Equations fonctions polynomes du second degre

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) est une fonction $f$ qui peut s'écrire sous la forme :

$f(x) = ax^2 + bx + c$

où $a$, $b$, et $c$ sont des nombres réels, avec la condition impérative que $a \neq 0$. Si $a$ était égal à 0, la fonction deviendrait $f(x) = bx + c$, ce qui est une fonction affine (du premier degré).

• $a$ est le coefficient du terme en $x^2$.
• $b$ est le coefficient du terme en $x$.
• $c$ est le terme constant.

Cette écriture est appelée la forme développée du polynôme.

Exemples :

• $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ (ici $a=2, b=-3, c=1$)
• $g(x) = -x^2 + 5$ (ici $a=-1, b=0, c=5$)
• $h(x) = 0.5x^2 + 2x$ (ici $a=0.5, b=2, c=0$)

La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une courbe appelée parabole. Une parabole a une forme caractéristique en "U" ou en "U" inversé.

Chaque parabole possède un point particulier appelé le sommet. Ce sommet est le point le plus bas de la parabole (si elle est ouverte vers le haut) ou le point le plus haut (si elle est ouverte vers le bas).

Les coordonnées du sommet sont notées $S(\alpha, \beta)$. L'abscisse du sommet, $\alpha$, est donnée par la formule : $\alpha = -\frac{b}{2a}$

Une fois que vous avez $\alpha$, vous pouvez trouver l'ordonnée du sommet, $\beta$, en calculant $f(\alpha)$ : $\beta = f(\alpha) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c$

La parabole est symétrique par rapport à une droite verticale passant par son sommet. Cette droite est appelée l'axe de symétrie. Son équation est : $x = \alpha \quad \text{ou} \quad x = -\frac{b}{2a}$

Le sommet est un point crucial car il représente l'extremum (minimum ou maximum) de la fonction.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Ici, $a=1, b=-4, c=3$. $\alpha = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$. $\beta = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Le sommet $S$ a pour coordonnées $(2, -1)$. L'axe de symétrie a pour équation $x=2$.

Le sens de variation d'une fonction polynôme du second degré dépend uniquement du signe du coefficient $a$.

1. Si $a > 0$ :

   • La parabole est ouverte vers le haut (elle ressemble à un "U").
   • La fonction est décroissante avant le sommet et croissante après le sommet.
   • Le sommet est un minimum global pour la fonction.

   Tableau de variation pour $a > 0$ :

   $x$	$-\infty$	$\alpha$	$+\infty$
   $f(x)$	$\searrow$	$\beta$ (minimum)	$\nearrow$

2. Si $a < 0$ :

   • La parabole est ouverte vers le bas (elle ressemble à un "U" inversé).
   • La fonction est croissante avant le sommet et décroissante après le sommet.
   • Le sommet est un maximum global pour la fonction.

   Tableau de variation pour $a < 0$ :

   $x$	$-\infty$	$\alpha$	$+\infty$
   $f(x)$	$\nearrow$	$\beta$ (maximum)	$\searrow$

Exemple reprenant $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : Puisque $a=1 > 0$, la parabole est ouverte vers le haut. Le sommet est un minimum. $\alpha = 2$, $\beta = -1$.

Tableau de variation :

La forme canonique d'un polynôme du second degré est une autre manière d'écrire $f(x) = ax^2 + bx + c$. Elle s'écrit : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ sont les coordonnées du sommet.

Intérêt de la forme canonique :

• Elle permet de lire directement les coordonnées du sommet.
• Elle est utile pour étudier le sens de variation et trouver l'extremum.
• Elle peut faciliter la résolution d'équations si le polynôme est une identité remarquable.

Passage de la forme développée à la forme canonique : On utilise la technique de "complétion du carré" ou simplement les formules de $\alpha$ et $\beta$. Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 3$. On sait $\alpha=2$ et $\beta=-1$. Donc, $f(x) = 1(x - 2)^2 + (-1) = (x - 2)^2 - 1$. On peut vérifier : $(x-2)^2 - 1 = (x^2 - 4x + 4) - 1 = x^2 - 4x + 3$.

La factorisation d'un polynôme consiste à l'écrire comme un produit de facteurs. Si la forme canonique est une identité remarquable de type $A^2 - B^2$, la factorisation est directe. Exemple : $f(x) = (x-2)^2 - 1$. C'est de la forme $A^2 - B^2$ avec $A = (x-2)$ et $B = 1$. Donc, $f(x) = ((x-2) - 1)((x-2) + 1) = (x-3)(x-1)$. Pour résoudre $f(x)=0$, on a $(x-3)(x-1)=0$, ce qui donne $x=3$ ou $x=1$.

Pour résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ de manière générale, on utilise une méthode basée sur le discriminant, noté $\Delta$ (delta). Le discriminant est une valeur numérique qui nous indique le nombre de solutions réelles de l'équation.

La formule du discriminant est : $\Delta = b^2 - 4ac$

Le calcul du discriminant est la première étape cruciale pour résoudre toute équation du second degré.

Exemple : Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$, nous avons $a=1, b=-4, c=3$. $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$.

Le signe du discriminant $\Delta$ détermine le nombre de solutions réelles (racines) de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Cas $\Delta > 0$ : Deux solutions réelles distinctes L'équation a deux solutions réelles différentes, notées $x_1$ et $x_2$. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points distincts. Les formules des solutions sont : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

   Exemple : $x^2 - 4x + 3 = 0$. On a $\Delta = 4$. $x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$. $x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Les solutions sont $x=1$ et $x=3$.

2. Cas $\Delta = 0$ : Une solution réelle double L'équation a une seule solution réelle, notée $x_0$. On parle de solution double car elle correspond à deux racines confondues. La parabole touche l'axe des abscisses en un seul point (le sommet est sur l'axe des abscisses). La formule de la solution est : $x_0 = \frac{-b}{2a}$ Remarquez que c'est la même formule que l'abscisse du sommet $\alpha$.

   Exemple : $x^2 - 6x + 9 = 0$. Ici $a=1, b=-6, c=9$. $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$. $x_0 = \frac{-(-6)}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3$. La solution double est $x=3$.

3. Cas $\Delta < 0$ : Aucune solution réelle L'équation n'a pas de solution réelle. La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. Dans ce cas, on dit que l'ensemble des solutions est vide : $S = \emptyset$.

   Exemple : $x^2 + x + 1 = 0$. Ici $a=1, b=1, c=1$. $\Delta = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$. Comme $\Delta < 0$, il n'y a pas de solution réelle pour cette équation.

Si l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $a \neq 0$ et $\Delta \ge 0$) a pour racines $x_1$ et $x_2$, alors :

• La somme des racines $S$ est donnée par : $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

• Le produit des racines $P$ est donné par : $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Utilisation :

• Vérification : Après avoir calculé les racines, vous pouvez rapidement vérifier vos résultats en calculant leur somme et leur produit et en les comparant à $-b/a$ et $c/a$.
• Recherche d'une racine : Si vous connaissez une racine $x_1$ et les coefficients $a, b, c$, vous pouvez trouver l'autre racine $x_2$ en utilisant $x_2 = S - x_1$ ou $x_2 = P / x_1$.

Exemple : Pour $x^2 - 4x + 3 = 0$, les racines sont $x_1=1$ et $x_2=3$. $a=1, b=-4, c=3$. Somme : $x_1 + x_2 = 1 + 3 = 4$. Formule : $-\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$. (Ça correspond !) Produit : $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 3 = 3$. Formule : $\frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$. (Ça correspond !)

Si un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$ a des racines réelles $x_1$ et $x_2$ (c'est-à-dire si $\Delta \ge 0$), alors il peut être factorisé sous la forme : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

Cette forme est appelée la forme factorisée du polynôme. Si $\Delta = 0$, les racines sont confondues ($x_1 = x_2 = x_0$), et la forme factorisée devient $f(x) = a(x - x_0)^2$.

La factorisation est possible si et seulement si $\Delta \ge 0$. Si $\Delta < 0$, le polynôme ne peut pas être factorisé dans les réels.

Exemple : Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$, les racines sont $x_1=1$ et $x_2=3$. $a=1$. La forme factorisée est $f(x) = 1(x - 1)(x - 3) = (x - 1)(x - 3)$.

Passage de la forme factorisée à la forme développée : Il suffit de développer le produit. Exemple : $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$.

Si l'on connaît les deux racines $x_1$ et $x_2$ d'une équation du second degré, on peut reconstituer une équation du type $x^2 - Sx + P = 0$, où $S$ est la somme des racines ($x_1 + x_2$) et $P$ est le produit des racines ($x_1 \cdot x_2$). Cette équation est équivalente à $a(x^2 - Sx + P) = 0$.

Méthode :

1. Calculer la somme $S = x_1 + x_2$.
2. Calculer le produit $P = x_1 \cdot x_2$.
3. L'équation est $x^2 - Sx + P = 0$. (Attention, cette équation a un $a=1$. Si un $a$ différent était imposé, il faudrait multiplier toute l'équation par ce $a$).

Exemple : Trouvez une équation du second degré dont les racines sont 2 et -5.

1. $S = 2 + (-5) = -3$.
2. $P = 2 \cdot (-5) = -10$.
3. L'équation est $x^2 - (-3)x + (-10) = 0$, soit $x^2 + 3x - 10 = 0$.

Le signe de $f(x)$ correspond à la position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses :

• Si $f(x) > 0$, la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses.
• Si $f(x) < 0$, la parabole est en-dessous de l'axe des abscisses.
• Si $f(x) = 0$, la parabole coupe (ou touche) l'axe des abscisses aux racines.

Les racines sont les points où le signe peut changer. Le signe du coefficient $a$ joue un rôle fondamental.

1. Si $a > 0$ (parabole ouverte vers le haut) :

   • Si $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$) :
     • $f(x) > 0$ pour $x < x_1$ et $x > x_2$ (à l'extérieur des racines).
     • $f(x) < 0$ pour $x_1 < x < x_2$ (entre les racines).
     • $f(x) = 0$ pour $x = x_1$ et $x = x_2$.
   • Si $\Delta = 0$ (une racine double $x_0$) :
     • $f(x) > 0$ pour tout $x \neq x_0$.
     • $f(x) = 0$ pour $x = x_0$. (La parabole est toujours au-dessus ou touche l'axe).
   • Si $\Delta < 0$ (aucune racine réelle) :
     • $f(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. (La parabole est toujours au-dessus de l'axe).

2. Si $a < 0$ (parabole ouverte vers le bas) :

   • Si $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$) :
     • $f(x) < 0$ pour $x < x_1$ et $x > x_2$ (à l'extérieur des racines).
     • $f(x) > 0$ pour $x_1 < x < x_2$ (entre les racines).
     • $f(x) = 0$ pour $x = x_1$ et $x = x_2$.
   • Si $\Delta = 0$ (une racine double $x_0$) :
     • $f(x) < 0$ pour tout $x \neq x_0$.
     • $f(x) = 0$ pour $x = x_0$. (La parabole est toujours en-dessous ou touche l'axe).
   • Si $\Delta < 0$ (aucune racine réelle) :
     • $f(x) < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. (La parabole est toujours en-dessous de l'axe).

Le tableau de signes est un outil méthodique pour résumer le signe d'un polynôme.

Règle générale du signe de $ax^2 + bx + c$ (si $\Delta > 0$ avec $x_1 < x_2$) :

Le polynôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $a$ entre les racines.

Cas particulier $\Delta = 0$ (racine double $x_0$) :

Cas particulier $\Delta < 0$ (aucune racine réelle) :

Exemple : Étudier le signe de $f(x) = x^2 - 4x + 3$. On sait que les racines sont $x_1=1$ et $x_2=3$. Le coefficient $a=1$ est positif.

Résoudre une inéquation du second degré (par exemple $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, etc.) se fait en utilisant le tableau de signes.

Méthodologie :

1. Mettre l'inéquation sous la forme $ax^2 + bx + c > 0$ (ou $< 0$, $\ge 0$, $\le 0$).
2. Calculer le discriminant $\Delta$ et trouver les racines (s'il y en a).
3. Construire le tableau de signes du polynôme.
4. Lire l'ensemble des solutions sur le tableau en fonction du signe recherché.

Exemple : Résoudre l'inéquation $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

1. L'inéquation est déjà sous la bonne forme.
2. Racines trouvées précédemment : $x_1=1$ et $x_2=3$.
3. Tableau de signes :

   $x$	$-\infty$	$1$	$3$	$+\infty$
   $x^2 - 4x + 3$	$+$	$0$	$-$	$0$

4. On cherche où $f(x) \ge 0$. Cela correspond aux intervalles où le signe est $+$ ou $0$. L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty; 1] \cup [3; +\infty[$. N'oubliez pas d'inclure les racines avec des crochets fermés si l'inégalité est large ($\ge$ ou $\le$).

Le sommet de la parabole représente l'extremum de la fonction (son maximum ou son minimum). Cela rend les fonctions du second degré particulièrement utiles pour les problèmes d'optimisation.

• Si $a > 0$, le sommet est un minimum. On cherche à minimiser une quantité (coût, distance, temps, etc.).
• Si $a < 0$, le sommet est un maximum. On cherche à maximiser une quantité (profit, surface, hauteur, etc.).

Méthodologie :

1. Modéliser la situation par une fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$.
2. Identifier si on cherche un maximum ou un minimum (en fonction du problème et du signe de $a$).
3. Calculer l'abscisse du sommet $\alpha = -\frac{b}{2a}$. C'est la valeur de $x$ qui optimise la fonction.
4. Calculer l'ordonnée du sommet $\beta = f(\alpha)$. C'est la valeur optimale (le minimum ou le maximum).
5. Interpréter le résultat dans le contexte du problème.

Exemple : Un agriculteur veut clôturer un champ rectangulaire le long d'une rivière. Il dispose de 100 mètres de clôture et n'a pas besoin de clôturer le côté le long de la rivière. Quelle est la surface maximale qu'il peut clôturer ? Soit $L$ la longueur du champ (le long de la rivière) et $l$ la largeur. La longueur de clôture utilisée est $L + 2l = 100$. Donc $L = 100 - 2l$. La surface du champ est $S = L \times l = (100 - 2l)l = 100l - 2l^2$. C'est une fonction du second degré de $l$ : $S(l) = -2l^2 + 100l$. Ici, $a=-2, b=100, c=0$. Puisque $a < 0$, la parabole est ouverte vers le bas, et le sommet correspond à un maximum. L'abscisse du sommet est $l = -\frac{100}{2(-2)} = -\frac{100}{-4} = 25$ mètres. La largeur qui maximise la surface est 25 m. La surface maximale est $S(25) = -2(25)^2 + 100(25) = -2(625) + 2500 = -1250 + 2500 = 1250$ m². La longueur correspondante serait $L = 100 - 2(25) = 50$ m.

Les fonctions du second degré sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes :

• Physique : trajectoire d'un projectile (balistique), chute libre (position en fonction du temps), énergie cinétique.
• Économie : fonctions de coût, de recette, de profit (souvent quadratiques).
• Biologie : croissance de populations dans certains modèles.
• Ingénierie : conception de ponts suspendus (câbles paraboliques), réflecteurs paraboliques.

Méthodologie :

1. Comprendre le problème : Identifier les grandeurs en jeu et ce qui est recherché.
2. Choisir les variables : Définir la variable indépendante ($x$) et la variable dépendante ($f(x)$) appropriées.
3. Établir la relation : Traduire les informations du problème en une équation ou une fonction du second degré. Cela peut impliquer des formules connues (surface, vitesse, coût...).
4. Résoudre/Analyser : Appliquer les outils vus précédemment (résolution d'équation, étude de signe, recherche d'extremum).
5. Interpréter le résultat : Donner une réponse claire et pertinente dans le contexte du problème.

Pour trouver les points d'intersection entre deux courbes représentatives de fonctions, on résout l'équation $f(x) = g(x)$. Si l'une des fonctions est du second degré et l'autre est linéaire, ou si les deux sont du second degré, on aboutit souvent à une équation du second degré.

Cas 1 : Intersection d'une parabole et d'une droite Soit $P_f$ la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ et $D_g$ la droite d'équation $y = mx + p$. Pour trouver leurs points d'intersection, on résout $ax^2 + bx + c = mx + p$. Cela se ramène à une équation du second degré : $ax^2 + (b-m)x + (c-p) = 0$.

• Si $\Delta > 0$ : deux points d'intersection.
• Si $\Delta = 0$ : un point d'intersection (la droite est tangente à la parabole).
• Si $\Delta < 0$ : aucun point d'intersection.

Exemple : Intersection de $y = x^2 - 2x + 1$ et $y = x + 1$. $x^2 - 2x + 1 = x + 1$ $x^2 - 2x - x + 1 - 1 = 0$ $x^2 - 3x = 0$ $x(x - 3) = 0$ Les solutions sont $x=0$ et $x=3$. Pour $x=0$, $y = 0+1 = 1$. Point $(0, 1)$. Pour $x=3$, $y = 3+1 = 4$. Point $(3, 4)$. Les deux courbes se coupent en deux points : $(0,1)$ et $(3,4)$.

Cas 2 : Intersection de deux paraboles Soit $P_f$ d'équation $y = a_1x^2 + b_1x + c_1$ et $P_g$ d'équation $y = a_2x^2 + b_2x + c_2$. Pour trouver leurs points d'intersection, on résout $a_1x^2 + b_1x + c_1 = a_2x^2 + b_2x + c_2$. Cela se ramène à une équation du second degré (si $a_1 \neq a_2$) : $(a_1 - a_2)x^2 + (b_1 - b_2)x + (c_1 - c_2) = 0$. Si $a_1 = a_2$, l'équation devient linéaire.

Méthodologie :

1. Égaler les expressions des deux fonctions : $f(x) = g(x)$.
2. Réarranger l'équation pour obtenir une forme $Ax^2 + Bx + C = 0$.
3. Résoudre cette équation du second degré (ou linéaire si $A=0$) pour trouver les abscisses $x$ des points d'intersection.
4. Pour chaque $x$ trouvé, calculer l'ordonnée $y$ correspondante en le substituant dans l'une des fonctions initiales ($f(x)$ ou $g(x)$).
5. Exprimer les points d'intersection sous forme de coordonnées $(x, y)$.