Determiner graphiquement le signe ou les variations d'une fonction

En mathématiques, une fonction est comme une "machine" qui prend un nombre en entrée, effectue une série d'opérations sur ce nombre, et produit un nouveau nombre en sortie. C'est une relation particulière entre deux ensembles de nombres.

• Variable indépendante (ou antécédent) : C'est le nombre que vous mettez dans la fonction. On la note souvent $x$. C'est la valeur "d'entrée".
• Variable dépendante (ou image) : C'est le nombre que la fonction produit en sortie. Sa valeur dépend de celle de la variable indépendante. On la note souvent $y$ ou $f(x)$. C'est la valeur "de sortie".

La notation $f(x)$ se lit "f de x". Elle signifie "la valeur de la fonction $f$ pour l'entrée $x$". Par exemple, si $f(x) = x^2 + 1$, alors $f(2) = 2^2 + 1 = 5$. Ici, $2$ est l'antécédent et $5$ est l'image.

Pour qu'une relation soit une fonction, chaque valeur d'entrée (chaque $x$) doit correspondre à une et une seule valeur de sortie (une seule $f(x)$). On ne peut pas obtenir plusieurs résultats différents pour la même entrée.

Pour visualiser une fonction, on utilise un repère cartésien, aussi appelé plan cartésien ou plan de coordonnées. C'est un système de deux droites numériques perpendiculaires qui se coupent en un point appelé l'origine.

• Axe des abscisses : C'est l'axe horizontal. Il représente les valeurs de la variable indépendante $x$. On le note souvent $(Ox)$.
• Axe des ordonnées : C'est l'axe vertical. Il représente les valeurs de la variable dépendante $y$ ou $f(x)$. On le note souvent $(Oy)$.
• Origine du repère : C'est le point où les deux axes se croisent. Ses coordonnées sont $(0,0)$.
• Coordonnées d'un point : Tout point dans le plan peut être identifié par une paire de nombres $(x; y)$, où $x$ est l'abscisse (position horizontale) et $y$ est l'ordonnée (position verticale).

Un repère cartésien avec l'axe des abscisses (x) et l'axe des ordonnées (y).

La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points $(x; f(x))$ dans le repère cartésien. C'est ce que l'on appelle la courbe représentative de la fonction.

• Interprétation des points de la courbe : Chaque point sur la courbe $(x; y)$ signifie que l'image de $x$ par la fonction $f$ est $y$, c'est-à-dire $f(x) = y$.
  • Si le point $(3; 7)$ est sur la courbe, cela veut dire que $f(3) = 7$.
  • Si on veut trouver $f(x)$ pour une valeur spécifique de $x$, on cherche $x$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée $y$ correspondante sur l'axe des ordonnées.
• Tracé à partir de points : Pour tracer une courbe, on peut calculer les images de plusieurs valeurs de $x$, placer les points correspondants dans le repère, puis les relier de manière fluide. Plus on a de points, plus le tracé est précis.

Ces points permettent de tracer la parabole de $f(x) = x^2$.

Le signe d'une fonction $f(x)$ indique si la valeur de $f(x)$ est positive, négative ou nulle pour un $x$ donné.

• Fonction positive : $f(x) > 0$. Cela signifie que l'image $y$ est un nombre positif.
• Fonction négative : $f(x) < 0$. Cela signifie que l'image $y$ est un nombre négatif.
• Fonction nulle : $f(x) = 0$. Cela signifie que l'image $y$ est zéro.

Le lien avec l'axe des abscisses est fondamental :

• Si $f(x) > 0$, la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
• Si $f(x) < 0$, la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses.
• Si $f(x) = 0$, la courbe coupe ou touche l'axe des abscisses. Ces points sont appelés les zéros de la fonction ou les racines.

L'interprétation concrète du signe est cruciale : si $f(x)$ représente un bénéfice, un signe positif signifie un gain, un signe négatif une perte. Si $f(x)$ représente une température, un signe positif signifie au-dessus de $0^\circ C$, un signe négatif en dessous.

Pour lire le signe d'une fonction à partir de sa courbe représentative, on observe la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.

1. Parties de la courbe au-dessus de l'axe des $x$ : Pour les valeurs de $x$ où la courbe est située strictement au-dessus de l'axe des abscisses, la fonction est strictement positive ($f(x) > 0$).
2. Parties de la courbe en-dessous de l'axe des $x$ : Pour les valeurs de $x$ où la courbe est située strictement en-dessous de l'axe des abscisses, la fonction est strictement négative ($f(x) < 0$).
3. Points d'intersection avec l'axe des $x$ (zéros de la fonction) : Ce sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe coupe ou touche l'axe des abscisses. À ces points, la fonction est nulle ($f(x) = 0$). Ces points sont les "frontières" où le signe de la fonction peut changer.

Méthode pratique :

• Repérez les points où la courbe traverse l'axe des $x$. Ces $x$ sont les valeurs qui annulent la fonction.
• Observez les intervalles entre ces points. Dans chaque intervalle, la courbe est soit entièrement au-dessus, soit entièrement en-dessous de l'axe des $x$.

Un tableau de signes est un outil synthétique qui résume le signe d'une fonction sur différents intervalles.

Voici les étapes pour le construire :

1. Identifier les valeurs annulant la fonction : Ce sont les $x$ pour lesquels $f(x) = 0$. Placez ces valeurs dans la première ligne du tableau, ordonnées de la plus petite à la plus grande. N'oubliez pas les bornes de l'ensemble de définition si elles sont finies.

2. Définir les intervalles : Les valeurs qui annulent la fonction divisent l'axe des abscisses en plusieurs intervalles.

3. Déterminer le signe dans chaque intervalle : Pour chaque intervalle, regardez la courbe :

   • Si la courbe est au-dessus de l'axe des $x$, mettez un "$+$" dans le tableau.
   • Si la courbe est en-dessous de l'axe des $x$, mettez un "$-$".

4. Organisation du tableau de signes :

   $x$	$-\infty$	$x_1$	$x_2$	$+\infty$
   Signe de $f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$

   • La première ligne contient les valeurs de $x$ importantes (les zéros de la fonction, les bornes de l'ensemble de définition).
   • La deuxième ligne indique le signe de $f(x)$ dans chaque intervalle et les $0$ aux valeurs où la fonction s'annule.

Exemple : Si une fonction $f$ s'annule en $x=-2$ et $x=3$. Sur $]-\infty; -2[$, $f(x) < 0$. Sur $]-2; 3[$, $f(x) > 0$. Sur $]3; +\infty[$, $f(x) < 0$.

Le tableau de signes serait :

Les variations d'une fonction décrivent comment les valeurs de $f(x)$ changent lorsque $x$ augmente. Est-ce que $f(x)$ monte, descend ou reste stable ?

• Fonction croissante : Lorsque $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi. La courbe "monte" de gauche à droite.
  • Pour toutes valeurs $a < b$ dans un intervalle, $f(a) \le f(b)$.
• Fonction strictement croissante : Lorsque $x$ augmente, $f(x)$ augmente strictement. La courbe "monte" fortement.
  • Pour toutes valeurs $a < b$ dans un intervalle, $f(a) < f(b)$.
• Fonction décroissante : Lorsque $x$ augmente, $f(x)$ diminue. La courbe "descend" de gauche à droite.
  • Pour toutes valeurs $a < b$ dans un intervalle, $f(a) \ge f(b)$.
• Fonction strictement décroissante : Lorsque $x$ augmente, $f(x)$ diminue strictement. La courbe "descend" fortement.
  • Pour toutes valeurs $a < b$ dans un intervalle, $f(a) > f(b)$.
• Fonction constante : Lorsque $x$ augmente, $f(x)$ reste la même. La courbe est une ligne horizontale.
  • Pour toutes valeurs $a < b$ dans un intervalle, $f(a) = f(b)$.

Le sens de parcours de la courbe est essentiel. On lit toujours un graphique de gauche à droite, comme on lit un texte. Le lien avec la pente locale est intuitif : une pente positive indique une croissance, une pente négative une décroissance, et une pente nulle une constance.

Pour déterminer les variations d'une fonction graphiquement, on observe le sens de la courbe en la parcourant de gauche à droite :

1. Courbe qui monte (de gauche à droite) : Sur cet intervalle, la fonction est croissante. Les valeurs de $f(x)$ augmentent.
2. Courbe qui descend (de gauche à droite) : Sur cet intervalle, la fonction est décroissante. Les valeurs de $f(x)$ diminuent.
3. Courbe horizontale : Sur cet intervalle, la fonction est constante. Les valeurs de $f(x)$ ne changent pas.

Conseil : Imaginez une personne qui marche sur la courbe de gauche à droite. Si elle monte, la fonction est croissante. Si elle descend, la fonction est décroissante. Si elle marche sur du plat, la fonction est constante.

Les extrema locaux (ou relatifs) sont les points où la fonction change de sens de variation.

• Maximum local (sommet de 'colline') : C'est un point où la fonction passe de croissante à décroissante. La valeur de $f(x)$ à ce point est la plus grande dans un petit intervalle autour de ce point.
• Minimum local (fond de 'vallée') : C'est un point où la fonction passe de décroissante à croissante. La valeur de $f(x)$ à ce point est la plus petite dans un petit intervalle autour de ce point.

Ces points sont importants car ils représentent des "pics" et des "creux" dans le comportement de la fonction. Les abscisses de ces points sont souvent appelées valeurs critiques.

Un tableau de variations résume les intervalles où la fonction est croissante, décroissante ou constante, ainsi que les valeurs des extrema locaux.

Voici les étapes pour le construire :

1. Identifier les valeurs clés de $x$ : Ce sont les abscisses des points où la fonction change de sens de variation (les extrema locaux). Placez ces valeurs dans la première ligne du tableau, ordonnées. N'oubliez pas les bornes de l'ensemble de définition.
2. Indiquer le sens de variation : Pour chaque intervalle défini par ces valeurs clés, dessinez une flèche :
   • Flèche montante (↗) pour une fonction croissante.
   • Flèche descendante (↘) pour une fonction décroissante.
   • Flèche horizontale (→) pour une fonction constante (rarement rencontrée en Première).
3. Indiquer les valeurs des extrema locaux : Aux "pointes" des flèches, écrivez la valeur de $f(x)$ correspondante (l'ordonnée du maximum ou du minimum local).

Organisation du tableau de variations avec flèches :

Ce tableau indique que la fonction est décroissante jusqu'à $x_1$, atteint un minimum local $f(x_1)$, puis est croissante jusqu'à $x_2$, atteint un maximum local $f(x_2)$, et enfin est décroissante.

Exemple : Si une fonction $f$ a un minimum en $x=1$ ($f(1)=2$) et un maximum en $x=4$ ($f(4)=7$). Elle est décroissante sur $]-\infty; 1[$. Elle est croissante sur $]1; 4[$. Elle est décroissante sur $]4; +\infty[$.

Le tableau de variations serait :

Il est essentiel de ne pas confondre le signe d'une fonction avec ses variations.

• Signe de la fonction et position de la courbe : Le signe ($+$ ou $-$) indique si la courbe est au-dessus ou en-dessous de l'axe des abscisses. Il est lié aux valeurs de $y$.
  • Une fonction peut être croissante tout en étant négative (ex: de -5 à -2).
  • Une fonction peut être décroissante tout en étant positive (ex: de 10 à 3).
• Variations de la fonction et sens de la courbe : Les variations (croissante, décroissante, constante) décrivent si la courbe monte, descend ou est plate lorsqu'on la parcourt de gauche à droite. Il est lié à la "pente" de la courbe.

Les deux concepts se complètent pour donner une image complète du comportement de la fonction. Par exemple, une fonction peut être croissante et passer de valeurs négatives à des valeurs positives (elle coupe l'axe des $x$ en montant).

L'analyse graphique est un outil puissant pour résoudre des inéquations.

• $f(x) > 0$ : Cherchez les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe est strictement au-dessus de l'axe des abscisses.
• $f(x) < 0$ : Cherchez les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe est strictement en-dessous de l'axe des abscisses.
• $f(x) \ge 0$ : Cherchez les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe est au-dessus ou sur l'axe des abscisses.
• $f(x) \le 0$ : Cherchez les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe est en-dessous ou sur l'axe des abscisses.

Pour les inéquations avec une constante $k$ :

• $f(x) > k$ : Tracez la droite horizontale d'équation $y=k$. Cherchez les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe de $f$ est strictement au-dessus de cette droite.
• $f(x) \le k$ : Tracez la droite horizontale d'équation $y=k$. Cherchez les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe de $f$ est en-dessous ou sur cette droite.

La lecture des intervalles solutions sur le graphique est fondamentale. Les solutions sont exprimées sous forme d'intervalles de $x$.

Les fonctions sont utilisées pour modéliser des phénomènes dans de nombreux domaines :

• Physique : Trajectoire d'un projectile, évolution de la vitesse, température d'un corps.
• Économie : Coût de production, bénéfice d'une entreprise, évolution du prix d'une action.
• Biologie : Croissance d'une population, concentration d'un médicament dans le sang.

Analyse de graphiques réels :

• Un graphique de la température au cours d'une journée:
  • Le signe indique si la température est positive ou négative (au-dessus ou en-dessous de 0°C).
  • Les variations indiquent si la température monte (croissante) ou descend (décroissante). Les maxima/minima locaux sont les températures les plus chaudes/froides du jour.
• Un graphique de la population d'une espèce :
  • Le signe est toujours positif (une population ne peut pas être négative).
  • Les variations indiquent si la population augmente (croissante) ou diminue (décroissante). Les maxima/minima locaux peuvent indiquer des pics ou des creux de population.

La prise de décision basée sur l'analyse graphique est une compétence clé. Par exemple, un chef d'entreprise analysant un graphique de bénéfice pourrait décider d'augmenter ou de réduire sa production en fonction des points où le bénéfice est maximal ou minimal, ou des intervalles où il est positif. Comprendre les fonctions graphiquement permet de traduire des données visuelles en informations exploitables.