Effectuer des operations sur les puissances

Quand on parle de puissance, on parle d'une multiplication répétée.

Soit $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul. La puissance $n$-ième de $a$, notée $a^n$, est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.

$a^n = a \times a \times a \times \dots \times a \quad \text{($n$ fois)}$

Dans cette écriture :

• $a$ est appelé la base.
• $n$ est appelé l'exposant.

Exemples :

• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ (La base est 2, l'exposant est 3)
• $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$
• $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ (Attention à la position du signe moins !)
• $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$

Cas particuliers :

• Tout nombre $a$ élevé à la puissance 1 est égal à lui-même : $a^1 = a$.
  • Exemple : $5^1 = 5$
• Tout nombre $a$ (non nul) élevé à la puissance 0 est égal à 1 : ==$a^0 = 1$ pour $a \neq 0$==.
  • Exemple : $7^0 = 1$, $(-4)^0 = 1$.
  • Le cas $0^0$ est indéterminé et n'est généralement pas défini en Première générale.

Que se passe-t-il si l'exposant est négatif ?

Soit $a$ un nombre réel non nul et $n$ un entier naturel non nul. La puissance d'exposant entier négatif $a^{-n}$ est définie comme l'inverse de $a^n$.

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Cette définition est très pratique car elle permet de manipuler les exposants négatifs comme des fractions.

Exemples numériques :

• $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{8}$
• $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$
• $(\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$ (L'inverse d'une fraction est la fraction inversée !)
• $(-5)^{-1} = \frac{1}{(-5)^1} = \frac{1}{-5} = -0,2$

Retenez que $a^{-n}$ n'est PAS un nombre négatif, sauf si la base $a$ est négative et $n$ est impair. C'est l'inverse de $a^n$.

Les puissances de 10 sont particulièrement importantes en sciences pour exprimer des nombres très grands ou très petits.

Définition et propriétés :

• $10^n = 1 \underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}}$ (pour $n > 0$)
  • Exemple : $10^3 = 1000$
• $10^{-n} = \frac{1}{10^n} = \underbrace{0,00\dots0}_{n \text{ zéros}}1$ (pour $n > 0$)
  • Exemple : $10^{-2} = 0,01$

Tableau récapitulatif :

Écriture scientifique : L'écriture scientifique d'un nombre est une façon de l'exprimer sous la forme $a \times 10^n$, où :

• $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le |a| < 10$ (il n'a qu'un seul chiffre non nul avant la virgule).
• $n$ est un entier relatif.

Exemples :

• $3~450~000 = 3,45 \times 10^6$
• $0,000~000~56 = 5,6 \times 10^{-7}$
• $-123,4 = -1,234 \times 10^2$

L'écriture scientifique permet de donner un ordre de grandeur rapide d'un nombre. Par exemple, $3,45 \times 10^6$ est de l'ordre de $10^6$ (un million).

Pour multiplier des puissances qui ont la même base, on additionne les exposants.

Règle : Pour tout réel $a$ et tous entiers relatifs $m$ et $n$, $a^m \times a^n = a^{m+n}$

Démonstration intuitive : Prenons un exemple simple : $a^2 \times a^3$. $a^2 \times a^3 = (a \times a) \times (a \times a \times a)$ $= a \times a \times a \times a \times a$ $= a^5$ On remarque que $2+3 = 5$. La règle fonctionne !

Applications avec des nombres et des variables :

• $3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 = 729$
• $x^5 \times x^{-2} = x^{5+(-2)} = x^3$
• $10^3 \times 10^7 = 10^{3+7} = 10^{10}$
• $(-2)^3 \times (-2)^{-5} = (-2)^{3+(-5)} = (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$
• $5 \times 5^4 = 5^1 \times 5^4 = 5^{1+4} = 5^5 = 3125$

Pour diviser des puissances qui ont la même base, on soustrait les exposants.

Règle : Pour tout réel $a \neq 0$ et tous entiers relatifs $m$ et $n$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Démonstration intuitive : Prenons $a^5 / a^2$. $\frac{a^5}{a^2} = \frac{a \times a \times a \times a \times a}{a \times a}$ En "simplifiant" les $a$ au numérateur et au dénominateur, il reste $a \times a \times a = a^3$. On remarque que $5-2 = 3$. La règle fonctionne !

Cas particulier : Si $m=n$, alors $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$. Puisque tout nombre divisé par lui-même est égal à 1 (si non nul), cela confirme que ==$a^0 = 1$==.

Simplification d'expressions :

• $\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625$
• $\frac{y^2}{y^6} = y^{2-6} = y^{-4} = \frac{1}{y^4}$
• $\frac{10^8}{10^{-2}} = 10^{8-(-2)} = 10^{8+2} = 10^{10}$
• $\frac{(-3)^4}{(-3)^4} = (-3)^{4-4} = (-3)^0 = 1$

Ces règles vous permettent de distribuer l'exposant sur les facteurs d'un produit ou d'un quotient.

Règle : Puissance d'un produit Pour tous réels $a, b$ et tout entier relatif $n$, $(ab)^n = a^n \times b^n$

Exemples :

• $(2 \times 3)^2 = 6^2 = 36$
  • En utilisant la règle : $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$. Ça marche !
• $(5x)^3 = 5^3 \times x^3 = 125x^3$
• $(10 \times 10^2)^3 = (10^3)^3 = 10^9$ (on verra cette règle après)
  • Ou $(10 \times 10^2)^3 = 10^3 \times (10^2)^3 = 10^3 \times 10^6 = 10^9$

Règle : Puissance d'un quotient Pour tous réels $a, b$ ($b \neq 0$) et tout entier relatif $n$, $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Exemples :

• $(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
• $(\frac{x}{y})^4 = \frac{x^4}{y^4}$
• $(\frac{10^5}{10^2})^{-1} = (\frac{10^5}{10^2})^{-1} = (10^{5-2})^{-1} = (10^3)^{-1} = 10^{-3} = 0,001$
  • Ou $(\frac{10^5}{10^2})^{-1} = \frac{(10^5)^{-1}}{(10^2)^{-1}} = \frac{10^{-5}}{10^{-2}} = 10^{-5-(-2)} = 10^{-3}$

Quand une puissance est elle-même élevée à une autre puissance, on multiplie les exposants.

Règle : Pour tout réel $a$ et tous entiers relatifs $m$ et $n$, $(a^m)^n = a^{m \times n}$

Démonstration intuitive : Prenons $(a^2)^3$. $(a^2)^3 = a^2 \times a^2 \times a^2$ En utilisant la règle du produit de puissances de même base : $a^2 \times a^2 \times a^2 = a^{2+2+2} = a^6$. On remarque que $2 \times 3 = 6$. La règle fonctionne !

Ordre des opérations et erreurs courantes à éviter :

• $(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8$
• $(x^{-3})^2 = x^{-3 \times 2} = x^{-6} = \frac{1}{x^6}$
• $(10^4)^{-2} = 10^{4 \times (-2)} = 10^{-8}$

Attention à ne pas confondre $(a^m)^n$ avec $a^{m^n}$ !

• $(2^3)^2 = 8^2 = 64$
• $2^{3^2} = 2^9 = 512$ (car $3^2 = 9$) Ce n'est pas la même chose ! La règle $(a^m)^n = a^{m \times n}$ s'applique uniquement à la première forme.

Dans les exercices, vous devrez souvent utiliser plusieurs règles de puissances en même temps. Il est important de respecter la priorité des opérations (parenthèses, exposants, multiplications/divisions, additions/soustractions).

Exemples pas à pas :

Exemple 1 : Simplifier l'expression $A = (2x^3)^2 \times x^{-4}$

1. Appliquer la règle de la puissance d'un produit $(ab)^n = a^n b^n$ sur $(2x^3)^2$ : $(2x^3)^2 = 2^2 \times (x^3)^2 = 4 \times x^{3 \times 2} = 4x^6$
2. Substituer dans l'expression originale : $A = 4x^6 \times x^{-4}$
3. Appliquer la règle du produit de puissances de même base $a^m \times a^n = a^{m+n}$ : $A = 4 \times x^{6+(-4)} = 4x^2$

Exemple 2 : Simplifier l'expression $B = \frac{(3a^2b^{-1})^3}{9a^4b^{-5}}$

1. Simplifier le numérateur $(3a^2b^{-1})^3$ en utilisant $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ et $(x^m)^n = x^{mn}$ : $(3a^2b^{-1})^3 = 3^3 \times (a^2)^3 \times (b^{-1})^3 = 27 \times a^{2 \times 3} \times b^{-1 \times 3} = 27a^6b^{-3}$
2. L'expression devient : $B = \frac{27a^6b^{-3}}{9a^4b^{-5}}$
3. Séparer les coefficients et les puissances de chaque variable : $B = (\frac{27}{9}) \times (\frac{a^6}{a^4}) \times (\frac{b^{-3}}{b^{-5}})$
4. Appliquer la règle du quotient de puissances de même base $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ : $B = 3 \times a^{6-4} \times b^{-3-(-5)}$ $B = 3 \times a^2 \times b^{-3+5}$ $B = 3a^2b^2$

Comme vu précédemment, l'écriture scientifique d'un nombre $N$ est de la forme : $N = a \times 10^n$ où :

• $a$ est un nombre décimal appelé mantisse, avec $1 \le |a| < 10$. Autrement dit, $a$ a un seul chiffre non nul avant la virgule.
• $n$ est un entier relatif (positif, négatif ou nul).

Conversion de nombres :

• Pour un nombre > 10 : Déplacer la virgule vers la gauche jusqu'à avoir un seul chiffre non nul. Le nombre de déplacements est $n$.
  • $123~450 = 1,2345 \times 10^5$ (virgule déplacée de 5 rangs à gauche)
• Pour un nombre entre 0 et 1 : Déplacer la virgule vers la droite jusqu'à avoir un seul chiffre non nul. Le nombre de déplacements est $-n$.
  • $0,000~078 = 7,8 \times 10^{-5}$ (virgule déplacée de 5 rangs à droite)

L'écriture scientifique est fondamentale en physique, chimie et astronomie pour gérer des valeurs comme la vitesse de la lumière ($2,998 \times 10^8$ m/s) ou la taille d'un atome ($~10^{-10}$ m).

Multiplication et division

Ces opérations sont très simples avec l'écriture scientifique. On multiplie (ou divise) les mantisses entre elles et les puissances de 10 entre elles.

Multiplication : $(a \times 10^n) \times (b \times 10^m) = (a \times b) \times 10^{n+m}$ Exemple : $(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5) = (2 \times 4) \times 10^{3+5} = 8 \times 10^8$ Exemple : $(3 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^7) = (3 \times 5) \times 10^{-2+7} = 15 \times 10^5$ ==Attention ! $15 \times 10^5$ n'est pas en écriture scientifique. Il faut le convertir : $1,5 \times 10^1 \times 10^5 = 1,5 \times 10^6$.==

Division : $\frac{a \times 10^n}{b \times 10^m} = (\frac{a}{b}) \times 10^{n-m}$ Exemple : $\frac{6 \times 10^7}{2 \times 10^3} = (\frac{6}{2}) \times 10^{7-3} = 3 \times 10^4$ Exemple : $\frac{1,2 \times 10^4}{4 \times 10^{-2}} = (\frac{1,2}{4}) \times 10^{4-(-2)} = 0,3 \times 10^{4+2} = 0,3 \times 10^6$ ==Attention ! $0,3 \times 10^6$ n'est pas en écriture scientifique. Il faut le convertir : $3 \times 10^{-1} \times 10^6 = 3 \times 10^5$.==

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des nombres en écriture scientifique, il faut impérativement qu'ils aient la même puissance de 10. Si ce n'est pas le cas, il faut ajuster l'une des écritures.

Règle : $(a \times 10^n) + (b \times 10^n) = (a+b) \times 10^n$ Exemple : $(3 \times 10^4) + (5 \times 10^4) = (3+5) \times 10^4 = 8 \times 10^4$

Exemple avec ajustement : $(2 \times 10^3) + (4 \times 10^2)$

1. Convertir le deuxième terme pour avoir $10^3$ : $4 \times 10^2 = 0,4 \times 10^1 \times 10^2 = 0,4 \times 10^3$
2. Effectuer l'addition : $(2 \times 10^3) + (0,4 \times 10^3) = (2+0,4) \times 10^3 = 2,4 \times 10^3$

Autre méthode d'ajustement : Convertir le premier terme pour avoir $10^2$ :

1. $2 \times 10^3 = 20 \times 10^{-1} \times 10^3 = 20 \times 10^2$
2. Effectuer l'addition : $(20 \times 10^2) + (4 \times 10^2) = (20+4) \times 10^2 = 24 \times 10^2$
3. Mettre en écriture scientifique : $2,4 \times 10^1 \times 10^2 = 2,4 \times 10^3$. Le résultat est le même !

Les puissances de 10 sont le cœur de l'écriture scientifique. Maîtriser leurs règles (produit, quotient, puissance d'une puissance) est essentiel.

Simplification rapide :

• $10^5 \times 10^{-3} = 10^{5-3} = 10^2$
• $\frac{10^9}{10^4} = 10^{9-4} = 10^5$
• $(10^{-2})^3 = 10^{-2 \times 3} = 10^{-6}$

Utilisation de la calculatrice : La plupart des calculatrices scientifiques ont une touche "EXP" ou "EE" pour entrer les puissances de 10. Par exemple, pour $3 \times 10^5$, on tape 3 EXP 5. N'utilisez JAMAIS la touche ^ pour les puissances de 10 en écriture scientifique, car cela peut créer des erreurs de priorité de calcul !

Vérification des résultats : Après un calcul, vérifiez toujours l'ordre de grandeur. Si vous multipliez deux nombres de l'ordre de $10^3$ et $10^5$, le résultat doit être de l'ordre de $10^8$. Si votre calculatrice affiche $10^2$, c'est qu'il y a une erreur.

La racine carrée d'un nombre réel positif $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif $y$ tel que $y^2 = x$.

Le lien avec les puissances est le suivant : ==La racine carrée d'un nombre positif $x$ peut s'écrire comme une puissance d'exposant fractionnaire : $\sqrt{x} = x^{1/2}$==.

Propriétés des racines carrées (déduites des puissances) :

• $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (pour $a, b \ge 0$)
  • En utilisant les puissances : $(ab)^{1/2} = a^{1/2} b^{1/2}$
• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (pour $a \ge 0, b > 0$)
  • En utilisant les puissances : $(\frac{a}{b})^{1/2} = \frac{a^{1/2}}{b^{1/2}}$
• $(\sqrt{a})^2 = a$ (pour $a \ge 0$)
  • En utilisant les puissances : $(a^{1/2})^2 = a^{(1/2) \times 2} = a^1 = a$

Exemples :

• $\sqrt{9} = 9^{1/2} = 3$
• $\sqrt{25} = 25^{1/2} = 5$
• $\sqrt{49} = 49^{1/2} = 7$

On peut utiliser les règles des puissances pour simplifier des expressions contenant des racines carrées.

Exemple 1 : Simplifier $\sqrt{x^4}$ (pour $x \ge 0$) $\sqrt{x^4} = (x^4)^{1/2} = x^{4 \times (1/2)} = x^2$

Exemple 2 : Simplifier $\sqrt{16a^6}$ (pour $a \ge 0$) $\sqrt{16a^6} = \sqrt{16} \times \sqrt{a^6} = 4 \times (a^6)^{1/2} = 4 \times a^{6 \times (1/2)} = 4a^3$

Exemple 3 : Simplifier $\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x}}$ (pour $x > 0$) $\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{3/2}}{x^{1/2}} = x^{(3/2) - (1/2)} = x^{2/2} = x^1 = x$

Rationalisation de dénominateurs : Parfois, on veut éliminer une racine du dénominateur d'une fraction. C'est la rationalisation.

• Si le dénominateur est $\sqrt{a}$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{a}$.
  • Exemple : $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
• On peut voir cela comme utiliser la propriété $(\sqrt{a})^2 = a$.

Ce chapitre vous a fourni les outils essentiels pour manipuler les puissances. La clé est de bien connaître les règles et de les appliquer avec rigueur. Entraînez-vous beaucoup, et ces opérations deviendront une seconde nature !