Géométrie repérée

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur (appelée norme). Il représente un déplacement. En géométrie repérée, un vecteur est défini par ses coordonnées dans un repère.

Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$, les coordonnées d'un vecteur $\vec{u}$ sont notées $\vec{u}(x; y)$ ou $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Calcul des coordonnées d'un vecteur à partir de deux points : Soient deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ C'est toujours "arrivée moins départ".

Exemple : Si $A(1; 3)$ et $B(5; 1)$, alors $\vec{AB} \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \vec{AB} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Les opérations sur les vecteurs sont très simples à réaliser lorsqu'on utilise leurs coordonnées.

Addition et soustraction de vecteurs : Soient $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$.

• Addition : $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}$
• Soustraction : $\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} x - x' \\ y - y' \end{pmatrix}$

Exemple : Si $\vec{u}(2; 3)$ et $\vec{v}(-1; 4)$, alors $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix}$ et $\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Multiplication d'un vecteur par un scalaire : Soit $\vec{u}(x; y)$ un vecteur et $k$ un nombre réel (scalaire). Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées : $k\vec{u} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$ Cette opération change la longueur du vecteur et potentiellement son sens (si $k < 0$).

Exemple : Si $\vec{u}(2; 3)$ et $k = 3$, alors $3\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$. Si $\vec{u}(2; 3)$ et $k = -0.5$, alors $-0.5\vec{u} = \begin{pmatrix} -0.5 \times 2 \\ -0.5 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1.5 \end{pmatrix}$.

Propriétés des opérations vectorielles : Les opérations vectorielles suivent des règles similaires à celles des nombres réels :

• Commutativité de l'addition : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
• Associativité de l'addition : $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
• Vecteur nul : $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ où $\vec{0}(0; 0)$
• Vecteur opposé : $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$
• Distributivité : $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ et $(k+k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$

Deux vecteurs sont dits colinéaires s'ils ont la même direction. Géométriquement, cela signifie qu'ils sont parallèles. Algébriquement, cela se traduit de plusieurs manières.

Définition de vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que ==$\vec{v} = k\vec{u}$==. Si l'un des vecteurs est le vecteur nul, ils sont considérés comme colinéaires à tout autre vecteur.

Critère de colinéarité (déterminant ou proportionnalité) : Soient $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$.

• Méthode 1 : Proportionnalité des coordonnées Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. C'est-à-dire, il existe un $k$ tel que $x' = kx$ et $y' = ky$. Cette méthode est pratique si $x \neq 0$ et $y \neq 0$. On peut calculer $k = x'/x = y'/y$.
• Méthode 2 : Le déterminant Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. Le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est noté $\det(\vec{u}, \vec{v})$ et est calculé ainsi : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - yx'$ Donc, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff xy' - yx' = 0$. C'est la méthode la plus fiable et la plus générale, surtout si une coordonnée est nulle.

Exemple : Vérifier si $\vec{u}(2; 3)$ et $\vec{v}(4; 6)$ sont colinéaires.

• Avec la proportionnalité : $x'/x = 4/2 = 2$ et $y'/y = 6/3 = 2$. Puisque les rapports sont égaux ($k=2$), les vecteurs sont colinéaires.
• Avec le déterminant : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = (2 \times 6) - (3 \times 4) = 12 - 12 = 0$. Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.

Application à l'alignement de points : Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (ou $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$, etc.) sont colinéaires. Il suffit de calculer les coordonnées de deux vecteurs formés par ces points et d'appliquer le critère de colinéarité.

Exemple : Les points $A(1; 2)$, $B(3; 5)$ et $C(5; 8)$ sont-ils alignés ? $\vec{AB} \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\vec{AC} \begin{pmatrix} 5-1 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ Calculons le déterminant : $\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = (2 \times 6) - (3 \times 4) = 12 - 12 = 0$. Puisque le déterminant est nul, $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés.

La distance entre deux points dans un repère orthonormé est la longueur du segment qui les relie. Elle est fondamentale en géométrie.

Formule de la distance dans un repère orthonormé : Soient deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$. La distance $AB$ (ou la norme du vecteur $\vec{AB}$) est donnée par la formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ Cette formule est une application directe du théorème de Pythagore.

Application du théorème de Pythagore : Imaginez un triangle rectangle dont les sommets sont $A$, $B$ et un point $C(x_B; y_A)$. Les longueurs des côtés de l'angle droit sont $|x_B - x_A|$ et $|y_B - y_A|$. L'hypoténuse est $AB$. Selon Pythagore : $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$. D'où la formule de la distance. Il est crucial que le repère soit orthonormé pour utiliser cette formule. Dans un repère orthogonal mais non normé, les unités sur les axes ne sont pas les mêmes, et la formule ne s'applique pas directement.

Exemples de calculs :

1. Calculer la distance entre $A(1; 2)$ et $B(4; 6)$. $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
2. Calculer la distance entre $C(-2; 3)$ et $D(0; -1)$. $CD = \sqrt{(0-(-2))^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{(0+2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$.

Le milieu d'un segment est le point qui partage ce segment en deux parties égales.

Formule des coordonnées du milieu : Soient deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$. Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $M \left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$ Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités du segment.

Exemple : Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$ avec $A(1; 2)$ et $B(5; -4)$. $M \left( \frac{1 + 5}{2} ; \frac{2 + (-4)}{2} \right) = M \left( \frac{6}{2} ; \frac{-2}{2} \right) = M(3; -1)$.

Application à la symétrie centrale : Si $M$ est le milieu de $[AB]$, alors $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $M$. Si $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à un point $I$, alors $I$ est le milieu du segment $[AA']$. On peut utiliser la formule du milieu pour trouver les coordonnées de $A'$ si on connaît $A$ et $I$. Si $I(x_I; y_I)$ est le milieu de $[AA']$ avec $A(x_A; y_A)$ et $A'(x_{A'}; y_{A'})$, alors : $x_I = \frac{x_A + x_{A'}}{2} \Rightarrow x_{A'} = 2x_I - x_A$ $y_I = \frac{y_A + y_{A'}}{2} \Rightarrow y_{A'} = 2y_I - y_A$

Vérification par le calcul vectoriel : Le point $M$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\vec{AM} = \vec{MB}$. Calculons les coordonnées de ces vecteurs : $\vec{AM} \begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix}$ et $\vec{MB} \begin{pmatrix} x_B - x_M \\ y_B - y_M \end{pmatrix}$ L'égalité $\vec{AM} = \vec{MB}$ implique : $x_M - x_A = x_B - x_M \Rightarrow 2x_M = x_A + x_B \Rightarrow x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ $y_M - y_A = y_B - y_M \Rightarrow 2y_M = y_A + y_B \Rightarrow y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$ On retrouve bien la formule du milieu.

Les formules de distance et de milieu sont des outils puissants pour démontrer des propriétés géométriques.

Nature d'un triangle (isocèle, équilatéral, rectangle) : Pour déterminer la nature d'un triangle $ABC$, on calcule les longueurs de ses trois côtés $AB$, $BC$, $AC$.

• Triangle isocèle : Deux côtés ont la même longueur (ex: $AB = AC$).
• Triangle équilatéral : Les trois côtés ont la même longueur ($AB = BC = AC$).
• Triangle rectangle : Le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (réciproque du théorème de Pythagore). Par exemple, si $AB^2 = AC^2 + BC^2$, le triangle est rectangle en $C$. On peut aussi utiliser le produit scalaire pour la condition d'orthogonalité (voir section suivante).

Exemple : $A(0; 0)$, $B(3; 0)$, $C(0; 4)$. $AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$. $AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4^2} = 4$. $BC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Puisque $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ et $5^2 = 25$, on a $AB^2 + AC^2 = BC^2$. Le triangle $ABC$ est rectangle en A.

Nature d'un quadrilatère (parallélogramme, losange, rectangle, carré) : Pour déterminer la nature d'un quadrilatère $ABCD$, on peut utiliser les propriétés des vecteurs, des distances et des milieux.

• Parallélogramme :
  • Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ sont égaux (ou $\vec{AD}$ et $\vec{BC}$).
  • Les diagonales se coupent en leur milieu (c'est-à-dire, le milieu de $[AC]$ est le même que le milieu de $[BD]$).
• Rectangle : C'est un parallélogramme avec un angle droit (donc deux côtés consécutifs orthogonaux, ex: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$) OU dont les diagonales ont la même longueur ($AC = BD$).
• Losange : C'est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur ($AB = AD$) OU dont les diagonales sont perpendiculaires.
• Carré : C'est un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange. On peut vérifier qu'il a quatre côtés égaux et un angle droit.

Démonstrations par le calcul de distances et de milieux : La plupart des démonstrations consistent à calculer des coordonnées de vecteurs, des distances ou des milieux pour prouver les propriétés souhaitées. Par exemple, pour montrer qu'un point $I$ est le centre de symétrie d'une figure, on montre qu'il est le milieu de segments reliant des points opposés de la figure.

Une droite dans le plan peut être représentée par une équation. L'équation cartésienne est une forme générale très utile.

Vecteur directeur d'une droite : Un vecteur directeur $\vec{u}$ d'une droite $(d)$ est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite. Il indique "l'orientation" de la droite. Si $\vec{u}(a; b)$ est un vecteur directeur d'une droite $(d)$, alors $\vec{u}$ est colinéaire à tout vecteur $\vec{MM'}$ où $M$ et $M'$ sont deux points distincts de $(d)$.

Vecteur normal d'une droite : Un vecteur normal $\vec{n}$ à une droite $(d)$ est un vecteur non nul qui est orthogonal (perpendiculaire) à cette droite. Il est donc orthogonal à tout vecteur directeur de la droite. Si $\vec{u}(a; b)$ est un vecteur directeur, alors $\vec{n}(-b; a)$ ou $\vec{n}(b; -a)$ sont des vecteurs normaux. En effet, leur produit scalaire est nul : $a(-b) + b(a) = -ab + ab = 0$.

Forme $ax + by + c = 0$ : Toute droite du plan peut être représentée par une équation de la forme : $ax + by + c = 0$ où $a$, $b$, $c$ sont des nombres réels, avec $a$ et $b$ non nuls simultanément. Dans cette équation, le vecteur $\vec{n}(a; b)$ est un vecteur normal à la droite. Et donc, le vecteur $\vec{u}(-b; a)$ (ou $\vec{u}(b; -a)$) est un vecteur directeur.

Exemple : La droite d'équation $2x - 3y + 5 = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}(2; -3)$. Un vecteur directeur est donc $\vec{u}(3; 2)$ (on permute les coordonnées et on change le signe de l'une d'elles).

Il existe plusieurs façons de trouver l'équation cartésienne d'une droite.

À partir d'un point et d'un vecteur directeur : Soit une droite $(d)$ passant par un point $A(x_A; y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(X_u; Y_u)$. Un point $M(x; y)$ appartient à $(d)$ si et seulement si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. $\vec{AM} \begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix}$. Le critère de colinéarité donne : $(x - x_A)Y_u - (y - y_A)X_u = 0$. En développant, on obtient l'équation cartésienne.

Exemple : Droite passant par $A(1; 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3; -1)$. $\vec{AM} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix}$. $\det(\vec{AM}, \vec{u}) = (x-1)(-1) - (y-2)(3) = 0$ $-x + 1 - 3y + 6 = 0$ $-x - 3y + 7 = 0$ ou ==$x + 3y - 7 = 0$== (en multipliant par -1).

À partir de deux points : Soient deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$.

1. Calculer le vecteur directeur $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.
2. Utiliser un des points (par exemple $A$) et le vecteur directeur $\vec{AB}$ pour trouver l'équation cartésienne comme précédemment.

Exemple : Droite passant par $A(1; 2)$ et $B(4; 1)$. $\vec{AB} \begin{pmatrix} 4-1 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. C'est le même vecteur directeur que l'exemple précédent. L'équation est donc $x + 3y - 7 = 0$.

À partir d'un point et d'un vecteur normal : Soit une droite $(d)$ passant par un point $A(x_A; y_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a; b)$. L'équation de la droite est de la forme $ax + by + c = 0$. Pour trouver $c$, on utilise le fait que $A$ appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation : $ax_A + by_A + c = 0 \Rightarrow c = -ax_A - by_A$. L'équation est alors $ax + by - (ax_A + by_A) = 0$.

Exemple : Droite passant par $A(1; 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2; 3)$. L'équation est de la forme $2x + 3y + c = 0$. Comme $A(1; 2)$ est sur la droite : $2(1) + 3(2) + c = 0 \Rightarrow 2 + 6 + c = 0 \Rightarrow 8 + c = 0 \Rightarrow c = -8$. L'équation est ==$2x + 3y - 8 = 0$==.

L'équation réduite est une forme très courante, surtout pour les fonctions affines.

Forme $y = mx + p$ : Toute droite non verticale peut être écrite sous la forme : $y = mx + p$ où $m$ est la pente (ou coefficient directeur) de la droite, et $p$ est l'ordonnée à l'origine (c'est la valeur de $y$ lorsque $x=0$, c'est-à-dire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées). Les droites verticales ont une équation de la forme $x = k$ (où $k$ est une constante) et n'ont pas d'équation réduite (car leur pente est "infinie").

Pente (coefficient directeur) et ordonnée à l'origine :

• La pente $m$ indique l'inclinaison de la droite. Si $m > 0$, la droite "monte". Si $m < 0$, la droite "descend". Si $m = 0$, la droite est horizontale ($y=p$). Si on prend deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ sur une droite non verticale, la pente est $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
• L'ordonnée à l'origine $p$ est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Passage de l'équation cartésienne à l'équation réduite : À partir de $ax + by + c = 0$ :

1. Isoler le terme en $y$: $by = -ax - c$.
2. Diviser par $b$ (si $b \neq 0$): $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$. On a alors $m = -\frac{a}{b}$ et $p = -\frac{c}{b}$. Si $b = 0$, l'équation cartésienne devient $ax + c = 0$, soit $x = -\frac{c}{a}$. C'est une droite verticale.

Exemple : Passer de $2x + 3y - 8 = 0$ à l'équation réduite. $3y = -2x + 8$ $y = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$ Ici, la pente $m = -\frac{2}{3}$ et l'ordonnée à l'origine $p = \frac{8}{3}$.

Déterminer la position relative de deux droites, c'est savoir si elles sont parallèles, sécantes ou confondues.

Droites parallèles (colinéarité des vecteurs directeurs) : Deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (ou leurs vecteurs normaux sont colinéaires). Si $(d_1): y = m_1x + p_1$ et $(d_2): y = m_2x + p_2$, elles sont parallèles si et seulement si ==$m_1 = m_2$==.

Exemple : $(d_1): y = 2x + 1$ et $(d_2): y = 2x - 3$. Elles sont parallèles car $m_1 = m_2 = 2$. $(d_3): 3x - 2y + 1 = 0$ et $(d_4): -6x + 4y + 5 = 0$. Vecteur normal de $(d_3)$: $\vec{n_3}(3; -2)$. Vecteur normal de $(d_4)$: $\vec{n_4}(-6; 4)$. $\det(\vec{n_3}, \vec{n_4}) = (3)(4) - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$. Les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.

Droites sécantes (point d'intersection) : Si deux droites ne sont pas parallèles, elles sont sécantes. Elles se coupent en un unique point. Les coordonnées de ce point d'intersection sont la solution du système formé par leurs deux équations. Si $(d_1): y = m_1x + p_1$ et $(d_2): y = m_2x + p_2$, elles sont sécantes si et seulement si $m_1 \neq m_2$. Si $(d_1): a_1x + b_1y + c_1 = 0$ et $(d_2): a_2x + b_2y + c_2 = 0$, elles sont sécantes si et seulement si $\det(\vec{n_1}, \vec{n_2}) \neq 0$ (où $\vec{n_1}(a_1; b_1)$ et $\vec{n_2}(a_2; b_2)$).

Exemple : Point d'intersection de $(d_1): y = 2x + 1$ et $(d_3): y = -x + 4$. On résout le système : $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$ $2x + 1 = -x + 4$ $3x = 3 \Rightarrow x = 1$ $y = 2(1) + 1 = 3$. Le point d'intersection est $(1; 3)$.

Droites confondues : Deux droites sont confondues si elles sont parallèles et possèdent au moins un point commun. En fait, elles représentent la même droite. Si $(d_1): y = m_1x + p_1$ et $(d_2): y = m_2x + p_2$, elles sont confondues si $m_1 = m_2$ ET $p_1 = p_2$. Si $(d_1): a_1x + b_1y + c_1 = 0$ et $(d_2): a_2x + b_2y + c_2 = 0$, elles sont confondues si les coefficients $(a_1, b_1, c_1)$ sont proportionnels à $(a_2, b_2, c_2)$.

Exemple : $(d_1): y = 2x + 1$ et $(d_2): 4x - 2y + 2 = 0$. Pour $(d_2)$, $2y = 4x + 2 \Rightarrow y = 2x + 1$. Les deux équations réduites sont identiques, donc les droites sont confondues.

Le produit scalaire de deux vecteurs peut être défini de manière géométrique ou analytique.

Définition géométrique (normes et angle) : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. On note $\theta$ l'angle non orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est défini par : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$ où $||\vec{u}||$ est la norme (longueur) du vecteur $\vec{u}$. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

Définition analytique (coordonnées) : Dans un repère orthonormé, soient $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$. Le produit scalaire est donné par : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ Cette formule est très pratique pour les calculs.

Exemple : Si $\vec{u}(2; 3)$ et $\vec{v}(-1; 4)$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10$.

Propriétés du produit scalaire (symétrie, bilinéarité) :

• Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• Linéarité par rapport à la première variable :
  • $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$
  • $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
• Linéarité par rapport à la deuxième variable : (grâce à la symétrie, cela découle de la première)
  • $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
  • $\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
• Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2$. C'est une propriété très importante. Si $\vec{u}(x; y)$, alors $\vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2 = ||\vec{u}||^2$. On retrouve la formule de la norme !

Le produit scalaire est l'outil principal pour tester l'orthogonalité.

Condition d'orthogonalité (produit scalaire nul) : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ Ceci découle de la définition géométrique : si $\theta = 90^\circ$, alors $\cos(\theta) = 0$. Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' = 0$.

Application à la démonstration d'angles droits : Pour montrer qu'un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, il suffit de montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.

Exemple : Soient $A(1; 1)$, $B(3; 2)$, $C(0; 4)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? $\vec{AB} \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\vec{AC} \begin{pmatrix} 0-1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(-1) + (1)(3) = -2 + 3 = 1$. Le produit scalaire n'est pas nul, donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Le triangle n'est pas rectangle en $A$.

Vecteur normal à une droite : Comme vu précédemment, un vecteur normal à une droite est orthogonal à son vecteur directeur. Si $\vec{u}(X_u; Y_u)$ est un vecteur directeur d'une droite $(d)$, alors un vecteur normal $\vec{n}(X_n; Y_n)$ doit vérifier $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$. Par exemple, $\vec{n}(-Y_u; X_u)$ ou $\vec{n}(Y_u; -X_u)$ sont des vecteurs normaux. Si la droite a pour équation $ax + by + c = 0$, alors $\vec{n}(a; b)$ est un vecteur normal.

Le produit scalaire a de nombreuses applications en géométrie.

Calcul de longueurs et d'angles :

• Longueurs (normes) : On utilise la relation $||\vec{u}||^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$. Donc $AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{\vec{AB} \cdot \vec{AB}}$. Si $\vec{u}(x; y)$, alors $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Angles : La définition géométrique permet de calculer l'angle $\theta$ entre deux vecteurs : $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}$ Une fois $\cos(\theta)$ connu, on utilise la fonction $\arccos$ pour trouver l'angle.

Exemple : Calculer l'angle entre $\vec{u}(2; 1)$ et $\vec{v}(1; 3)$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (1)(3) = 2 + 3 = 5$. $||\vec{u}|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. $||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$. $\cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$ (ou $\frac{\pi}{4}$ radians).

Projection orthogonale : La projection orthogonale d'un vecteur $\vec{v}$ sur un vecteur $\vec{u}$ est un vecteur $\vec{w}$ colinéaire à $\vec{u}$. Le produit scalaire permet de calculer la longueur de cette projection. La formule est : $proj_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}||^2} \vec{u}$.

Équation de cercle : Le produit scalaire peut être utilisé pour définir un cercle. Le cercle de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. Ceci se traduit par $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$.

Exemple : Équation du cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(1; 0)$ et $B(3; 2)$. Soit $M(x; y)$ un point du cercle. $\vec{MA} \begin{pmatrix} 1-x \\ 0-y \end{pmatrix}$ et $\vec{MB} \begin{pmatrix} 3-x \\ 2-y \end{pmatrix}$. $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (1-x)(3-x) + (-y)(2-y) = 0$ $3 - x - 3x + x^2 - 2y + y^2 = 0$ $x^2 - 4x + y^2 - 2y + 3 = 0$. C'est l'équation cartésienne du cercle.

Un cercle est défini par son centre et son rayon.

Définition d'un cercle (centre et rayon) : Un cercle $\mathcal{C}$ est l'ensemble de tous les points $M$ qui sont à une distance fixe $R$ (le rayon) d'un point fixe $I$ (le centre).

Formule $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ : Si le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $I(a; b)$ et pour rayon $R$, un point $M(x; y)$ appartient au cercle si et seulement si la distance $IM$ est égale à $R$. $IM = R \iff IM^2 = R^2$. En utilisant la formule de la distance : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ C'est l'équation cartésienne d'un cercle. Il est essentiel que le repère soit orthonormé.

Exemple : Le cercle de centre $I(2; -1)$ et de rayon $R=3$ a pour équation : $(x-2)^2 + (y-(-1))^2 = 3^2$ $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$.

Détermination de l'équation à partir du centre et du rayon : C'est une application directe de la formule ci-dessus. Si on vous donne le centre $I(a;b)$ et le rayon $R$, vous remplacez $a, b, R$ dans la formule.

Plusieurs informations peuvent permettre de déterminer l'équation d'un cercle.

À partir de trois points non alignés : Si un cercle passe par trois points $A, B, C$ non alignés, son centre $I(a; b)$ est l'intersection des médiatrices des segments $[AB]$ et $[BC]$ (ou $[AC]$). Une fois le centre $I$ trouvé, le rayon $R$ est la distance $IA$ (ou $IB$ ou $IC$).

1. Calculer les équations des médiatrices de $[AB]$ et $[BC]$. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu. Pour la médiatrice de $[AB]$:
   • Point $M_{AB}$ milieu de $[AB]$.
   • Vecteur $\vec{AB}$ est un vecteur normal à la médiatrice.
2. Résoudre le système formé par les deux équations de médiatrices pour trouver les coordonnées du centre $I(a; b)$.
3. Calculer le rayon $R = IA = \sqrt{(x_A-a)^2 + (y_A-b)^2}$.
4. Écrire l'équation du cercle.

À partir d'un diamètre : Si on connaît les extrémités $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ d'un diamètre du cercle.

1. Le centre $I$ du cercle est le milieu du segment $[AB]$. $I \left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$.
2. Le rayon $R$ est la moitié de la longueur du diamètre $AB$, soit $R = \frac{AB}{2}$. Ou bien $R = IA$ (distance de $I$ à $A$).
3. Écrire l'équation du cercle avec $I$ et $R$. Alternativement, on peut utiliser la propriété du produit scalaire : le cercle de diamètre $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$.

Reconnaître l'équation d'un cercle : Une équation de la forme $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ peut représenter un cercle. Pour la reconnaître, on utilise la méthode de la forme canonique (complétion du carré) : $x^2 + Dx + y^2 + Ey + F = 0$ $(x^2 + Dx + (\frac{D}{2})^2) - (\frac{D}{2})^2 + (y^2 + Ey + (\frac{E}{2})^2) - (\frac{E}{2})^2 + F = 0$ $(x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = (\frac{D}{2})^2 + (\frac{E}{2})^2 - F$ Soit $R'^2 = (\frac{D}{2})^2 + (\frac{E}{2})^2 - F$.

• Si $R'^2 > 0$, c'est l'équation d'un cercle de centre $I(-\frac{D}{2}; -\frac{E}{2})$ et de rayon $R = \sqrt{R'^2}$.
• Si $R'^2 = 0$, l'équation représente un seul point (le centre).
• Si $R'^2 < 0$, l'équation ne représente aucun point (pas de cercle réel).

Exemple : L'équation $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$. $(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) - 3 = 0$ $(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 - 3 = 0$ $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 16 = 0$ $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ C'est un cercle de centre $I(3; -2)$ et de rayon $R = \sqrt{16} = 4$.