Fonction exponentielle

Pour bien comprendre la fonction exponentielle, il est essentiel de revoir les bases des puissances.

• Définition des puissances entières et rationnelles

  • Pour un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ non nul : $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ fois).
  • Par convention : $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$).
  • Pour un entier relatif $n$ négatif : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (pour $a \neq 0$).
  • Pour un nombre rationnel $\frac{p}{q}$ (où $p$ est entier et $q$ est entier non nul) : $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} = (\sqrt[q]{a})^p$ (pour $a > 0$).
    • Exemple : $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$.

• Propriétés des puissances Ces règles sont fondamentales et s'appliqueront aussi à la fonction exponentielle :

  • $a^n \times a^m = a^{n+m}$
  • $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
  • $(a^n)^m = a^{nm}$
  • $(ab)^n = a^n b^n$
  • $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

• Limites des fonctions puissance Une fonction puissance est de la forme $f(x) = x^n$ où $n$ est un entier.

  • Si $n > 0$ :
    • $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$
    • $\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ si $n$ est pair, et $\lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty$ si $n$ est impair.
  • Si $n < 0$ :
    • $\lim_{x \to +\infty} x^n = 0$
    • $\lim_{x \to -\infty} x^n = 0$

Imaginez une quantité qui augmente (ou diminue) à un rythme proportionnel à sa propre valeur. Par exemple, une population de bactéries dont le taux de natalité dépend du nombre de bactéries déjà présentes. Mathématiquement, cela se traduit par une fonction $f$ telle que sa dérivée $f'$ est égale à la fonction elle-même, c'est-à-dire $f'(x) = f(x)$.

• Recherche d'une fonction $f$ telle que $f' = f$ Si nous cherchons une fonction qui, lorsqu'on la dérive, reste identique, nous entrons dans le domaine des équations différentielles. La fonction exponentielle est la solution à ce problème.

• Condition initiale $f(0) = 1$ Pour qu'il n'y ait qu'une seule fonction répondant à $f' = f$, nous devons ajouter une condition initiale. La plus courante est $f(0)=1$. Cette condition "fixe" le point de départ de notre fonction.

• Unicité de cette fonction Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie :

  1. $f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
  2. $f(0) = 1$ Cette fonction est la fonction exponentielle.

La fonction exponentielle est LA solution unique au problème précédent.

• Définition formelle par l'équation différentielle La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivable telle que : $\begin{cases} f'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R} \\ f(0) = 1 \end{cases}$ C'est une définition très puissante car elle caractérise parfaitement la fonction.

• Notation $\exp(x)$ et $e^x$ Historiquement, on la notait $\exp(x)$. Cependant, une autre notation est très courante et plus pratique : $e^x$. Le nombre $e$ est l'image de 1 par la fonction exponentielle, c'est-à-dire $e = \exp(1)$. La notation $e^x$ est la plus utilisée car elle met en évidence les propriétés de puissance de la fonction exponentielle.

• Valeur de $e$ (nombre d'Euler) Le nombre $e$ est une constante mathématique fondamentale, un nombre irrationnel (comme $\pi$). Sa valeur approchée est : $e \approx 2,718281828...$ Il est parfois appelé le nombre d'Euler.

Les propriétés de la fonction exponentielle ressemblent beaucoup à celles des puissances. C'est pourquoi la notation $e^x$ est si intuitive.

• $\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)$ ou $e^{a+b} = e^a e^b$ C'est la propriété fondamentale. Elle signifie que la fonction exponentielle transforme une somme en produit.

  • Exemple : $e^{x+2} = e^x e^2$.

• $\exp(a-b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)}$ ou $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ Cette propriété découle directement de la précédente.

  • Preuve : $e^{a-b} = e^{a+(-b)} = e^a e^{-b}$. Or, $e^0 = e^{b+(-b)} = e^b e^{-b} = 1$, donc $e^{-b} = \frac{1}{e^b}$. D'où le résultat.
  • Exemple : $e^{3-x} = \frac{e^3}{e^x}$.

• $\exp(na) = (\exp(a))^n$ ou $e^{na} = (e^a)^n$ Pour tout entier relatif $n$. Cette propriété généralise les puissances.

  • Exemple : $e^{2x} = (e^x)^2$.
  • On a aussi $\exp(x)^p = \exp(px)$ pour tout $p \in \mathbb{Q}$.
  • Et plus généralement, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{rx} = (e^x)^r$ pour tout $r \in \mathbb{Q}$.

• Conséquences importantes :

  • $e^0 = 1$ (définition)
  • $e^1 = e$ (définition)
  • $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$

Maintenant, analysons le comportement de cette fonction.

• Dérivée de $\exp(x)$ Par définition, la dérivée de $\exp(x)$ est la fonction elle-même : ==$(\exp(x))' = \exp(x)$ ou $(e^x)' = e^x$.== C'est ce qui la rend si unique et si importante !

• Sens de variation (strictement croissante) Puisque $(e^x)' = e^x$, et que nous allons voir que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la dérivée est toujours positive. Une fonction dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

• Signe (strictement positive) On sait que $e^0 = 1$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x = (e^{x/2})^2$. Puisqu'un carré est toujours positif ou nul, $e^x \ge 0$. Si $e^x = 0$, alors $e^{x/2}$ devrait être 0, ce qui n'est pas possible car la fonction est strictement croissante et $e^0=1$. Donc, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$. La courbe de la fonction exponentielle est toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

L'ensemble de définition de la fonction exponentielle est $\mathbb{R}$. Il faut donc étudier son comportement quand $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$.

• $\lim_{x \to +\infty} \exp(x) = +\infty$ La fonction exponentielle croît très rapidement. Elle "explose" vers l'infini.

• $\lim_{x \to -\infty} \exp(x) = 0$ Quand $x$ prend des valeurs très négatives, $e^x$ s'approche de 0 sans jamais l'atteindre. L'axe des abscisses ($y=0$) est une asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$.

• Comparaison avec les fonctions puissance : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\exp(x)}{x^n} = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ C'est une limite de croissance comparée très importante. Elle signifie que l'exponentielle "l'emporte" sur toutes les fonctions puissance en $+\infty$. Quelle que soit la puissance $n$, $e^x$ croît plus vite que $x^n$.

  • Cas particulier : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$.

• Comparaison en $-\infty$ : $\lim_{x \to -\infty} x^n \exp(x) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ De même, en $-\infty$, l'exponentielle "l'emporte" sur les fonctions puissance. Quelle que soit la puissance $n$, $e^x$ (qui tend vers 0) fait tendre le produit $x^n e^x$ vers 0.

  • Cas particulier : $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$.

• Tracé de la courbe $y = e^x$ La courbe de la fonction exponentielle a une forme caractéristique :

  • Elle est toujours au-dessus de l'axe des abscisses ($y>0$).
  • Elle est strictement croissante.
  • Elle s'approche de l'axe des abscisses en $-\infty$ (asymptote horizontale $y=0$).
  • Elle monte très rapidement en $+\infty$.

• Point caractéristique $(0,1)$ Puisque $e^0 = 1$, la courbe de la fonction exponentielle passe toujours par le point de coordonnées $(0,1)$. C'est un repère essentiel.

• Tangente à l'origine La pente de la tangente en un point $x_0$ est donnée par $f'(x_0) = e^{x_0}$. Au point $(0,1)$, la pente de la tangente est $f'(0) = e^0 = 1$. L'équation de la tangente à la courbe de $y=e^x$ au point $(0,1)$ est $y - 1 = 1(x - 0)$, soit ==$y = x + 1$==.

Souvent, la fonction exponentielle n'est pas simplement $e^x$, mais $e$ élevée à une autre fonction $u(x)$.

• Formule de dérivation $(e^u)' = u'e^u$ Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $f(x) = e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est : $(e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}$ C'est une application de la règle de dérivation des fonctions composées.

• Exemples d'application

  • Si $f(x) = e^{2x+3}$ : Ici, $u(x) = 2x+3$, donc $u'(x) = 2$. Alors $f'(x) = 2e^{2x+3}$.
  • Si $g(x) = e^{-x^2}$ : Ici, $u(x) = -x^2$, donc $u'(x) = -2x$. Alors $g'(x) = -2xe^{-x^2}$.
  • Si $h(x) = x e^x$ : C'est un produit $uv$, avec $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$. $h'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$.

• Étude de fonctions composées La dérivée $u'(x)e^{u(x)}$ est utile pour étudier le sens de variation de $f(x) = e^{u(x)}$. Puisque $e^{u(x)}$ est toujours strictement positif, le signe de $f'(x)$ est le même que le signe de $u'(x)$. Donc, $f(x) = e^{u(x)}$ est croissante quand $u(x)$ est croissante, et décroissante quand $u(x)$ est décroissante.

La stricte croissance de la fonction exponentielle est la clé pour résoudre les équations.

• Équations de type $e^x = k$

  • Si $k \le 0$, l'équation n'a aucune solution car $e^x$ est toujours strictement positif.
  • Si $k > 0$, l'équation a une unique solution. Pour la trouver, on utilise la fonction réciproque de l'exponentielle, le logarithme népérien (noté $\ln$). $e^x = k \iff x = \ln(k)$.
    • Exemple : $e^x = 5 \iff x = \ln(5)$.

• Équations de type $e^{u(x)} = e^{v(x)}$ Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante et injective (un seul $x$ pour un seul $y$), on a : ==$e^{u(x)} = e^{v(x)} \iff u(x) = v(x)$==. Il suffit de résoudre l'équation des exposants.

  • Exemple : $e^{2x+1} = e^{x-3} \iff 2x+1 = x-3 \iff x = -4$.

• Utilisation du logarithme népérien (introduction) Le logarithme népérien (noté $\ln$) est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Cela signifie que :

  • Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\ln(e^x) = x$.
  • Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$. Ces propriétés sont cruciales pour "enlever" l'exponentielle ou le logarithme.

La stricte croissance est également essentielle pour les inéquations.

• Inéquations de type $e^x > k$

  • Si $k \le 0$, l'inéquation est toujours vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$ car $e^x > 0$.
  • Si $k > 0$, on utilise le logarithme népérien : $e^x > k \iff x > \ln(k)$ (car $\ln$ est strictement croissante).
    • Exemple : $e^x > 7 \iff x > \ln(7)$.
  • De même, $e^x < k \iff x < \ln(k)$ (pour $k>0$).
  • Exemple : $e^x < -2$ n'a aucune solution.

• Inéquations de type $e^{u(x)} < e^{v(x)}$ Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante : $e^{u(x)} < e^{v(x)} \iff u(x) < v(x)$. On peut simplement comparer les exposants.

  • Exemple : $e^{x^2} \le e^{x+2} \iff x^2 \le x+2 \iff x^2 - x - 2 \le 0$. On résout l'inéquation du second degré : racines -1 et 2. La parabole est ouverte vers le haut, donc l'inéquation est vérifiée entre les racines. Solution : $x \in [-1, 2]$.

• Prise en compte du sens de variation Il est fondamental de se souvenir que la fonction exponentielle est strictement croissante. Si elle était décroissante, le sens de l'inégalité changerait.

• Croissance exponentielle (population, capital) Un phénomène de croissance est dit exponentiel si son taux de variation instantané est proportionnel à la quantité elle-même. La fonction de la forme $f(t) = C e^{kt}$ (où $C>0$ et $k>0$) modélise une croissance exponentielle.

  • Exemple de population : Si une population de bactéries double toutes les heures, sa croissance est exponentielle.
  • Exemple de capital : Des intérêts composés continuellement peuvent être modélisés par une croissance exponentielle.

• Décroissance exponentielle (désintégration radioactive, refroidissement) Similairement, une décroissance est exponentielle si son taux de variation instantané est proportionnel et négatif par rapport à la quantité. La fonction de la forme $f(t) = C e^{kt}$ (où $C>0$ et $k<0$) modélise une décroissance exponentielle.

  • Désintégration radioactive : La quantité de matière radioactive diminue exponentiellement avec le temps. La demi-vie est un concept clé ici.
  • Refroidissement : La loi de Newton sur le refroidissement stipule qu'un objet se refroidit à un taux proportionnel à la différence de température entre l'objet et son environnement.

• Taux de variation instantané Pour une fonction $f(t) = C e^{kt}$, sa dérivée est $f'(t) = C k e^{kt} = k \cdot (C e^{kt}) = k \cdot f(t)$. Cela signifie que la vitesse de variation $f'(t)$ est proportionnelle à la valeur actuelle $f(t)$, avec $k$ comme coefficient de proportionnalité (ou taux de croissance/décroissance).

La fonction exponentielle apparaît souvent dans des problèmes où l'on cherche à maximiser ou minimiser une quantité.

• Recherche de maximum/minimum de fonctions avec $\exp(x)$ Pour trouver les extrema d'une fonction $f(x)$ impliquant $e^x$, on suit la méthode classique :

  1. Calculer la dérivée $f'(x)$.
  2. Étudier le signe de $f'(x)$.
  3. En déduire les variations de $f(x)$ et identifier les extrema locaux.
  • Exemple : Soit $f(x) = (x-1)e^x$. $f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = e^x(1+x-1) = xe^x$. Puisque $e^x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x$. $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ (f décroissante) $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ (f croissante) Donc, $f$ admet un minimum en $x=0$, de valeur $f(0) = (0-1)e^0 = -1$.

• Utilisation de la dérivée seconde pour la convexité La dérivée seconde $f''(x)$ permet de déterminer la convexité ou la concavité de la fonction et de trouver les points d'inflexion.

  • Si $f''(x) > 0$, la fonction est convexe (sa courbure est "vers le haut").
  • Si $f''(x) < 0$, la fonction est concave (sa courbure est "vers le bas").
  • Un point d'inflexion est un point où la convexité change, c'est-à-dire où $f''(x)$ s'annule et change de signe.

• Interprétation des résultats Dans un problème concret, un maximum ou un minimum correspond souvent à une valeur optimale (production maximale, coût minimal, etc.). La convexité peut indiquer des rendements croissants ou décroissants.

Il y a une forte analogie entre la fonction exponentielle et les suites géométriques.

• Relation entre croissance exponentielle et suites géométriques Une suite géométrique $(u_n)$ est définie par $u_{n+1} = q \cdot u_n$, où $q$ est la raison. On peut écrire $u_n = u_0 \cdot q^n$. Si on pose $q = e^k$, alors $u_n = u_0 (e^k)^n = u_0 e^{kn}$. On voit que la croissance d'une suite géométrique est une forme discrète de croissance exponentielle.

  • La fonction exponentielle $f(x) = C e^{kx}$ est la version continue de la suite géométrique. Lorsque le temps $t$ varie de manière continue, on parle d'exponentielle. Quand il varie par "sauts" (entiers $n$), on parle de suite géométrique.

• Exemples concrets

  • Placement bancaire : Si vous placez de l'argent avec des intérêts composés annuellement, votre capital évolue comme une suite géométrique. Si les intérêts sont composés continuellement, il évolue de manière exponentielle.
  • Population : Une population qui double tous les $X$ ans suit une croissance géométrique si on regarde la population à ces intervalles $X$, $2X$, $3X$, etc. Mais la fonction continue sur le temps est exponentielle.

• Limites de ces modèles Les modèles exponentiels et géométriques sont puissants mais ont leurs limites.

  • Une croissance exponentielle ne peut pas durer indéfiniment dans le monde réel (ressources limitées, prédateurs, etc.). On utilise alors d'autres modèles, comme la fonction logistique, qui intègrent une capacité maximale.
  • Une décroissance exponentielle peut être très précise, comme pour la désintégration radioactive, mais d'autres phénomènes (refroidissement, amortissement) peuvent être influencés par des facteurs externes.