Determiner graphiquement des images et des antecedents

En mathématiques, une fonction est un outil qui décrit comment une quantité dépend d'une autre. Imagine une machine : tu lui donnes un nombre en entrée, et elle te renvoie un unique nombre en sortie. C'est ça, une fonction !

• Définition d'une fonction : Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ (appelé domaine de définition) un unique nombre $y$ dans un ensemble d'arrivée.
• Variable indépendante (x) et dépendante (y) :
  • $x$ est la variable indépendante (ou antécédent). C'est le nombre que tu "donnes" à la fonction.
  • $y$ est la variable dépendante (ou image). C'est le nombre que la fonction te "renvoie". Sa valeur dépend de $x$.
• Notation f(x) : On écrit $y = f(x)$ pour dire que $y$ est l'image de $x$ par la fonction $f$. Par exemple, si $f(x) = x^2$, alors pour $x=3$, on a $f(3) = 3^2 = 9$. Ici, 9 est l'image de 3 par la fonction $f$.

Une fonction garantit toujours une unique sortie pour chaque entrée.

Pour visualiser les fonctions, on utilise un plan cartésien, aussi appelé repère orthonormé (ou orthogonal). C'est un système de coordonnées qui permet de situer des points dans un plan.

• Axes des abscisses et des ordonnées :
  • L'axe des abscisses est l'axe horizontal. Il est généralement noté $(Ox)$ ou simplement $x$. Il représente les valeurs de la variable indépendante $x$.
  • L'axe des ordonnées est l'axe vertical. Il est généralement noté $(Oy)$ ou simplement $y$. Il représente les valeurs de la variable dépendante $y$ (les images $f(x)$).
• Origine du repère : C'est le point où les deux axes se croisent. Ses coordonnées sont $(0;0)$.
• Coordonnées d'un point : Tout point $M$ dans le plan est repéré par un couple de nombres $(x_M; y_M)$, où $x_M$ est son abscisse (sa position sur l'axe horizontal) et $y_M$ est son ordonnée (sa position sur l'axe vertical).

La représentation graphique d'une fonction est une façon de "dessiner" la relation entre $x$ et $f(x)$.

• Courbe représentative : C'est l'ensemble de tous les points $(x; f(x))$ possibles. Pour chaque valeur de $x$ dans le domaine de définition, on calcule son image $f(x)$, et on place le point de coordonnées $(x; f(x))$ dans le repère.
• Ensemble des points (x, f(x)) : Si on relie tous ces points, on obtient la courbe représentative de la fonction $f$, souvent notée $\mathcal{C}_f$.
• Lien entre l'équation et le graphique : L'équation $y = f(x)$ décrit algébriquement la fonction, tandis que la courbe $\mathcal{C}_f$ la décrit visuellement. Un point $(x; y)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $y = f(x)$.

La courbe d'une fonction ne doit jamais avoir plus d'un point pour une même abscisse $x$. Si une droite verticale coupe la courbe en plus d'un point, ce n'est pas la courbe d'une fonction.

Lorsque l'on cherche l'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$, on cherche la valeur $y$ telle que $y = f(x)$. C'est le résultat que la fonction associe à ce $x$.

• Image de x par f : C'est la valeur de $y$ (sur l'axe des ordonnées) qui correspond à un $x$ donné (sur l'axe des abscisses).
• Valeur de f(x) : On cherche $f(x)$ pour un $x$ spécifique.
• Correspondance unique : Par définition, chaque $x$ a une et une seule image $f(x)$.

Pour déterminer graphiquement l'image d'un nombre $x_0$ par une fonction $f$ dont on a la courbe représentative $\mathcal{C}_f$:

1. Localiser $x_0$ sur l'axe des abscisses ($Ox$). C'est ton point de départ.
2. Tracer une droite verticale (parallèle à l'axe $(Oy)$) passant par $x_0$.
3. Identifier le point d'intersection entre cette droite verticale et la courbe $\mathcal{C}_f$. Il ne doit y avoir qu'un seul point d'intersection.
4. À partir de ce point d'intersection, tracer une droite horizontale (parallèle à l'axe $(Ox)$) jusqu'à l'axe des ordonnées ($Oy$).
5. Lire la valeur sur l'axe des ordonnées. Cette valeur est $f(x_0)$, l'image de $x_0$.

Exemple : Pour trouver $f(2)$ sur un graphique :

• Je me place sur l'axe des abscisses à $x=2$.
• Je monte (ou je descends) verticalement jusqu'à la courbe.
• De là, je me déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées.
• Je lis la valeur. Si je lis 4, alors $f(2)=4$.

• Images positives, négatives, nulles :
  • Si le point d'intersection avec la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, l'image est positive ($f(x) > 0$).
  • S'il est en dessous, l'image est négative ($f(x) < 0$).
  • S'il est sur l'axe des abscisses, l'image est nulle ($f(x) = 0$). Ces points sont importants, ce sont les racines de la fonction.
• Fonctions constantes : Si $f(x) = c$ (une constante), la courbe est une droite horizontale. L'image de n'importe quel $x$ est toujours $c$.
• Points d'intersection avec les axes :
  • L'image de $x=0$, soit $f(0)$, est l'endroit où la courbe coupe l'axe des ordonnées ($Oy$). C'est l'ordonnée à l'origine.

Lorsque l'on cherche les antécédents d'un nombre $y_0$ par une fonction $f$, on cherche toutes les valeurs de $x$ telles que $f(x) = y_0$. On "remonte" le chemin de la fonction.

• Antécédent de y par f : C'est le(s) nombre(s) $x$ (sur l'axe des abscisses) qui, une fois passés par la fonction $f$, donnent $y$ comme résultat.
• Résoudre f(x) = y : Graphiquement, cela signifie trouver les $x$ dont l'image est $y$.
• Possibilité de plusieurs antécédents : Contrairement à l'image qui est unique, un nombre $y_0$ peut avoir zéro, un, ou plusieurs antécédents. Cela dépend de la forme de la courbe.

Pour déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) d'un nombre $y_0$ par une fonction $f$ dont on a la courbe représentative $\mathcal{C}_f$:

1. Localiser $y_0$ sur l'axe des ordonnées ($Oy$). C'est ton point de départ.
2. Tracer une droite horizontale (parallèle à l'axe $(Ox)$) passant par $y_0$.
3. Identifier le(s) point(s) d'intersection entre cette droite horizontale et la courbe $\mathcal{C}_f$. Il peut y en avoir plusieurs, un seul ou aucun.
4. À partir de chaque point d'intersection, tracer une droite verticale (parallèle à l'axe $(Oy)$) jusqu'à l'axe des abscisses ($Ox$).
5. Lire la(les) valeur(s) sur l'axe des abscisses. Ces valeurs sont les antécédents de $y_0$.

Exemple : Pour trouver les antécédents de 3 sur un graphique :

• Je me place sur l'axe des ordonnées à $y=3$.
• Je trace une droite horizontale.
• Je repère tous les points où cette droite coupe la courbe.
• Pour chaque point d'intersection, je descends (ou je monte) verticalement jusqu'à l'axe des abscisses.
• Je lis les valeurs. Si je lis -1 et 2, alors -1 et 2 sont les antécédents de 3 par $f$.

• Un, plusieurs ou aucun antécédent :
  • Si la droite horizontale coupe la courbe en un seul point, $y_0$ a un unique antécédent.
  • Si elle la coupe en plusieurs points, $y_0$ a plusieurs antécédents.
  • Si elle ne coupe pas la courbe, $y_0$ n'a aucun antécédent. Cela signifie que $y_0$ n'est pas dans l'ensemble image de la fonction.
• Antécédents positifs, négatifs, nuls :
  • Si un antécédent est à droite de l'origine sur l'axe des abscisses, il est positif.
  • S'il est à gauche, il est négatif.
  • Si c'est $x=0$, l'antécédent est nul.
• Fonctions non injectives : Une fonction est dite injective si chaque $y$ a au plus un antécédent. Graphiquement, cela signifie qu'aucune droite horizontale ne coupe la courbe en plus d'un point. Si ce n'est pas le cas (comme pour $f(x)=x^2$ où $y=4$ a deux antécédents, -2 et 2), la fonction est non injective.

Ces deux notions décrivent les "limites" de la fonction en termes d'entrées et de sorties possibles.

• Domaine de définition ($D_f$) : C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie (c'est-à-dire pour lesquelles la courbe existe).

  • Lecture sur les axes : Pour trouver le domaine de définition, il faut regarder l'étendue horizontale de la courbe. On projette la courbe sur l'axe des abscisses. Les valeurs de $x$ pour lesquelles il y a une partie de la courbe sont dans le domaine.
  • Il s'agit souvent d'un ou plusieurs intervalles sur l'axe des abscisses.

• Ensemble image (ou image de f) : C'est l'ensemble de toutes les valeurs $y$ que la fonction peut atteindre (les images possibles).

  • Lecture sur les axes : Pour trouver l'ensemble image, il faut regarder l'étendue verticale de la courbe. On projette la courbe sur l'axe des ordonnées. Les valeurs de $y$ pour lesquelles il y a une partie de la courbe sont dans l'ensemble image.
  • Il s'agit souvent d'un ou plusieurs intervalles sur l'axe des ordonnées.

Ces points sont cruciaux pour comprendre où la fonction "coupe" les axes.

• Zéros de la fonction (ou racines) : Ce sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$.
  • Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses ($Ox$).
  • Pour les trouver, on cherche les antécédents de 0.
• Ordonnée à l'origine : C'est l'image de $x=0$, soit $f(0)$.
  • Graphiquement, c'est l'ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées ($Oy$).
  • Pour la trouver, on cherche l'image de 0.

Le signe d'une fonction indique si ses images sont positives, négatives ou nulles.

• Intervalle où f(x) > 0 : La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses. Les valeurs de $x$ correspondantes forment l'intervalle où $f(x)$ est positive.
• Intervalle où f(x) < 0 : La courbe est en dessous de l'axe des abscisses. Les valeurs de $x$ correspondantes forment l'intervalle où $f(x)$ est négative.
• Position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses :
  1. Identifier les zéros de la fonction (où la courbe coupe l'axe $Ox$).
  2. Sur les intervalles délimités par ces zéros, observer si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'axe $Ox$.

Exemple : Si la courbe est au-dessus de $Ox$ entre $x=-2$ et $x=3$, alors $f(x) > 0$ sur l'intervalle $]-2; 3[$.

Résoudre l'équation $f(x) = k$ graphiquement, c'est trouver tous les $x$ dont l'image est $k$.

• Interprétation comme recherche d'antécédents : C'est exactement la même démarche que pour trouver les antécédents d'un nombre $k$.
• Tracé de la droite y = k : On commence par tracer la droite horizontale d'équation $y=k$.
• Lecture des abscisses des points d'intersection : Les solutions de l'équation $f(x) = k$ sont les abscisses de tous les points d'intersection entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite horizontale $y=k$.

Exemple : Pour résoudre $f(x) = 2$ :

1. Trace la droite horizontale $y=2$.
2. Repère les points où cette droite coupe la courbe $\mathcal{C}_f$.
3. Lis les abscisses de ces points. Ce sont les solutions de l'équation.

Résoudre une inéquation graphiquement, c'est trouver les intervalles de $x$ pour lesquels la condition est remplie.

• Interprétation de la position de la courbe :
  • $f(x) > k$ signifie que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la droite $y=k$.
  • $f(x) < k$ signifie que la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la droite $y=k$.
  • $f(x) \ge k$ ou $f(x) \le k$ incluent les points d'intersection.
• Délimitation des régions :
  1. Tracer la droite horizontale $y=k$.
  2. Identifier les points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et $y=k$. Leurs abscisses sont les "frontières" des solutions.
  3. Observer sur quels intervalles la courbe est au-dessus (pour $>$ ou $\ge$) ou en dessous (pour $<$ ou $\le$) de la droite $y=k$.
• Lecture des intervalles sur l'axe des abscisses : Les solutions sont les intervalles d'abscisses correspondants. Attention aux crochets des intervalles (ouverts pour $>$ et $<$, fermés pour $\ge$ et $\le$).

Exemple : Pour résoudre $f(x) < 2$ :

1. Trace la droite horizontale $y=2$.
2. Repère les portions de la courbe $\mathcal{C}_f$ qui sont strictement en dessous de cette droite.
3. Projette ces portions sur l'axe des abscisses pour obtenir les intervalles solutions.

On peut aussi comparer deux fonctions $f$ et $g$ à l'aide de leurs courbes respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

• Points d'intersection des courbes : Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ revient à trouver les $x$ pour lesquels les deux fonctions ont la même image.

  • Graphiquement, les solutions sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

• Position relative des courbes : Résoudre l'inéquation $f(x) > g(x)$ revient à trouver les $x$ pour lesquels la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$.

  • $f(x) > g(x)$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
  • $f(x) < g(x)$ : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$.
  • Les points d'intersection des deux courbes sont les "frontières" entre ces régions.

• Lecture des abscisses des points pertinents :

  1. Identifier les points d'intersection des deux courbes.
  2. Sur les intervalles délimités par ces points, observer quelle courbe est au-dessus de l'autre.
  3. Noter les intervalles d'abscisses correspondants.

Exemple : Pour résoudre $f(x) \ge g(x)$ :

1. Repère les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
2. Identifie les intervalles où $\mathcal{C}_f$ est au-dessus ou coïncide avec $\mathcal{C}_g$.
3. Écris la solution sous forme d'intervalle(s) sur l'axe des abscisses, en incluant les bornes si l'inégalité est large ($\ge$ ou $\le$).