Effectuer un calcul litteral elementaire

Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres variables. Ces lettres sont appelées des variables.

Par exemple :

• $3x + 5$ est une expression littérale avec la variable $x$.
• $a^2 - 2ab + b^2$ est une expression littérale avec les variables $a$ et $b$.

Dans une expression littérale, on retrouve différents éléments :

• Une variable : Une lettre qui représente un nombre inconnu ou qui peut varier (ex: $x$, $y$, $a$, $b$).
• Un terme : Une partie de l'expression séparée par un signe $+$ ou $-$.
  • Exemple : Dans $3x + 5$, les termes sont $3x$ et $5$.
  • Exemple : Dans $a^2 - 2ab + b^2$, les termes sont $a^2$, $-2ab$ et $b^2$.
• Un coefficient : Le nombre qui multiplie une variable ou un groupe de variables.
  • Exemple : Dans $3x$, $3$ est le coefficient de $x$.
  • Exemple : Dans $-2ab$, $-2$ est le coefficient de $ab$.
  • Le terme $5$ est appelé un terme constant car il ne contient pas de variable.
• Une expression algébrique : C'est un synonyme d'expression littérale.

Pour calculer avec des expressions littérales, il est crucial de respecter les priorités opératoires, souvent résumées par l'acronyme PEMDAS (ou "Parenthèses, Exposants, Multiplication/Division, Addition/Soustraction") ou "PEDMAS" en français pour Parenthèses, Exposants, Divisions/Multiplications, Additions/Soustractions.

1. Parenthèses : On effectue d'abord les calculs entre parenthèses (ou crochets).
2. Exposants : Ensuite, on calcule les puissances.
3. Multiplication et Division : Puis, les multiplications et divisions, de gauche à droite.
4. Addition et Soustraction : Enfin, les additions et soustractions, de gauche à droite.

Conventions d'écriture simplifiée : Pour alléger l'écriture, certaines conventions sont utilisées :

• Le signe de multiplication "$\times$" peut être omis :
  • Entre un nombre et une lettre : $3 \times x = 3x$
  • Entre deux lettres : $a \times b = ab$
  • Entre un nombre et une parenthèse : $5 \times (x+2) = 5(x+2)$
  • Entre une lettre et une parenthèse : $x \times (y-1) = x(y-1)$
  • Entre deux parenthèses : $(x+1) \times (y+3) = (x+1)(y+3)$
• Le coefficient $1$ devant une variable est généralement omis : $1x = x$ et $-1x = -x$.
• On écrit généralement le nombre avant la lettre : $x \times 3 = 3x$.

Exemple : L'expression $2 \times a + 5 \times (b - 3)$ s'écrit plus simplement $2a + 5(b-3)$.

Substituer signifie remplacer une ou plusieurs variables par des valeurs numériques données. Évaluer une expression littérale, c'est calculer sa valeur numérique après avoir effectué ces substitutions.

Méthode :

1. Remplacer chaque variable par sa valeur numérique.
2. Ajouter des parenthèses si la valeur substituée est négative ou si elle est une fraction, pour éviter les erreurs de priorité opératoire.
3. Calculer l'expression en respectant les priorités opératoires.

Exemple : Évaluons l'expression $A = 3x^2 - 2x + 1$ pour $x = -2$.

1. On remplace $x$ par $(-2)$ : $A = 3 \times (-2)^2 - 2 \times (-2) + 1$
2. On effectue les calculs en respectant les priorités :
   • D'abord l'exposant : $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$
   • $A = 3 \times 4 - 2 \times (-2) + 1$
   • Ensuite les multiplications : $3 \times 4 = 12$ et $2 \times (-2) = -4$
   • $A = 12 - (-4) + 1$
   • Enfin les additions et soustractions : $12 + 4 + 1 = 17$

Donc, pour $x = -2$, la valeur de l'expression $A$ est $17$.

La distributivité simple est une règle fondamentale qui permet de "distribuer" une multiplication sur une addition ou une soustraction.

Les formules sont :

• $k(a+b) = k \times a + k \times b = ka + kb$
• $k(a-b) = k \times a - k \times b = ka - kb$

Ici, $k$, $a$, et $b$ peuvent être des nombres ou des expressions littérales.

Exemples :

1. Développer $A = 3(x+5)$ $A = 3 \times x + 3 \times 5$ $A = 3x + 15$

2. Développer $B = -2(y-4)$ $B = -2 \times y - (-2) \times 4$ $B = -2y - (-8)$ $B = -2y + 8$ Attention aux signes ! Un signe moins devant une parenthèse change les signes des termes à l'intérieur après développement.

3. Développer $C = x(2x+7)$ $C = x \times 2x + x \times 7$ $C = 2x^2 + 7x$

La double distributivité est utilisée lorsque l'on multiplie deux sommes (ou différences) de deux termes. Chaque terme de la première parenthèse doit être multiplié par chaque terme de la seconde parenthèse.

La formule générale est : $(a+b)(c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$ $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Exemples :

1. Développer $D = (x+2)(x+3)$ $D = x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3$ $D = x^2 + 3x + 2x + 6$ $D = x^2 + 5x + 6$ (après regroupement des termes semblables)

2. Développer $E = (2x-1)(x+4)$ $E = 2x \times x + 2x \times 4 - 1 \times x - 1 \times 4$ $E = 2x^2 + 8x - x - 4$ $E = 2x^2 + 7x - 4$

3. Développer $F = (3x-5)(2x-1)$ $F = 3x \times 2x + 3x \times (-1) - 5 \times 2x - 5 \times (-1)$ $F = 6x^2 - 3x - 10x + 5$ $F = 6x^2 - 13x + 5$ Soyez très vigilant avec les signes négatifs !

Les identités remarquables sont des cas particuliers de double distributivité qui reviennent très souvent. Les connaître par cœur permet de gagner du temps et d'éviter des erreurs.

Il y en a trois principales :

1. Carré d'une somme : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

   • $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
   • Exemple : Développer $(x+5)^2$ Ici, $a=x$ et $b=5$. $(x+5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2$ $(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$

2. Carré d'une différence : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   • $(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
   • Exemple : Développer $(3x-4)^2$ Ici, $a=3x$ et $b=4$. $(3x-4)^2 = (3x)^2 - 2 \times (3x) \times 4 + 4^2$ $(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$ N'oubliez pas de mettre le terme $3x$ entre parenthèses lors de l'élévation au carré !

3. Produit d'une somme par une différence : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

   • $(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2$
   • Exemple : Développer $(2x-7)(2x+7)$ Ici, $a=2x$ et $b=7$. $(2x-7)(2x+7) = (2x)^2 - 7^2$ $(2x-7)(2x+7) = 4x^2 - 49$

Ces identités sont très utiles aussi bien pour le développement que pour la factorisation.

La factorisation par un facteur commun est basée sur la distributivité simple, mais "à l'envers" : $ka + kb = k(a+b)$ $ka - kb = k(a-b)$

Méthode :

1. Identifier le terme qui est présent dans tous les termes de l'expression. C'est le facteur commun. Ce facteur peut être un nombre, une lettre, ou une expression entre parenthèses.
2. Mettre en évidence ce facteur commun en le plaçant devant une parenthèse.
3. Écrire à l'intérieur de la parenthèse ce qui reste de chaque terme après avoir "enlevé" le facteur commun.

Exemples :

1. Factoriser $A = 5x + 15$ Le facteur commun est $5$ (car $15 = 5 \times 3$). $A = 5 \times x + 5 \times 3$ $A = 5(x+3)$

2. Factoriser $B = 7x - 7y$ Le facteur commun est $7$. $B = 7(x-y)$

3. Factoriser $C = 4x^2 + 8x$ Le facteur commun est $4x$ (car $4x^2 = 4x \times x$ et $8x = 4x \times 2$). $C = 4x \times x + 4x \times 2$ $C = 4x(x+2)$

4. Factoriser $D = (x+1)(x+5) + (x+1)(2x-3)$ Le facteur commun est l'expression $(x+1)$. $D = (x+1) [ (x+5) + (2x-3) ]$ $D = (x+1) (x+5+2x-3)$ $D = (x+1) (3x+2)$ Le facteur commun peut être une expression complète entre parenthèses !

Les identités remarquables peuvent aussi être utilisées dans le sens inverse pour factoriser des expressions. Il faut savoir reconnaître leur forme.

1. Forme $a^2 + 2ab + b^2$ : Se factorise en $(a+b)^2$

   • Exemple : Factoriser $E = x^2 + 6x + 9$ On reconnaît la forme $a^2 + 2ab + b^2$. $x^2$ est le carré de $x$, donc $a=x$. $9$ est le carré de $3$, donc $b=3$. Vérifions le terme du milieu : $2ab = 2 \times x \times 3 = 6x$. Ça correspond ! Donc, $E = (x+3)^2$.

2. Forme $a^2 - 2ab + b^2$ : Se factorise en $(a-b)^2$

   • Exemple : Factoriser $F = 4x^2 - 20x + 25$ $4x^2$ est le carré de $2x$, donc $a=2x$. $25$ est le carré de $5$, donc $b=5$. Vérifions le terme du milieu : $-2ab = -2 \times (2x) \times 5 = -20x$. Ça correspond ! Donc, $F = (2x-5)^2$.

3. Forme $a^2 - b^2$ : Se factorise en $(a-b)(a+b)$

   • Exemple : Factoriser $G = x^2 - 49$ $x^2$ est le carré de $x$, donc $a=x$. $49$ est le carré de $7$, donc $b=7$. Donc, $G = (x-7)(x+7)$.

   • Exemple : Factoriser $H = 16x^2 - 81$ $16x^2$ est le carré de $4x$, donc $a=4x$. $81$ est le carré de $9$, donc $b=9$. Donc, $H = (4x-9)(4x+9)$.

Parfois, il faut combiner les méthodes ou effectuer plusieurs étapes pour factoriser une expression.

Conseils :

• Chercher toujours un facteur commun d'abord.
• Si ce n'est pas évident, regrouper les termes pour faire apparaître un facteur commun ou une identité remarquable.
• Parfois, il faut développer une partie de l'expression pour ensuite pouvoir factoriser.

Exemple 1 : Factoriser $I = (2x+3)^2 - 2(2x+3)$

1. Facteur commun : $(2x+3)$
2. $I = (2x+3) [ (2x+3) - 2 ]$
3. $I = (2x+3) (2x+1)$

Exemple 2 : Factoriser $J = (x-4)^2 - 9$

1. On reconnaît la forme $A^2 - B^2$ avec $A = (x-4)$ et $B = 3$ (car $9 = 3^2$).
2. $J = [ (x-4) - 3 ] [ (x-4) + 3 ]$
3. $J = (x-7) (x-1)$

Exemple 3 : Factoriser $K = x^2 - 25 + (x-5)(x+3)$

1. On remarque que $x^2 - 25$ est une identité remarquable ($a^2-b^2$). $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
2. L'expression devient : $K = (x-5)(x+5) + (x-5)(x+3)$
3. Maintenant, il y a un facteur commun : $(x-5)$.
4. $K = (x-5) [ (x+5) + (x+3) ]$
5. $K = (x-5) (x+5+x+3)$
6. $K = (x-5) (2x+8)$
7. On peut encore factoriser $2x+8$ par $2$ : $2(x+4)$.
8. $K = 2(x-5)(x+4)$

Des termes semblables sont des termes qui ont les mêmes variables avec les mêmes exposants. Seuls les termes semblables peuvent être additionnés ou soustraits.

Méthode :

1. Identifier les termes semblables.
2. Regrouper ces termes.
3. Additionner ou soustraire leurs coefficients. Les variables et leurs exposants ne changent pas.

Exemples :

1. Réduire $A = 5x + 3y - 2x + 7y + 4$

   • Termes en $x$ : $5x$ et $-2x$
   • Termes en $y$ : $3y$ et $7y$
   • Terme constant : $4$ $A = (5x - 2x) + (3y + 7y) + 4$ $A = (5-2)x + (3+7)y + 4$ $A = 3x + 10y + 4$

2. Réduire $B = 2x^2 + 5x - x^2 + 3x - 7$

   • Termes en $x^2$ : $2x^2$ et $-x^2$
   • Termes en $x$ : $5x$ et $3x$
   • Terme constant : $-7$ $B = (2x^2 - x^2) + (5x + 3x) - 7$ $B = (2-1)x^2 + (5+3)x - 7$ $B = x^2 + 8x - 7$

La suppression des parenthèses est une étape cruciale pour réduire des expressions.

• Parenthèses précédées d'un signe "+" : On peut supprimer les parenthèses et le signe "+" sans changer les signes des termes à l'intérieur. $a + (b+c) = a+b+c$ $a + (b-c) = a+b-c$

• Parenthèses précédées d'un signe "-" : On supprime les parenthèses et le signe "-", mais on change le signe de chaque terme à l'intérieur des parenthèses. $a - (b+c) = a-b-c$ $a - (b-c) = a-b+c$

Exemples :

1. Simplifier $C = (3x+2) + (5x-1)$ $C = 3x+2+5x-1$ $C = 8x+1$

2. Simplifier $D = (4x-3) - (2x-5)$ $D = 4x-3-2x+5$ $D = 2x+2$

3. Simplifier $E = 2x + [3 - (x+4)]$ On commence par les parenthèses les plus intérieures. $E = 2x + [3 - x - 4]$ $E = 2x + [-x - 1]$ $E = 2x - x - 1$ $E = x - 1$

Une expression rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des expressions littérales. Pour les simplifier, on utilise la factorisation.

Méthode :

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur au maximum.
2. Identifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
3. Simplifier en "barrant" ces facteurs communs.
4. Mentionner les conditions d'existence : le dénominateur ne doit jamais être égal à zéro.

Exemple : Simplifier l'expression $F = \frac{x^2 - 9}{x+3}$

1. Factoriser le numérateur : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ (identité remarquable $a^2-b^2$)
2. L'expression devient : $F = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$
3. Simplifier par $(x+3)$ : $F = x-3$
4. Condition d'existence : $x+3 \neq 0$, donc $x \neq -3$. Ainsi, pour $x \neq -3$, $F = x-3$.

Exemple 2 : Simplifier $G = \frac{2x^2 + 4x}{x^2 + 4x + 4}$

1. Factoriser le numérateur : $2x^2 + 4x = 2x(x+2)$ (facteur commun $2x$)
2. Factoriser le dénominateur : $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ (identité remarquable $(a+b)^2$)
3. L'expression devient : $G = \frac{2x(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{2x(x+2)}{(x+2)(x+2)}$
4. Simplifier par $(x+2)$ : $G = \frac{2x}{x+2}$
5. Condition d'existence : $x+2 \neq 0$, donc $x \neq -2$. Ainsi, pour $x \neq -2$, $G = \frac{2x}{x+2}$.

Beaucoup de problèmes peuvent être résolus en les traduisant en expressions littérales ou en équations. C'est ce qu'on appelle la modélisation.

Étapes clés :

1. Lire attentivement l'énoncé du problème.
2. Identifier ce qui est inconnu et choisir une (ou plusieurs) variable(s) pour le(s) représenter (souvent $x$).
3. Traduire les informations de l'énoncé en expressions littérales ou en équations.
4. Résoudre l'équation (si c'est un problème qui mène à une équation).
5. Vérifier la cohérence du résultat avec le problème.

Exemple : "J'ai acheté 3 stylos et 2 cahiers. Un stylo coûte $x$ euros et un cahier coûte $y$ euros. Écrire l'expression du coût total de mes achats."

• Variable : $x$ (prix d'un stylo), $y$ (prix d'un cahier).
• Coût des stylos : $3 \times x = 3x$
• Coût des cahiers : $2 \times y = 2y$
• Coût total : $3x + 2y$

Les formules de géométrie (aires, volumes, périmètres) peuvent être utilisées avec des expressions littérales pour représenter des dimensions variables.

Exemple : Un rectangle a une longueur de $L = 2x+1$ et une largeur de $l = x-3$.

1. Calculer le périmètre $P$ de ce rectangle. $P = 2 \times (L+l)$ $P = 2 \times ((2x+1) + (x-3))$ $P = 2 \times (2x+1+x-3)$ $P = 2 \times (3x-2)$ $P = 6x-4$

2. Calculer l'aire $A$ de ce rectangle. $A = L \times l$ $A = (2x+1)(x-3)$ On utilise la double distributivité : $A = 2x \times x + 2x \times (-3) + 1 \times x + 1 \times (-3)$ $A = 2x^2 - 6x + x - 3$ $A = 2x^2 - 5x - 3$

Le calcul littéral est essentiel pour prouver des propriétés mathématiques. Une preuve algébrique consiste à montrer qu'une égalité ou une propriété est vraie pour toutes les valeurs possibles des variables.

Méthodes courantes :

• Partir d'un côté de l'égalité (souvent le plus complexe) et le transformer par calcul littéral pour arriver à l'autre côté.
• Calculer la différence entre les deux côtés et montrer qu'elle est nulle.

Exemple : Prouver que pour tout nombre $x$, $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$.

Méthode 1 : Partir du côté gauche (LHS pour Left Hand Side) LHS $= (x+1)^2 - (x-1)^2$ On reconnaît deux identités remarquables : LHS $= (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1)$ Attention aux parenthèses après le signe moins ! LHS $= x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1$ LHS $= (x^2 - x^2) + (2x + 2x) + (1 - 1)$ LHS $= 0 + 4x + 0$ LHS $= 4x$ Le côté gauche est égal au côté droit (RHS pour Right Hand Side). La propriété est prouvée.

Méthode 2 (plus rapide ici, en utilisant $a^2-b^2$) : LHS $= (x+1)^2 - (x-1)^2$ On peut poser $A = (x+1)$ et $B = (x-1)$. On a la forme $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. LHS $= [ (x+1) - (x-1) ] [ (x+1) + (x-1) ]$ LHS $= [ x+1-x+1 ] [ x+1+x-1 ]$ LHS $= [ 2 ] [ 2x ]$ LHS $= 4x$ La propriété est prouvée.

Ce chapitre vous a donné les bases solides du calcul littéral. Entraînez-vous régulièrement, car la pratique est la clé de la maîtrise !