_f$) un et un seul élément d'un ensemble d'arrivée.
• Ensemble de départ et d'arrivée :
  • L'ensemble de départ est l'ensemble de toutes les valeurs que l'on peut donner à la fonction en entrée.
  • L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des valeurs possibles que la fonction peut produire en sortie.
• Relation univoque : C'est le point clé ! Pour chaque valeur d'entrée, il n'y a qu'une seule valeur de sortie possible. Par exemple, si vous donnez 3 à la fonction, elle ne peut pas vous donner 5 ET 7 en même temps. Elle doit vous donner une seule valeur, par exemple 5.

Pour désigner une fonction et ses opérations, on utilise une notation spécifique.

• Signification de $f(x)$ : On lit "$f$ de $x$". Cela représente la valeur de la fonction $f$ lorsque l'on prend $x$ comme entrée. C'est la "sortie" de la fonction pour l'entrée $x$.
  • Par exemple, si $f(x) = 2x + 1$, alors $f(3)$ signifie que l'on remplace $x$ par 3 dans l'expression : $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$.
• Variable indépendante ($x$) : C'est la valeur que l'on choisit d'introduire dans la fonction. Elle est "indépendante" car sa valeur peut être choisie librement (dans les limites du domaine de définition).
• Variable dépendante ($f(x)$) : La valeur de $f(x)$ dépend de la valeur de $x$. On dit donc que $f(x)$ est la variable dépendante. Souvent, on note $y = f(x)$.

Comprendre le vocabulaire est essentiel pour bien travailler avec les fonctions.

• Image : L'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$ est le résultat $f(x)$ que l'on obtient lorsque l'on applique la fonction à $x$.
  • Exemple : Si $f(x) = x^2$, l'image de 3 par $f$ est $f(3) = 3^2 = 9$.
• Antécédent : Un antécédent d'un nombre $y$ par une fonction $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = y$. Une image peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédent.
  • Exemple : Si $f(x) = x^2$, les antécédents de 9 sont 3 et -3, car $f(3)=9$ et $f(-3)=9$. Les antécédents de -4 n'existent pas dans l'ensemble des nombres réels, car un carré ne peut pas être négatif.
• Domaine de définition ($D_f$) : C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f(x)$ est définie et peut être calculée. En d'autres termes, ce sont toutes les entrées "valides" pour la machine fonction.
• Ensemble image : C'est l'ensemble de toutes les valeurs que la fonction peut réellement produire en sortie. C'est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée.

Pour trouver l'image d'une valeur $a$ par une fonction $f$:

1. Remplacer $x$ par la valeur donnée : Dans l'expression algébrique de la fonction $f(x)$, substituez chaque occurrence de $x$ par la valeur numérique $a$.
2. Effectuer les opérations : Calculez le résultat en respectant l'ordre des opérations (parenthèses, exposants, multiplications/divisions, additions/soustractions).
3. Simplifier l'expression : Donnez le résultat sous sa forme la plus simple.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$. Calculons l'image de 4.

1. On remplace $x$ par 4 : $f(4) = 3(4)^2 - 5(4) + 2$.
2. On effectue les opérations : $f(4) = 3(16) - 20 + 2 = 48 - 20 + 2$.
3. On simplifie : $f(4) = 28 + 2 = 30$. L'image de 4 par la fonction $f$ est 30.

La méthode reste la même, mais les calculs peuvent varier selon le type de fonction.

• Fonctions affines : De la forme $f(x) = ax + b$.
  • Exemple : $g(x) = -2x + 7$. Calculer $g(-3)$.
  • $g(-3) = -2(-3) + 7 = 6 + 7 = 13$.
• Fonctions polynomiales : Somme de termes $ax^n$. (Fonctions affines et quadratiques sont des cas particuliers)
  • Exemple : $h(x) = x^3 - 4x + 1$. Calculer $h(0)$.
  • $h(0) = (0)^3 - 4(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
• Fonctions rationnelles : De la forme $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ où $P(x)$ et $Q(x)$ sont des polynômes.
  • Exemple : $k(x) = \frac{x+1}{x-2}$. Calculer $k(5)$.
  • $k(5) = \frac{5+1}{5-2} = \frac{6}{3} = 2$.
• Fonctions avec racines carrées : De la forme $f(x) = \sqrt{P(x)}$.
  • Exemple : $m(x) = \sqrt{2x+7}$. Calculer $m(1)$.
  • $m(1) = \sqrt{2(1)+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$.

Soyez attentifs à ces pièges fréquents :

• Priorité des opérations (PEMDAS/BODMAS) :
  • Parenthèses / Brackets
  • Exposants / Orders
  • Multiplication et Division (de gauche à droite)
  • Addition et Soustraction (de gauche à droite)
  • Exemple : Dans $3x^2$, il faut d'abord calculer $x^2$ puis multiplier par 3. Pas $(3x)^2$.
• Calculs avec des nombres négatifs :
  • Un carré d'un nombre négatif est positif : $(-3)^2 = 9$.
  • Attention aux signes : $-2(-3) = +6$.
• Vérification par substitution : Si possible, surtout pour des calculs simples, refaites le calcul une seconde fois ou utilisez une calculatrice pour confirmer votre résultat.

La méthode générale pour trouver les antécédents d'une valeur $y$ par une fonction $f$ est la suivante :

1. Poser $f(x) = y$ (valeur de l'image) : Écrivez l'équation en remplaçant $f(x)$ par son expression algébrique et $y$ par la valeur numérique donnée.
2. Résoudre l'équation pour $x$ : C'est la partie la plus importante. La nature des antécédents (uniques, multiples, inexistants) dépendra du type d'équation à résoudre.

Exemple : Soit $f(x) = 2x - 5$. Cherchons l'antécédent de 11.

1. Posons $f(x) = 11$, donc $2x - 5 = 11$.
2. Résolvons l'équation pour $x$ : $2x = 11 + 5$ $2x = 16$ $x = \frac{16}{2}$ $x = 8$. L'antécédent de 11 par la fonction $f$ est 8.

Ces équations sont typiques des fonctions affines. Elles ont généralement une unique solution.

• Isolation de la variable $x$ : L'objectif est de regrouper tous les termes contenant $x$ d'un côté de l'équation et les constantes de l'autre.
• Opérations inverses : Utilisez les opérations inverses pour "défaire" les opérations appliquées à $x$.
  • Addition $\leftrightarrow$ Soustraction
  • Multiplication $\leftrightarrow$ Division
• Cas des fonctions affines : Pour $f(x) = ax + b$, si vous cherchez l'antécédent de $y$, vous résolvez $ax + b = y$.
  • $ax = y - b$
  • $x = \frac{y-b}{a}$ (si $a \neq 0$).
  • Si $a=0$, la fonction est $f(x)=b$ (constante). Si $y=b$, alors tous les $x$ sont des antécédents ; si $y \neq b$, il n'y a pas d'antécédent.

Ces équations sont typiques des fonctions polynomiales de degré 2 ($f(x) = ax^2 + bx + c$). On peut avoir zéro, un ou deux antécédents.

1. Forme $ax^2 + bx + c = 0$ : Pour résoudre $f(x) = y$, il faut d'abord ramener l'équation sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$.
   • Exemple : Cherchons les antécédents de 5 par $f(x) = x^2 - 4x + 8$.
   • $x^2 - 4x + 8 = 5$
   • $x^2 - 4x + 3 = 0$. Ici, $a=1$, $b=-4$, $c=3$.
2. Calcul du discriminant ($\Delta$) : Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$. Sa valeur nous indique le nombre de solutions.
   • Dans notre exemple : $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$.
3. Formules des racines ($x_1, x_2$) :
   • Si $\Delta > 0$ : Il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
     • Dans notre exemple ($\Delta=4$) : $x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
     • $x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
     • Les antécédents de 5 sont 1 et 3.
   • Si $\Delta = 0$ : Il y a une seule solution réelle (double) : $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
   • Si $\Delta < 0$ : Il n'y a pas de solution réelle. L'image n'a pas d'antécédent réel.

• Absence d'antécédent : Une valeur $y$ peut ne pas avoir d'antécédent. Cela se produit si l'équation $f(x)=y$ n'a pas de solution (par exemple, $\Delta < 0$ pour une équation du second degré, ou si on cherche l'antécédent de -1 par $f(x) = x^2$).
• Antécédent unique : C'est le cas pour les fonctions affines (non constantes) ou une fonction quadratique si $y$ est la valeur minimale/maximale (sommet de la parabole). Ces fonctions sont dites injectives si chaque image a au plus un antécédent.
• Plusieurs antécédents : C'est courant pour des fonctions comme $f(x) = x^2$ (par exemple, 9 a pour antécédents -3 et 3). Ces fonctions sont dites non injectives.

• Valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie : Le domaine de définition ($D_f$) est l'ensemble de toutes les valeurs réelles $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible et donne un résultat réel.
• Contraintes sur les opérations : Certaines opérations mathématiques imposent des restrictions :
  • La division par zéro est impossible.
  • La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel.
  • Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'est pas défini (hors programme Première générale).
• Ensemble de définition ($D_f$) : Il est souvent exprimé sous forme d'intervalle(s) ou d'union d'intervalles.

• Dénominateur non nul : La règle fondamentale est que l'on ne peut jamais diviser par zéro.
• Exclusion des valeurs annulant le dénominateur : Pour une fonction rationnelle $f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$, le domaine de définition est l'ensemble des $x$ tels que $D(x) \neq 0$.
  • Exemple : Soit $f(x) = \frac{3x+1}{x-4}$.
    • Le dénominateur est $x-4$. Il ne doit pas être nul.
    • $x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$.
    • Le domaine de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{4\}$ ou $D_f = ]-\infty; 4[ \cup ]4; +\infty[$.
• Fonctions rationnelles : C'est le principal type de fonction où cette contrainte s'applique.

• Expression sous la racine positive ou nulle : La racine carrée d'un nombre réel n'est définie que si ce nombre est positif ou nul.
• Résolution d'inéquations : Pour $f(x) = \sqrt{E(x)}$, le domaine de définition est l'ensemble des $x$ tels que $E(x) \ge 0$. Cela implique souvent de résoudre une inéquation.
  • Exemple : Soit $g(x) = \sqrt{2x-6}$.
    • L'expression sous la racine est $2x-6$. Elle doit être positive ou nulle.
    • $2x-6 \ge 0$
    • $2x \ge 6$
    • $x \ge 3$.
    • Le domaine de définition est $D_g = [3; +\infty[$.
• Fonctions avec racines : Ces fonctions sont un autre cas où le domaine de définition n'est pas toujours $\mathbb{R}$.

• Traduction d'un énoncé en fonction : La première étape consiste à identifier les quantités qui varient et la relation entre elles. Souvent, une quantité dépend d'une autre.
  • Exemple : Le coût de production d'objets peut dépendre du nombre d'objets produits. Si chaque objet coûte 5€ à produire et il y a un coût fixe de 100€, la fonction de coût est $C(x) = 5x + 100$, où $x$ est le nombre d'objets.
• Identification des variables : Définir clairement ce que représente $x$ (variable indépendante) et ce que représente $f(x)$ (variable dépendante).
• Définition du domaine pertinent : Dans un contexte réel, le domaine de définition mathématique peut être restreint. Par exemple, un nombre d'objets ne peut pas être négatif, ni fractionnaire s'il s'agit d'objets entiers. On aura donc $x \in \mathbb{N}$ ou $x \in [0; +\infty[$.

Une fois les calculs faits, il faut donner du sens aux résultats dans le contexte du problème.

• Signification de $f(x)$ dans le contexte : Lorsque vous calculez une image, $f(a) = b$, cela signifie que lorsque la variable d'entrée ($x$) prend la valeur $a$, la variable de sortie ($f(x)$) prend la valeur $b$.
  • Exemple : Si $C(x) = 5x + 100$, et $C(20) = 200$. Cela signifie que pour produire 20 objets, le coût total est de 200€.
• Signification de $x$ dans le contexte : Lorsque vous calculez un antécédent, en résolvant $f(x) = b$ et en trouvant $x=a$, cela signifie que pour obtenir la valeur de sortie $b$, la variable d'entrée ($x$) doit prendre la valeur $a$.
  • Exemple : Si $C(x) = 5x + 100$, et on cherche $x$ tel que $C(x) = 300$. On trouve $x=40$. Cela signifie que pour un coût total de 300€, on peut produire 40 objets.
• Réponse à la question posée : Toujours conclure en formulant une phrase qui répond clairement à la question de l'énoncé, en utilisant les unités appropriées.

Ces exercices combinent souvent plusieurs notions.

• Calcul d'images et d'antécédents combinés : Un problème peut demander de calculer une image, puis de trouver un antécédent d'une autre valeur.
• Détermination du domaine de définition : Il est souvent implicite qu'il faut considérer le domaine de définition pertinent avant de faire des calculs.
• Résolution de problèmes complexes : Les problèmes peuvent impliquer des fonctions plus complexes (polynômes de degré supérieur, fonctions rationnelles avec plusieurs contraintes) ou nécessiter plusieurs étapes de raisonnement.
  • Exemple : Une entreprise souhaite maximiser son bénéfice. La fonction de bénéfice $B(x)$ dépend du nombre $x$ d'articles vendus. On pourrait vous demander :
    1. Quel est le bénéfice si 100 articles sont vendus ? (Calcul d'image)
    2. Combien d'articles faut-il vendre pour atteindre un bénéfice de 5000€ ? (Calcul d'antécédent)
    3. Pour quelles quantités d'articles l'entreprise est-elle rentable (bénéfice positif) ? (Résolution d'inéquation, souvent liée au domaine de définition ou à la recherche d'antécédents de 0).