Géométrie dans l'espace : droites et plans

Dans l'espace, nous utilisons un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

• $O$ est l'origine du repère.
• $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ sont trois vecteurs unitaires (de longueur 1) et orthogonaux deux à deux. Ils définissent les directions des axes $Ox$, $Oy$ et $Oz$.

Coordonnées d'un point

Tout point $M$ de l'espace est uniquement déterminé par ses coordonnées $(x_M; y_M; z_M)$. Cela signifie que $\vec{OM} = x_M \vec{i} + y_M \vec{j} + z_M \vec{k}$.

• $x_M$ est l'abscisse
• $y_M$ est l'ordonnée
• $z_M$ est la cote

Exemple : Le point $A(2; -1; 3)$ a pour abscisse 2, ordonnée -1 et cote 3.

Coordonnées d'un vecteur

Un vecteur $\vec{u}$ est aussi représenté par ses coordonnées $(x_u; y_u; z_u)$ dans ce repère. Cela signifie que $\vec{u} = x_u \vec{i} + y_u \vec{j} + z_u \vec{k}$.

Si tu as deux points $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$, alors les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont : $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$ C'est la différence des coordonnées du point d'arrivée moins celles du point de départ.

Exemple : Soient $A(1; 2; 3)$ et $B(4; 0; -1)$. Les coordonnées de $\vec{AB}$ sont $(4-1; 0-2; -1-3)$, soit $\vec{AB}(3; -2; -4)$.

Le repère orthonormé est très pratique car il permet de calculer des distances.

Formule de la distance

La distance entre deux points $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ est donnée par la formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ Cette formule est une généralisation du théorème de Pythagore dans l'espace. Imagine un pavé droit dont $AB$ est la diagonale principale.

Exemple : Reprenons $A(1; 2; 3)$ et $B(4; 0; -1)$. $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (0-2)^2 + (-1-3)^2}$ $AB = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.

Norme d'un vecteur

La norme d'un vecteur $\vec{u}(x_u; y_u; z_u)$, notée $||\vec{u}||$, est sa longueur. C'est la distance entre l'origine et son extrémité si le vecteur part de l'origine. $||\vec{u}|| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$ Note que la distance $AB$ est égale à la norme du vecteur $\vec{AB}$.

Exemple : Si $\vec{u}(3; -2; -4)$, alors $||\vec{u}|| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}$. C'est bien la même valeur que $AB$ car $\vec{u} = \vec{AB}$.

Le milieu d'un segment est le point qui se trouve exactement à égale distance des deux extrémités.

Formule des coordonnées du milieu

Pour trouver les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$ avec $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$, on fait la moyenne des coordonnées : $M \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2} \right)$

Exemple : Soient $A(1; 2; 3)$ et $B(4; 0; -1)$. Le milieu $M$ de $[AB]$ a pour coordonnées : $x_M = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2}$ $y_M = \frac{2+0}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $z_M = \frac{3+(-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Donc $M(\frac{5}{2}; 1; 1)$.

Définition de vecteurs coplanaires

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont dits coplanaires si, lorsqu'on les représente avec la même origine, leurs extrémités et l'origine appartiennent à un même plan. En d'autres termes, ils peuvent être contenus dans un même plan.

Combinaison linéaire de vecteurs

Un vecteur $\vec{w}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, alors $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Critère de coplanarité

Soient $\vec{u}(x_u; y_u; z_u)$, $\vec{v}(x_v; y_v; z_v)$ et $\vec{w}(x_w; y_w; z_w)$ trois vecteurs. Ils sont coplanaires si et seulement si l'un d'eux peut s'exprimer comme combinaison linéaire des deux autres. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, alors $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement s'il existe des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. Cela conduit à un système de trois équations à deux inconnues : $x_w = a x_u + b x_v$ $y_w = a y_u + b y_v$ $z_w = a z_u + b z_v$ Si ce système a une solution $(a, b)$, alors les vecteurs sont coplanaires.

Critère important : Trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si le déterminant de leurs coordonnées est nul. $det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{vmatrix} = 0$. Ce déterminant est $x_u(y_v z_w - z_v y_w) - y_u(x_v z_w - z_v x_w) + z_u(x_v y_w - y_v x_w)$. Il est nul si les vecteurs sont coplanaires.

Les vecteurs nous aident à vérifier l'alignement et le parallélisme.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ (ou $\vec{v} = k\vec{u}$). En termes de coordonnées : $(x_u; y_u; z_u) = k(x_v; y_v; z_v)$, ce qui signifie $x_u = kx_v$, $y_u = ky_v$, $z_u = kz_v$. Si aucun des vecteurs n'est le vecteur nul, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Condition d'alignement de points

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (ou $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$) sont colinéaires. Il suffit de vérifier la proportionnalité de leurs coordonnées.

Exemple : Soient $A(1; 0; 2)$, $B(3; 2; 6)$ et $C(4; 3; 8)$. $\vec{AB}(3-1; 2-0; 6-2) = \vec{AB}(2; 2; 4)$. $\vec{AC}(4-1; 3-0; 8-2) = \vec{AC}(3; 3; 6)$. On voit que $3 = k \times 2 \Rightarrow k = 3/2$. $3 = k \times 2 \Rightarrow k = 3/2$. $6 = k \times 4 \Rightarrow k = 3/2$. Comme $\vec{AC} = \frac{3}{2} \vec{AB}$, les vecteurs sont colinéaires, donc les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Condition de parallélisme de droites

Deux droites $D_1$ et $D_2$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Si $\vec{u_1}$ est un vecteur directeur de $D_1$ et $\vec{u_2}$ est un vecteur directeur de $D_2$, alors $D_1 \parallel D_2 \iff \vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires.

Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre réel. Il est crucial pour déterminer l'orthogonalité.

Définition du produit scalaire

Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

1. Avec les coordonnées : Si $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$, alors : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$
2. Avec les normes et l'angle : Si $\theta$ est l'angle non orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$, alors : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$

Propriétés du produit scalaire

• Commutativité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• Distributivité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
• Homogénéité : $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
• Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$ (d'où $||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$)

Calcul avec les coordonnées

C'est la méthode la plus courante en terminale pour calculer le produit scalaire. Exemple : Soient $\vec{u}(1; -2; 3)$ et $\vec{v}(4; 0; -1)$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(4) + (-2)(0) + (3)(-1) = 4 + 0 - 3 = 1$.

Orthogonalité de vecteurs

==Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.== C'est une condition très importante en géométrie dans l'espace.

Exemple : Soient $\vec{u}(1; 2; -1)$ et $\vec{v}(3; -1; 1)$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(3) + (2)(-1) + (-1)(1) = 3 - 2 - 1 = 0$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Vecteur directeur d'une droite

Une droite $D$ est caractérisée par un point $A$ par lequel elle passe et un vecteur directeur $\vec{u}$ qui donne sa direction. Tous les vecteurs colinéaires à $\vec{u}$ sont aussi des vecteurs directeurs de $D$.

Point de la droite

Soit $A(x_A; y_A; z_A)$ un point de la droite $D$ et $\vec{u}(a; b; c)$ un vecteur directeur de $D$. Un point $M(x; y; z)$ appartient à la droite $D$ si et seulement si le vecteur $\vec{AM}$ est colinéaire au vecteur $\vec{u}$. C'est-à-dire, il existe un réel $t$ (appelé paramètre) tel que $\vec{AM} = t\vec{u}$.

Équations paramétriques

En coordonnées, cela donne : $x - x_A = ta \implies x = x_A + ta$ $y - y_A = tb \implies y = y_A + tb$ $z - z_A = tc \implies z = z_A + tc$ Ce système est la représentation paramétrique de la droite $D$. Le paramètre $t$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle ($t \in \mathbb{R}$).

Exemple : La droite $D$ passe par $A(1; 2; 3)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(4; 5; 6)$. Sa représentation paramétrique est : $D: \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 5t \\ z = 3 + 6t \end{cases}$, avec $t \in \mathbb{R}$.

Vérification d'appartenance d'un point

Pour savoir si un point $P(x_P; y_P; z_P)$ appartient à une droite $D$ donnée par une représentation paramétrique, il faut vérifier s'il existe une valeur de $t$ qui satisfait les trois équations.

Exemple : Le point $P(5; 7; 9)$ appartient-il à la droite $D$ de l'exemple précédent ? $5 = 1 + 4t \implies 4t = 4 \implies t = 1$ $7 = 2 + 5t \implies 5t = 5 \implies t = 1$ $9 = 3 + 6t \implies 6t = 6 \implies t = 1$ Puisque le même $t=1$ fonctionne pour les trois équations, le point $P$ appartient à la droite $D$.

Deux droites dans l'espace peuvent être :

1. Parallèles : Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
   • Confondue : Si en plus elles ont un point commun.
   • Strictement parallèles : Si elles n'ont aucun point commun.
2. Sécantes : Elles se coupent en un unique point. Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
3. Non coplanaires : Elles ne sont ni parallèles, ni sécantes. Elles ne se coupent pas et ne sont pas contenues dans le même plan. Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

Méthodes d'étude des positions

Soient $D_1$ de vecteur directeur $\vec{u_1}$ et $D_2$ de vecteur directeur $\vec{u_2}$.

1. Étape 1 : Colinéarité des vecteurs directeurs.

   • Si $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires : Les droites $D_1$ et $D_2$ sont parallèles.
     • Pour savoir si elles sont confondues ou strictement parallèles, on prend un point $A_1$ de $D_1$ et on vérifie s'il appartient à $D_2$.
       • Si $A_1 \in D_2$, alors $D_1$ et $D_2$ sont confondues.
       • Si $A_1 \notin D_2$, alors $D_1$ et $D_2$ sont strictement parallèles.
   • Si $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires : Les droites $D_1$ et $D_2$ sont soit sécantes, soit non coplanaires.

2. Étape 2 : Recherche d'un point d'intersection (si les vecteurs ne sont pas colinéaires). On écrit les représentations paramétriques des deux droites, avec des paramètres différents (ex: $t$ pour $D_1$ et $s$ pour $D_2$). $D_1: \begin{cases} x = x_1 + a_1 t \\ y = y_1 + b_1 t \\ z = z_1 + c_1 t \end{cases}$ et $D_2: \begin{cases} x = x_2 + a_2 s \\ y = y_2 + b_2 s \\ z = z_2 + c_2 s \end{cases}$ On cherche $t$ et $s$ qui vérifient : $x_1 + a_1 t = x_2 + a_2 s$ $y_1 + b_1 t = y_2 + b_2 s$ $z_1 + c_1 t = z_2 + c_2 s$

   • Si le système a une solution unique $(t, s)$, les droites sont sécantes. Le point d'intersection s'obtient en remplaçant $t$ dans les équations de $D_1$ (ou $s$ dans celles de $D_2$).
   • Si le système n'a pas de solution, les droites sont non coplanaires.

Définition de l'orthogonalité

Une droite $D$ est orthogonale à un plan $P$ si elle est orthogonale à toutes les droites du plan $P$. En pratique, il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Vecteur normal à un plan

Un vecteur $\vec{n}$ est dit normal à un plan $P$ s'il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs de ce plan. Si $\vec{n}$ est normal à $P$, alors pour tout point $M$ du plan et tout point $A$ du plan, le vecteur $\vec{AM}$ est orthogonal à $\vec{n}$.

Critère d'orthogonalité

Une droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est orthogonale à un plan $P$ si et seulement si $\vec{u}$ est colinéaire à un vecteur normal $\vec{n}$ du plan $P$. C'est-à-dire, $\vec{u} = k\vec{n}$ pour un certain réel $k \neq 0$.

Un plan est uniquement déterminé par :

1. Trois points non alignés : Soient $A$, $B$, $C$ trois points non alignés. Ils définissent un unique plan.
2. Un point et deux vecteurs non colinéaires : Soit un point $A$ et deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires. Ces éléments définissent un plan. Tout point $M$ du plan peut s'écrire $M = A + s\vec{u} + t\vec{v}$, où $s, t \in \mathbb{R}$. C'est une représentation paramétrique du plan.
3. Un point et un vecteur normal : Soit un point $A$ et un vecteur non nul $\vec{n}$. L'ensemble des points $M$ tels que $\vec{AM}$ est orthogonal à $\vec{n}$ forme un plan. C'est la base de l'équation cartésienne d'un plan.

Vecteur normal au plan

Considérons un plan $P$ passant par un point $A(x_A; y_A; z_A)$ et admettant un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$. Un point $M(x; y; z)$ appartient au plan $P$ si et seulement si le vecteur $\vec{AM}$ est orthogonal à $\vec{n}$. C'est-à-dire $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$.

Forme $ax + by + cz + d = 0$

Les coordonnées de $\vec{AM}$ sont $(x-x_A; y-y_A; z-z_A)$. L'équation $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$ devient : $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$ $ax - ax_A + by - by_A + cz - cz_A = 0$ $ax + by + cz + (-ax_A - by_A - cz_A) = 0$ En posant $d = -ax_A - by_A - cz_A$, on obtient l'équation cartésienne du plan $P$ : $ax + by + cz + d = 0$ où $(a; b; c)$ sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan.

Détermination de l'équation

Pour trouver l'équation d'un plan :

1. Connaître un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ : L'équation est $ax + by + cz + d = 0$. Pour trouver $d$, on utilise les coordonnées de $A$ : $ax_A + by_A + cz_A + d = 0 \implies d = -ax_A - by_A - cz_A$.
2. Connaître trois points non alignés $A, B, C$ :
   • Calculer deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
   • Chercher un vecteur $\vec{n}(a; b; c)$ orthogonal à $\vec{AB}$ et à $\vec{AC}$ (en utilisant le produit scalaire nul pour les deux). Cela donne un système de deux équations à trois inconnues. On peut choisir une valeur pour une coordonnée (par ex. $a=1$) pour trouver les autres.
   • Une fois $\vec{n}$ trouvé, utiliser un des points ($A, B$ ou $C$) pour trouver $d$.

Exemple : Plan $P$ passant par $A(1; 2; -1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2; -1; 3)$. L'équation est $2x - y + 3z + d = 0$. On remplace par les coordonnées de $A$: $2(1) - (2) + 3(-1) + d = 0 \implies 2 - 2 - 3 + d = 0 \implies -3 + d = 0 \implies d = 3$. L'équation du plan $P$ est $2x - y + 3z + 3 = 0$.

Vérification d'appartenance d'un point

Pour savoir si un point $M(x_M; y_M; z_M)$ appartient à un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, il suffit de remplacer ses coordonnées dans l'équation. Si l'égalité est vérifiée, le point appartient au plan.

Deux plans $P_1$ et $P_2$ d'équations $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ et $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ peuvent être :

1. Parallèles : Leurs vecteurs normaux $\vec{n_1}(a_1; b_1; c_1)$ et $\vec{n_2}(a_2; b_2; c_2)$ sont colinéaires.
   • Confondus : Si en plus ils ont un point commun (ou si les équations sont proportionnelles).
   • Strictement parallèles : S'ils n'ont aucun point commun.
2. Sécants : Leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Leur intersection est une droite.

Intersection de deux plans (droite)

Si deux plans sont sécants, ils s'intersectent selon une droite. Pour trouver la représentation de cette droite :

1. On résout le système formé par les deux équations cartésiennes des plans. $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases}$
2. Ce système a une infinité de solutions. On exprime deux variables en fonction de la troisième, que l'on appellera $t$. Cela donnera la représentation paramétrique de la droite d'intersection.

Exemple : Intersection des plans $P_1: x+y+z-1=0$ et $P_2: x-y+z+1=0$. Système : $\begin{cases} x+y+z-1=0 \quad (L_1) \\ x-y+z+1=0 \quad (L_2) \end{cases}$ Additionnons $(L_1)$ et $(L_2)$: $(x+y+z-1) + (x-y+z+1) = 0 \implies 2x+2z=0 \implies x = -z$. Soustrayons $(L_2)$ de $(L_1)$: $(x+y+z-1) - (x-y+z+1) = 0 \implies 2y-2=0 \implies y=1$. Posons $z=t$. Alors $x=-t$. La droite d'intersection a pour représentation paramétrique : $\begin{cases} x = -t \\ y = 1 \\ z = t \end{cases}$, avec $t \in \mathbb{R}$.

Soit une droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan $P$ de vecteur normal $\vec{n}$.

1. Droite incluse dans le plan : La droite $D$ est entièrement contenue dans le plan $P$.
   • $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{n}$ ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$).
   • Un point de $D$ appartient à $P$.
2. Droite parallèle au plan (non incluse) : La droite $D$ ne coupe pas le plan $P$.
   • $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{n}$ ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$).
   • Un point de $D$ n'appartient pas à $P$.
3. Droite sécante au plan (un point d'intersection) : La droite $D$ coupe le plan $P$ en un unique point.
   • $\vec{u}$ n'est pas orthogonal à $\vec{n}$ ($\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$).

Soit $D$ donnée par $x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$ et $P$ par $Ax+By+Cz+D=0$.

1. Vérifier l'orthogonalité de $\vec{u}$ et $\vec{n}$ :

   • Si $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$, alors la droite est sécante au plan. Passer à l'étape 2 pour trouver le point d'intersection.
   • Si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$, alors la droite est parallèle au plan ou incluse dans le plan. Passer à l'étape 3.

2. Recherche du point d'intersection (cas sécant) : Substitue les expressions paramétriques de $x, y, z$ de la droite dans l'équation cartésienne du plan : $A(x_0+at) + B(y_0+bt) + C(z_0+ct) + D = 0$. Cela donne une équation du premier degré en $t$. Résous-la pour trouver la valeur unique de $t$. Remplace ce $t$ dans les équations paramétriques de la droite pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.

3. Vérification de l'appartenance d'un point (cas $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$) : Prends un point $M_0(x_0; y_0; z_0)$ de la droite $D$ (par exemple pour $t=0$).

   • Vérifie si $M_0$ appartient au plan $P$ en remplaçant ses coordonnées dans l'équation du plan.
     • Si $M_0 \in P$, alors la droite $D$ est incluse dans le plan $P$.
     • Si $M_0 \notin P$, alors la droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$.

La projection orthogonale d'un point sur un plan (ou sur une droite) est un concept fondamental.

Définition de la projection orthogonale

La projection orthogonale d'un point $M$ sur un plan $P$ est le point $H$ du plan $P$ tel que la droite $(MH)$ est orthogonale au plan $P$. C'est le point du plan $P$ le plus proche de $M$.

Calcul des coordonnées du projeté

Pour trouver les coordonnées du projeté orthogonal $H$ d'un point $M(x_M; y_M; z_M)$ sur un plan $P: ax+by+cz+d=0$ :

1. Le vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ du plan $P$ est un vecteur directeur de la droite $(MH)$.
2. Écris la représentation paramétrique de la droite $(MH)$ qui passe par $M$ et a pour vecteur directeur $\vec{n}$: $(MH): \begin{cases} x = x_M + at \\ y = y_M + bt \\ z = z_M + ct \end{cases}$
3. Le point $H$ est l'intersection de la droite $(MH)$ et du plan $P$. Substitue les expressions paramétriques de $x, y, z$ dans l'équation du plan $P$ pour trouver la valeur de $t$. $a(x_M + at) + b(y_M + bt) + c(z_M + ct) + d = 0$. Résous pour $t$.
4. Remplace la valeur de $t$ trouvée dans les équations paramétriques de $(MH)$ pour obtenir les coordonnées de $H$.

Distance d'un point à un plan

La distance d'un point $M(x_M; y_M; z_M)$ à un plan $P: ax+by+cz+d=0$ est la longueur $MH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $P$. La formule directe pour cette distance est : $d(M, P) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ Cette formule est très utile et fait gagner beaucoup de temps !

Exemple : Calculer la distance du point $M(1; 1; 1)$ au plan $P: 2x - y + 3z + 3 = 0$. $a=2, b=-1, c=3, d=3$. $x_M=1, y_M=1, z_M=1$. $d(M, P) = \frac{|2(1) + (-1)(1) + 3(1) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}}$ $d(M, P) = \frac{|2 - 1 + 3 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|7|}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Félicitations, tu as maintenant une vue d'ensemble des concepts clés de la géométrie dans l'espace en Première ! N'hésite pas à refaire les exemples et à t'entraîner avec des exercices.