Fonctions exponentielles

La fonction exponentielle est définie de manière unique comme la solution de l'équation différentielle la plus simple mais la plus puissante : $y' = y$ avec la condition initiale $y(0) = 1$

Cela signifie que la fonction exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui prend la valeur 1 en 0. Cette fonction unique est notée $\exp(x)$ ou, plus fréquemment, $e^x$. Le nombre $e$ est une constante mathématique irrationnelle, appelée nombre d'Euler, dont la valeur approchée est $e \approx 2,71828$.

L'existence et l'unicité de cette fonction sont des résultats fondamentaux de l'analyse mathématique.

Points clés :

• Équation différentielle : $y' = y$
• Condition initiale : $y(0) = 1$
• Notation : $\exp(x)$ ou $e^x$
• Signification : La fonction exponentielle est la seule fonction qui a un taux de croissance instantané (sa dérivée) égal à sa propre valeur.

Les propriétés algébriques de la fonction exponentielle sont très similaires à celles des puissances, ce qui justifie la notation $e^x$. Elles sont essentielles pour simplifier les calculs et résoudre les équations.

Soient $a$ et $b$ des nombres réels, et $n$ un entier.

1. Produit : $\exp(a+b) = \exp(a) \times \exp(b)$ ou $e^{a+b} = e^a \times e^b$
   • Exemple : $e^{x+2} = e^x \times e^2$
2. Quotient : $\exp(a-b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)}$ ou $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
   • Exemple : $e^{3x-1} = \frac{e^{3x}}{e^1} = \frac{e^{3x}}{e}$
3. Puissance : $\exp(na) = (\exp(a))^n$ ou $e^{na} = (e^a)^n$
   • Exemple : $e^{2x} = (e^x)^2$
4. Inverse : $\exp(-a) = \frac{1}{\exp(a)}$ ou $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$
   • Exemple : $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$

Ces propriétés découlent directement de la définition de la fonction exponentielle et de son caractère unique. Elles transforment les sommes en produits, les différences en quotients, ce qui est très pratique en calcul.

Quelques valeurs importantes et une propriété fondamentale concernant le signe :

• $e^0 = 1$ : C'est la condition initiale de la définition.
• $e^1 = e$ : La valeur de la fonction en 1 est le nombre d'Euler lui-même.
• $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ : La fonction exponentielle prend toujours des valeurs strictement positives.
  • Conséquence : L'exponentielle ne s'annule jamais et ne prend jamais de valeurs négatives.
• Croissance rapide : La fonction exponentielle croît très rapidement lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Même pour des valeurs de $x$ relativement petites, $e^x$ devient très grand.
  • Exemple : $e^5 \approx 148$, $e^{10} \approx 22026$.

La propriété $e^x > 0$ est cruciale : elle signifie que l'exponentielle ne peut jamais être égale à zéro ou à un nombre négatif.

Comme mentionné dans la définition, la fonction exponentielle est sa propre dérivée. C'est l'une de ses propriétés les plus remarquables et les plus utiles.

• Dérivée de $e^x$ : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, la dérivée de la fonction $f(x) = e^x$ est $f'(x) = e^x$.
  • C'est la seule fonction non nulle qui est sa propre dérivée.
• Dérivée de $e^{u(x)}$ (fonctions composées) : Si $u$ est une fonction dérivable, alors la dérivée de la fonction $g(x) = e^{u(x)}$ est $g'(x) = u'(x)e^{u(x)}$.
  • Exemple 1 : Soit $f(x) = e^{2x+1}$. Ici, $u(x) = 2x+1$, donc $u'(x) = 2$. La dérivée est $f'(x) = 2e^{2x+1}$.
  • Exemple 2 : Soit $f(x) = e^{-x^2}$. Ici, $u(x) = -x^2$, donc $u'(x) = -2x$. La dérivée est $f'(x) = -2xe^{-x^2}$.

La formule de dérivation des fonctions composées est très importante et est fréquemment utilisée dans les exercices. Il faut bien identifier la fonction $u(x)$ "à l'intérieur" de l'exponentielle.

Puisque la dérivée de $f(x) = e^x$ est $f'(x) = e^x$, et que nous savons que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, on peut en déduire le sens de variation de la fonction exponentielle.

• Signe de la dérivée : $f'(x) = e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
• Sens de variation : Puisque sa dérivée est toujours strictement positive, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Tableau de variation :

La stricte croissance de la fonction exponentielle a une conséquence majeure : elle conserve l'ordre. Si $a < b$, alors $e^a < e^b$. Réciproquement, si $e^a < e^b$, alors $a < b$. Cela est fondamental pour résoudre les inéquations.

L'ensemble de définition de la fonction exponentielle est $\mathbb{R}$. Il est donc important d'étudier son comportement aux infinis.

1. Limite en $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ La fonction exponentielle croît sans limite lorsque $x$ devient très grand et positif. Elle croît même "plus vite" que n'importe quelle fonction polynomiale.
2. Limite en $-\infty$ : $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ Lorsque $x$ devient très grand et négatif, la valeur de $e^x$ s'approche de 0 sans jamais l'atteindre.
   • Exemple : $e^{-10} = \frac{1}{e^{10}} \approx \frac{1}{22026}$, ce qui est très proche de 0.

==La limite en $-\infty$ implique que l'axe des abscisses (la droite d'équation $y=0$) est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle en $-\infty$.==

Croissance comparée (introduction) : La fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quelle fonction puissance (polynôme) en $+\infty$. Des résultats importants (que vous étudierez plus en détail) sont :

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n > 0$.
• $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ pour tout $n > 0$.

La courbe représentative de la fonction $f(x) = e^x$ possède des caractéristiques importantes :

• Elle passe par le point $(0, 1)$ car $e^0 = 1$.
• Elle passe par le point $(1, e)$ car $e^1 = e \approx 2,718$.
• Elle est toujours au-dessus de l'axe des abscisses ($y > 0$).
• L'axe des abscisses ($y=0$) est une asymptote horizontale en $-\infty$.
• La courbe monte très rapidement vers $+\infty$ en $+\infty$.
• La tangente à la courbe au point $(0,1)$ a pour coefficient directeur $f'(0) = e^0 = 1$. Son équation est $y - 1 = 1(x - 0)$, soit $y = x + 1$.
• La fonction exponentielle est une fonction convexe sur $\mathbb{R}$. Intuitivement, cela signifie que la courbe "tourne sa concavité vers le haut" ou que tous les segments de droite reliant deux points de la courbe sont au-dessus de la courbe. (La convexité est liée au signe de la dérivée seconde, qui est $e^x$, toujours positive).

Tracé de la courbe $y = e^x$ : (Imaginez une courbe qui part de très près de l'axe des abscisses à gauche, passe par $(0,1)$, puis s'élève de plus en plus verticalement vers la droite.)

Pour résoudre une équation de la forme $e^x = k$, on utilise la fonction $\ln$, qui est la fonction réciproque de $\exp$. Par définition, si $y = e^x$, alors $x = \ln(y)$. Cette relation n'est valable que si $y > 0$.

1. Cas $k > 0$ : Si $e^x = k$ avec $k > 0$, alors $x = \ln(k)$.

   • Exemple : $e^x = 5 \implies x = \ln(5)$. (La solution est unique)
   • Exemple : $e^{2x+1} = 3 \implies 2x+1 = \ln(3) \implies 2x = \ln(3) - 1 \implies x = \frac{\ln(3) - 1}{2}$.

2. Cas $k = 0$ : L'équation $e^x = 0$ n'a aucune solution. En effet, nous savons que $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

3. Cas $k < 0$ : L'équation $e^x = k$ avec $k < 0$ n'a également aucune solution. Toujours parce que $e^x$ est toujours strictement positif.

   • Exemple : $e^x = -2$ n'a pas de solution.

La clé est de se souvenir que $e^x$ est toujours positif. Si $k \le 0$, il n'y a pas de solution.

La résolution des inéquations utilise la stricte croissance de la fonction exponentielle. Si $f(x) = e^x$ est strictement croissante, alors $e^A < e^B \iff A < B$.

1. Cas $k > 0$ :

   • $e^x > k \iff e^x > e^{\ln(k)} \iff x > \ln(k)$. L'ensemble des solutions est $S = ]\ln(k), +\infty[$.
   • $e^x < k \iff e^x < e^{\ln(k)} \iff x < \ln(k)$. L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, \ln(k)[$.
   • Exemple : $e^{x-1} < 4 \implies x-1 < \ln(4) \implies x < \ln(4) + 1$.

2. Cas $k = 0$ :

   • $e^x > 0$ : Cette inéquation est toujours vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$. L'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R}$.
   • $e^x < 0$ : Cette inéquation n'a aucune solution. L'ensemble des solutions est $S = \emptyset$.

3. Cas $k < 0$ :

   • $e^x > k$ : Cette inéquation est toujours vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$ (puisque $e^x$ est toujours positif, il est toujours supérieur à un nombre négatif). L'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R}$.
   • $e^x < k$ : Cette inéquation n'a aucune solution. L'ensemble des solutions est $S = \emptyset$.

Il est crucial de bien analyser le signe de $k$ avant d'appliquer le logarithme.

Pour les expressions plus complexes, on utilise souvent des techniques de simplification ou de changement de variable.

1. Mise en facteur :
   • Exemple : $e^{2x} - 3e^x = 0$ On peut factoriser par $e^x$ : $e^x(e^x - 3) = 0$. Puisque $e^x \neq 0$, on doit avoir $e^x - 3 = 0 \implies e^x = 3 \implies x = \ln(3)$.
2. Changement de variable :
   • Exemple : $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$ C'est une équation du second degré déguisée. Posons $X = e^x$. L'équation devient $X^2 - 5X + 6 = 0$. Les solutions de cette équation quadratique sont $X = 2$ et $X = 3$. On revient à la variable $x$ : $e^x = 2 \implies x = \ln(2)$ $e^x = 3 \implies x = \ln(3)$ Les solutions sont $\ln(2)$ et $\ln(3)$.
   • Attention : Si le changement de variable avait donné une solution $X \le 0$, par exemple $X = -1$, cette solution aurait été rejetée car $e^x$ ne peut pas être négatif ou nul.
3. Utilisation des propriétés algébriques :
   • Exemple : $\frac{e^{x+2}}{e^{2x-1}} = e^3$ En utilisant la propriété du quotient : $e^{(x+2)-(2x-1)} = e^3$ $e^{-x+3} = e^3$ Puisque la fonction exponentielle est injective (un-à-un), on peut égaler les exposants : $-x+3 = 3 \implies -x = 0 \implies x = 0$.

Toujours vérifier les solutions, surtout après un changement de variable, pour s'assurer qu'elles sont valides dans le contexte de l'exponentielle ($e^x > 0$).

La fonction exponentielle est la base des modèles de croissance ou de décroissance dont le taux de variation est proportionnel à la quantité elle-même. C'est l'idée derrière l'équation $y' = ky$.

• Croissance démographique : Si une population croît à un taux constant par habitant, sa taille $N(t)$ à l'instant $t$ peut être modélisée par $N(t) = N_0 e^{kt}$, où $N_0$ est la population initiale et $k$ est le taux de croissance.
• Décroissance radioactive : La quantité de matière radioactive $Q(t)$ restante après un temps $t$ est donnée par $Q(t) = Q_0 e^{-\lambda t}$, où $Q_0$ est la quantité initiale et $\lambda$ est la constante de désintégration (liée à la demi-vie).
• Refroidissement de Newton : La différence de température entre un objet et son environnement diminue exponentiellement avec le temps.
• Intérêts composés : Si un capital $C_0$ est placé à un taux d'intérêt continu $r$, sa valeur $C(t)$ après $t$ années est $C(t) = C_0 e^{rt}$.

==Ces modèles sont caractérisés par un taux de variation relatif constant. C'est-à-dire que $\frac{y'(t)}{y(t)} = k$.==

La fonction exponentielle apparaît dans des problèmes où l'on cherche à maximiser ou minimiser une quantité. Ces problèmes sont résolus en étudiant la dérivée de la fonction à optimiser.

• Exemple : Trouver le maximum de la fonction $f(x) = x e^{-x}$ sur $\mathbb{R}^+$.
  1. Calculer la dérivée : $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$.
  2. Étudier le signe de la dérivée : $e^{-x}$ est toujours positif. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $(1-x)$. $1-x > 0 \implies x < 1$ $1-x < 0 \implies x > 1$
  3. Tableau de variation : $f$ croît sur $[0, 1]$ et décroît sur $[1, +\infty[$.
  4. Conclusion : La fonction $f$ atteint un maximum en $x=1$. La valeur maximale est $f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$.

Les problèmes d'optimisation avec des exponentielles sont courants et nécessitent une maîtrise des règles de dérivation (produit, quotient, chaîne).

Il existe un lien étroit entre la fonction exponentielle et les suites géométriques. Une suite géométrique est définie par $u_{n+1} = q \cdot u_n$, ou $u_n = u_0 \cdot q^n$.

Considérons une suite définie par $u_n = e^{an}$ pour une constante réelle $a$. On peut écrire $u_n = (e^a)^n$. Si on pose $q = e^a$, alors $u_n = q^n$. Cette suite est donc une suite géométrique de raison $q = e^a$.

• Raison de la suite : $q = e^a$.
• Comportement à l'infini :
  • Si $a > 0$, alors $q = e^a > 1$. La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ (croissance exponentielle).
  • Si $a = 0$, alors $q = e^0 = 1$. La suite $(u_n)$ est constante ($u_n = 1$).
  • Si $a < 0$, alors $0 < q = e^a < 1$. La suite $(u_n)$ tend vers $0$ (décroissance exponentielle).

Ce lien permet de comprendre la croissance et la décroissance exponentielle dans un cadre discret (les suites) et continu (les fonctions).