Effectuer des operations et des comparaisons entre des fractions simples

Une fraction est une manière de représenter une partie d'un tout. On peut la voir comme le résultat d'un partage équitable. Une fraction s'écrit sous la forme $\frac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, avec $b \neq 0$.

• Le nombre $a$ est appelé le numérateur. Il indique le nombre de parts que l'on prend.
• Le nombre $b$ est appelé le dénominateur. Il indique en combien de parts égales le tout a été divisé.
• Le trait entre le numérateur et le dénominateur est appelé la barre de fraction. Il signifie "divisé par".

Exemple : La fraction $\frac{3}{4}$ représente 3 parts sur un total de 4 parts égales. Si vous avez une pizza coupée en 4 parts égales et que vous en mangez 3, vous avez mangé $\frac{3}{4}$ de la pizza.

Le sens d'une fraction peut être multiple :

1. Partage : $\frac{3}{4}$ est 3 parts sur 4.
2. Quotient : $\frac{3}{4}$ est le résultat de la division 3 $\div$ 4.
3. Opérateur : $\frac{3}{4}$ de 12 signifie $\frac{3}{4} \times 12 = 9$.

Deux fractions sont dites égales si elles représentent la même proportion ou la même valeur.

La propriété fondamentale des fractions stipule que : On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par le même nombre non nul. Soient $a, b, k$ des entiers avec $b \neq 0$ et $k \neq 0$, alors $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ et $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$.

Exemple : $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$. Ces deux fractions représentent la même quantité.

La simplification de fractions consiste à trouver une fraction égale avec des nombres plus petits. Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun. Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1. Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).

Exemple : Simplifions la fraction $\frac{12}{18}$. Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Le PGCD de 12 et 18 est 6. $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$. La fraction $\frac{2}{3}$ est irréductible.

Les fractions peuvent être représentées de différentes manières pour mieux les comprendre.

1. Sur un axe numérique (ou droite graduée) : On choisit une unité de longueur. Pour placer $\frac{a}{b}$, on divise l'unité en $b$ parts égales, puis on prend $a$ de ces parts à partir de 0. Exemple : Pour placer $\frac{3}{4}$ sur une droite graduée, on divise l'unité (de 0 à 1) en 4 segments égaux, puis on se positionne au troisième segment à partir de 0.

   0 ---|---|---|---1---|---|---|---2
       1/4 2/4 3/4
   

2. Représentation graphique (aires, objets) : On peut illustrer une fraction par une portion d'une figure géométrique (cercle, rectangle) ou un ensemble d'objets. Exemple : Pour représenter $\frac{2}{3}$, on peut dessiner un rectangle, le diviser en 3 parties égales et en colorier 2.

3. Fractions et nombres décimaux : Une fraction est une division. Donc, on peut la convertir en nombre décimal en effectuant cette division. Exemple : $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$. Certaines fractions donnent des nombres décimaux exacts, d'autres des nombres décimaux périodiques (qui ne s'arrêtent jamais). $\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333...$

Lorsque des fractions ont le même dénominateur, la comparaison est simple : La fraction la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Règle : Si $b > 0$, alors $\frac{a}{b} < \frac{c}{b}$ si et seulement si $a < c$.

Exemple : Comparons $\frac{5}{7}$ et $\frac{3}{7}$. Les dénominateurs sont identiques (7). Puisque $5 > 3$, alors $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$.

Pour ordonner des fractions avec le même dénominateur (par exemple, en ordre croissant) : Exemple : Ordonner $\frac{2}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{5}$ en ordre croissant. Puisque $1 < 2 < 4$, alors $\frac{1}{5} < \frac{2}{5} < \frac{4}{5}$.

Lorsque des fractions ont le même numérateur, la comparaison est inversée par rapport aux dénominateurs : La fraction la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Règle : Si $a > 0$ et $b, c > 0$, alors $\frac{a}{b} < \frac{a}{c}$ si et seulement si $b > c$.

Intuition géométrique : Imaginez un gâteau partagé en $b$ parts égales et un autre gâteau identique partagé en $c$ parts égales. Si vous prenez le même nombre de parts ($a$) dans les deux gâteaux, les parts du gâteau divisé en moins de morceaux (plus petit dénominateur) seront plus grandes.

Exemple : Comparons $\frac{3}{8}$ et $\frac{3}{5}$. Les numérateurs sont identiques (3). Puisque $8 > 5$, alors les parts de $\frac{3}{8}$ sont plus petites que celles de $\frac{3}{5}$. Donc $\frac{3}{8} < \frac{3}{5}$.

C'est le cas le plus courant. Pour comparer des fractions avec des dénominateurs différents, il faut d'abord les ramener au même dénominateur. C'est ce qu'on appelle la réduction au même dénominateur. Pour cela, on cherche un dénominateur commun, souvent le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des dénominateurs.

Étapes :

1. Déterminer le PPCM des dénominateurs (ou un multiple commun simple).
2. Transformer chaque fraction en une fraction équivalente avec ce dénominateur commun (en multipliant numérateur et dénominateur par le même facteur).
3. Comparer les nouvelles fractions qui ont maintenant le même dénominateur.

Exemple : Comparons $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$.

1. Les dénominateurs sont 3 et 4. Le PPCM de 3 et 4 est 12 ($3 \times 4 = 12$).
2. Transformons les fractions : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$
3. Maintenant, comparons $\frac{8}{12}$ et $\frac{9}{12}$. Puisque $8 < 9$, alors $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$. Donc, $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

• Une fraction est nulle si son numérateur est 0 (et son dénominateur non nul) : $\frac{0}{b} = 0$.
• Une fraction est égale à 1 si son numérateur est égal à son dénominateur : $\frac{a}{a} = 1$ (pour $a \neq 0$).
• Une fraction est propre si son numérateur est plus petit que son dénominateur. Sa valeur est comprise entre 0 et 1 (exclusivement) : $0 < \frac{a}{b} < 1$ si $0 < a < b$. Exemple : $\frac{3}{5}$ est une fraction propre.
• Une fraction est impropre si son numérateur est plus grand ou égal à son dénominateur. Sa valeur est supérieure ou égale à 1 : $\frac{a}{b} \ge 1$ si $a \ge b$. Exemple : $\frac{7}{4}$ est une fraction impropre.

Pour comparer une fraction à un entier (différent de 0 ou 1) : On peut écrire l'entier sous forme de fraction avec le même dénominateur que la fraction à comparer. Exemple : Comparons $\frac{13}{5}$ et 2. On peut écrire 2 comme une fraction de dénominateur 5 : $2 = \frac{2 \times 5}{5} = \frac{10}{5}$. Puisque $13 > 10$, alors $\frac{13}{5} > \frac{10}{5}$, donc $\frac{13}{5} > 2$.

On peut aussi encadrer une fraction par des entiers en effectuant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Exemple : Encadrer $\frac{13}{5}$. $13 \div 5 = 2$ avec un reste de 3. Donc $\frac{13}{5} = 2 + \frac{3}{5}$. Ainsi, $2 < \frac{13}{5} < 3$.

Lorsque les fractions ont le même dénominateur, l'addition et la soustraction sont directes : Pour additionner ou soustraire des fractions ayant le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun. Règles : $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$ $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$

Exemple d'addition : $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} = \frac{5}{8}$. Exemple de soustraction : $\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{7-4}{9} = \frac{3}{9}$. N'oubliez pas de simplifier le résultat si possible : $\frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$.

Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, on doit d'abord les réduire au même dénominateur. Étapes :

1. Trouver un dénominateur commun (idéalement le PPCM des dénominateurs).
2. Transformer chaque fraction en une fraction équivalente avec ce dénominateur commun.
3. Effectuer l'addition ou la soustraction des numérateurs, en gardant le dénominateur commun.
4. Simplifier le résultat si possible.

Exemple d'addition : Calculons $\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$.

1. Dénominateurs : 2 et 3. PPCM(2, 3) = 6.
2. $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$ $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$
3. $\frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3+4}{6} = \frac{7}{6}$.
4. Le résultat $\frac{7}{6}$ est irréductible.

Exemple de soustraction : Calculons $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$.

1. Dénominateurs : 6 et 4. PPCM(6, 4) = 12.
2. $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$ $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
3. $\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10-3}{12} = \frac{7}{12}$.
4. Le résultat $\frac{7}{12}$ est irréductible.

Pour additionner ou soustraire une fraction et un entier, on transforme l'entier en une fraction ayant le même dénominateur que l'autre fraction. Étapes :

1. Écrire l'entier $N$ sous forme de fraction $\frac{N}{1}$.
2. Appliquer la méthode de réduction au même dénominateur.

Exemple d'addition : Calculons $3 + \frac{2}{5}$.

1. Écrire $3 = \frac{3}{1}$.
2. Dénominateurs : 1 et 5. Dénominateur commun 5. $\frac{3}{1} = \frac{3 \times 5}{1 \times 5} = \frac{15}{5}$
3. $\frac{15}{5} + \frac{2}{5} = \frac{15+2}{5} = \frac{17}{5}$.

Exemple de soustraction : Calculons $\frac{7}{4} - 1$.

1. Écrire $1 = \frac{1}{1}$.
2. Dénominateurs : 4 et 1. Dénominateur commun 4. $\frac{1}{1} = \frac{1 \times 4}{1 \times 4} = \frac{4}{4}$
3. $\frac{7}{4} - \frac{4}{4} = \frac{7-4}{4} = \frac{3}{4}$.

La multiplication de fractions est l'opération la plus directe : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Règle : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Exemple : Calculons $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$. $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$. Le résultat est déjà irréductible.

Pour multiplier une fraction par un entier, on peut voir l'entier comme une fraction de dénominateur 1. Règle : $N \times \frac{a}{b} = \frac{N}{1} \times \frac{a}{b} = \frac{N \times a}{1 \times b} = \frac{N \times a}{b}$. Autrement dit, on multiplie l'entier seulement par le numérateur de la fraction, et on garde le dénominateur.

Exemple : Calculons $3 \times \frac{2}{7}$. $3 \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{7} = \frac{6}{7}$.

Exemple : Calculons $\frac{3}{4} \times 8$. $\frac{3}{4} \times 8 = \frac{3 \times 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$. Ici, la simplification est évidente.

Pour éviter de manipuler de grands nombres et faciliter la simplification finale, il est souvent judicieux de simplifier les fractions avant d'effectuer la multiplication. On peut diviser n'importe quel numérateur et n'importe quel dénominateur par un facteur commun.

Exemple : Calculons $\frac{5}{12} \times \frac{6}{25}$. Multiplication directe : $\frac{5 \times 6}{12 \times 25} = \frac{30}{300}$. Puis simplification : $\frac{30}{300} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.

Simplification avant la multiplication : $\frac{5}{12} \times \frac{6}{25} = \frac{5}{6 \times 2} \times \frac{6}{5 \times 5}$ On peut simplifier par 5 (il y a un 5 au numérateur et un 5 au dénominateur) et par 6 (il y a un 6 au numérateur et un 6 au dénominateur) : $\frac{\cancel{5}}{\cancel{6} \times 2} \times \frac{\cancel{6}}{\cancel{5} \times 5} = \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10}$. Cette méthode est souvent plus rapide et moins sujette aux erreurs.

L'inverse d'une fraction $\frac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$) est la fraction $\frac{b}{a}$. Le produit d'une fraction par son inverse est toujours égal à 1 : $\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{a \times b}{b \times a} = 1$.

Exemple : L'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$. Exemple : L'inverse de 5 (qui est $\frac{5}{1}$) est $\frac{1}{5}$. Cas particuliers :

• La fraction $\frac{0}{b}$ n'a pas d'inverse, car on ne peut pas diviser par zéro.
• La fraction $\frac{1}{1}$ (ou 1) est son propre inverse.

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Pour diviser une fraction par une autre fraction, on multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde. Règle : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ (avec $c \neq 0$ et $d \neq 0$).

Exemple : Calculons $\frac{2}{3} \div \frac{5}{7}$. L'inverse de $\frac{5}{7}$ est $\frac{7}{5}$. $\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{2 \times 7}{3 \times 5} = \frac{14}{15}$.

Pour diviser une fraction par un entier, on transforme l'entier en fraction et on applique la règle de division. Exemple : Calculons $\frac{3}{4} \div 2$. L'entier 2 peut s'écrire $\frac{2}{1}$. Son inverse est $\frac{1}{2}$. $\frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \div \frac{2}{1} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3 \times 1}{4 \times 2} = \frac{3}{8}$.

Pour diviser un entier par une fraction : Exemple : Calculons $5 \div \frac{2}{3}$. L'entier 5 peut s'écrire $\frac{5}{1}$. L'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$. $5 \div \frac{2}{3} = \frac{5}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 3}{1 \times 2} = \frac{15}{2}$.

Lorsque plusieurs opérations sont présentes dans une expression, on applique les mêmes règles de priorité des opérations que pour les nombres entiers ou décimaux. C'est souvent résumé par l'acronyme PEMDAS/BODMAS :

1. Parenthèses (ou Brackets)
2. Exposants (ou Orders/Indices) - Pas abordé ici pour les fractions simples
3. Multiplication et Division (de gauche à droite)
4. Addition et Soustraction (de gauche à droite)

Les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.

Exemple : Calculons $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}$.

1. Priorité à la multiplication : $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{3 \times 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
2. Ensuite, l'addition : $\frac{1}{2} + \frac{1}{6}$. Dénominateur commun est 6. $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$. $\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Exemple avec parenthèses : Calculons $(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) \div \frac{5}{6}$.

1. Priorité aux parenthèses : $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$.
2. Ensuite, la division : $\frac{1}{4} \div \frac{5}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{1 \times 6}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

Les expressions peuvent inclure des barres de fraction qui agissent comme des parenthèses implicites. Exemple : $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}$. Cette expression signifie $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \div (\frac{3}{4} - \frac{1}{6})$.

1. Calculer le numérateur : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
2. Calculer le dénominateur : $\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$.
3. Effectuer la division : $\frac{5}{6} \div \frac{7}{12} = \frac{5}{6} \times \frac{12}{7} = \frac{5 \times \cancel{6} \times 2}{\cancel{6} \times 7} = \frac{10}{7}$. (On a simplifié 12 et 6 par 6).

Erreurs courantes à éviter :

• Oublier de réduire au même dénominateur pour l'addition/soustraction.
• Multiplier les dénominateurs lors de l'addition/soustraction.
• Oublier d'inverser la seconde fraction lors de la division.
• Ne pas simplifier les résultats finaux.

Les fractions sont omniprésentes dans la vie quotidienne et en sciences. Pour résoudre des problèmes, il faut :

1. Lire attentivement l'énoncé pour comprendre la situation.
2. Identifier les quantités exprimées en fractions.
3. Traduire les opérations décrites dans le problème en opérations sur les fractions (addition, soustraction, multiplication, division).
4. Effectuer les calculs en respectant les règles et les priorités.
5. Interpréter le résultat dans le contexte du problème et donner une réponse claire.

Exemple : Un jardinier a planté $\frac{2}{5}$ de son potager avec des tomates et $\frac{1}{3}$ avec des salades. Quelle fraction du potager est plantée ? Quelle fraction reste-t-il à planter ?

1. Part plantée : On additionne les fractions des tomates et des salades. $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} + \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$. Donc, $\frac{11}{15}$ du potager est planté.

2. Part restante : Le potager entier représente 1 (ou $\frac{15}{15}$). On soustrait la part plantée de l'entier. $1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$. Il reste $\frac{4}{15}$ du potager à planter.