Passer d'une ecriture d'un nombre a une autre comparer des nombres

L'écriture décimale est celle que nous utilisons le plus souvent au quotidien, tandis que l'écriture fractionnaire est fondamentale en mathématiques.

Définition d'un nombre décimal

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Exemples : $3,14$; $0,5$; $-12,0$. Un nombre entier est aussi un nombre décimal (ex: $5 = 5,0$).

Définition d'une fraction

Une fraction est une écriture de la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur, avec $b \neq 0$. Elle représente un partage ou un rapport. Exemples : $\frac{1}{2}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{7}{3}$.

Passage de décimal à fraction

Tout nombre décimal peut être écrit sous forme de fraction. Pour cela, on compte le nombre de chiffres après la virgule.

• Si un chiffre après la virgule : diviser par 10.
• Si deux chiffres après la virgule : diviser par 100.
• Etc.

Exemple : $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ (après simplification) $3,2 = \frac{32}{10}$ $1,234 = \frac{1234}{1000}$

Simplifier la fraction obtenue est souvent attendu.

Passage de fraction à décimal

Pour passer d'une fraction à un nombre décimal, il suffit d'effectuer la division du numérateur par le dénominateur.

Exemple : $\frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5$ $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$ $\frac{7}{3} = 7 \div 3 \approx 2,333...$ (c'est un nombre décimal illimité, il n'a pas d'écriture décimale exacte mais une écriture décimale approchée)

Attention : toutes les fractions ne donnent pas un nombre décimal exact. Certains nombres, comme $\frac{1}{3}$ ou $\frac{2}{7}$, ont une écriture décimale infinie et non périodique (pour les irrationnels) ou périodique (pour les rationnels non décimaux).

L'écriture scientifique est particulièrement utile pour manipuler de très grands ou de très petits nombres.

Définition de l'écriture scientifique

Un nombre est en écriture scientifique s'il est de la forme $a \times 10^n$, où :

• $a$ est un nombre décimal tel que $1 \le |a| < 10$ (appelé la mantisse).
• $n$ est un entier relatif (appelé l'exposant).

Exemples : $3,0 \times 10^8$ (vitesse de la lumière en m/s) $6,67 \times 10^{-11}$ (constante gravitationnelle)

Conversion d'un nombre en écriture scientifique

Pour convertir un nombre en écriture scientifique, on déplace la virgule pour obtenir une mantisse entre 1 et 10, puis on ajuste l'exposant de 10.

• Si la virgule est déplacée vers la gauche, l'exposant est positif.
• Si la virgule est déplacée vers la droite, l'exposant est négatif.

Exemples : $12345 = 1,2345 \times 10^4$ (virgule déplacée de 4 rangs vers la gauche) $0,000056 = 5,6 \times 10^{-5}$ (virgule déplacée de 5 rangs vers la droite) $-234,5 = -2,345 \times 10^2$

Opérations avec l'écriture scientifique

Pour multiplier ou diviser des nombres en écriture scientifique, on opère séparément sur les mantisses et sur les puissances de 10.

Multiplication : $(a \times 10^n) \times (b \times 10^m) = (a \times b) \times 10^{n+m}$ Exemple : $(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^2) = (2 \times 3) \times 10^{3+2} = 6 \times 10^5$

Division : $\frac{a \times 10^n}{b \times 10^m} = \frac{a}{b} \times 10^{n-m}$ Exemple : $\frac{6 \times 10^5}{2 \times 10^2} = \frac{6}{2} \times 10^{5-2} = 3 \times 10^3$

Après l'opération, il est parfois nécessaire de réajuster la mantisse pour qu'elle reste entre 1 et 10. Exemple : $(5 \times 10^3) \times (4 \times 10^2) = 20 \times 10^5 = 2,0 \times 10^1 \times 10^5 = 2,0 \times 10^6$

Les puissances sont un outil puissant pour exprimer des multiplications répétées, simplifiant ainsi l'écriture et les calculs.

Règles des puissances entières

Pour tout nombre $a$ non nul et pour tout entier relatif $n$ et $m$ :

• $a^n = a \times a \times ... \times a$ ($n$ fois si $n > 0$)
• $a^0 = 1$
• $a^1 = a$
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• $(a^n)^m = a^{n \times m}$
• $a^n \times a^m = a^{n+m}$
• $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
• $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
• $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Exemples : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ $(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8$

Puissances de 10

Les puissances de 10 sont un cas particulier très important, notamment pour l'écriture scientifique et les unités de mesure. $10^n = 1$ suivi de $n$ zéros si $n > 0$. $10^{-n} = 0,$ suivi de $(n-1)$ zéros, puis un $1$.

Exemples : $10^3 = 1000$ $10^{-2} = 0,01$

Calculs avec des puissances

Les règles énoncées ci-dessus s'appliquent directement. Il faut être vigilant avec les signes et l'ordre des opérations.

Exemple : Calculer $A = \frac{(2^3 \times 2^{-5})^2}{2^{-4}}$ $A = \frac{(2^{3-5})^2}{2^{-4}} = \frac{(2^{-2})^2}{2^{-4}} = \frac{2^{-4}}{2^{-4}} = 2^{-4 - (-4)} = 2^0 = 1$

==Attention aux parenthèses et aux nombres négatifs. Par exemple, $(-3)^2 = 9$, mais $-3^2 = -9$.==

Les racines sont l'opération inverse des puissances.

Définition d'une racine carrée

La racine carrée d'un nombre réel positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre réel positif $x$ tel que $x^2 = a$. Exemple : $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels.

Propriétés : Pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$

• $\sqrt{a^2} = a$
• $(\sqrt{a})^2 = a$
• $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (pour $b > 0$)
• $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (en général)

Simplification de racines carrées

Pour simplifier une racine carrée, on cherche à extraire les facteurs carrés parfaits. Exemple : $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Définition d'une racine cubique

La racine cubique d'un nombre réel $a$, notée $\sqrt[3]{a}$, est le nombre réel $x$ tel que $x^3 = a$. Contrairement à la racine carrée, la racine cubique d'un nombre négatif existe. Exemple : $\sqrt[3]{8} = 2$ car $2^3 = 8$. $\sqrt[3]{-27} = -3$ car $(-3)^3 = -27$.

Propriétés : Pour tout $a, b \in \mathbb{R}$

• $(\sqrt[3]{a})^3 = a$
• $\sqrt[3]{a^3} = a$
• $\sqrt[3]{a \times b} = \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b}$

Ces méthodes sont fondamentales et s'appliquent à tous les nombres réels.

Utilisation de la droite numérique

La droite numérique est une représentation visuelle des nombres réels. Plus un nombre est à droite sur la droite numérique, plus il est grand. Exemple : $-3 < 0 < 2,5$. Sur la droite numérique, $-3$ est à gauche de $0$, qui est à gauche de $2,5$.

Soustraction pour comparer

Pour comparer deux nombres $a$ et $b$, on peut étudier le signe de leur différence $a-b$.

• Si $a-b > 0$, alors $a > b$.
• Si $a-b < 0$, alors $a < b$.
• Si $a-b = 0$, alors $a = b$.

Exemple : Comparer $\frac{1}{3}$ et $0,3$. $\frac{1}{3} - 0,3 = \frac{1}{3} - \frac{3}{10} = \frac{10}{30} - \frac{9}{30} = \frac{1}{30}$. Comme $\frac{1}{30} > 0$, alors $\frac{1}{3} > 0,3$.

La méthode de la soustraction est très fiable et fonctionne pour tous les types de nombres.

Comparaison de nombres positifs et négatifs

• Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif : $5 > -2$.
• Un nombre négatif est d'autant plus petit que sa valeur absolue est grande : $-5 < -2$ (car $|-5| > |-2|$).
• Zéro est plus grand que tout nombre négatif et plus petit que tout nombre positif.

Comparer des fractions nécessite souvent de les "standardiser" pour faciliter la comparaison.

Mise au même dénominateur

Pour comparer deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$, on les réduit au même dénominateur (souvent le PPCM des dénominateurs). Exemple : Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{4}$. Dénominateur commun : 12. $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$ Comme $8 < 9$, alors $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, donc $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Comparaison par produit en croix

Pour comparer $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ (avec $b > 0, d > 0$) :

• Si $a \times d < b \times c$, alors $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.
• Si $a \times d > b \times c$, alors $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
• Si $a \times d = b \times c$, alors $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Exemple : Comparer $\frac{5}{7}$ et $\frac{7}{9}$. $5 \times 9 = 45$ $7 \times 7 = 49$ Comme $45 < 49$, alors $\frac{5}{7} < \frac{7}{9}$.

Comparaison à 1

• Si numérateur < dénominateur (et positifs), la fraction est inférieure à 1.
• Si numérateur > dénominateur (et positifs), la fraction est supérieure à 1.
• Si numérateur = dénominateur (et positifs), la fraction est égale à 1.

Exemple : $\frac{3}{5} < 1$, $\frac{7}{4} > 1$. Cette méthode est utile pour comparer rapidement une fraction à d'autres nombres.

Comparer des nombres impliquant des racines demande des techniques spécifiques.

Élévation au carré pour comparer

Pour comparer deux nombres positifs $A$ et $B$ (qui peuvent contenir des racines), on peut comparer leurs carrés $A^2$ et $B^2$.

• Si $A^2 < B^2$, alors $A < B$.
• Si $A^2 > B^2$, alors $A > B$.
• Si $A^2 = B^2$, alors $A = B$.

Exemple : Comparer $\sqrt{7}$ et $2\sqrt{2}$. $(\sqrt{7})^2 = 7$ $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \times (\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$ Comme $7 < 8$, alors $\sqrt{7} < 2\sqrt{2}$.

Cette méthode ne fonctionne directement que si les deux nombres sont positifs. Si l'un est négatif, il faut être très prudent ou utiliser la soustraction.

Encadrement de racines

On peut encadrer une racine entre deux entiers consécutifs en cherchant les carrés parfaits les plus proches. Exemple : Encadrer $\sqrt{50}$. On sait que $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$. Donc $49 < 50 < 64$, ce qui implique $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$, soit $7 < \sqrt{50} < 8$. Ceci permet de situer $\sqrt{50}$ et de le comparer à des nombres entiers.

Utilisation de la calculatrice (valeur approchée)

Pour une comparaison rapide et pour des nombres complexes, la calculatrice peut donner des valeurs approchées. Exemple : Comparer $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ et $\sqrt{5}$. $\sqrt{3} + \sqrt{2} \approx 1,732 + 1,414 = 3,146$ $\sqrt{5} \approx 2,236$ Donc $\sqrt{3} + \sqrt{2} > \sqrt{5}$. Attention : l'utilisation d'une valeur approchée peut mener à des erreurs si les nombres sont très proches. Il est préférable d'utiliser des méthodes exactes quand c'est possible.

Cette écriture simplifie grandement la comparaison de nombres très grands ou très petits.

Comparaison des exposants

Le nombre avec le plus grand exposant de 10 est le plus grand. Exemple : Comparer $3,1 \times 10^5$ et $9,8 \times 10^4$. Puisque $5 > 4$, alors $3,1 \times 10^5 > 9,8 \times 10^4$.

Comparaison des mantisses

Si les exposants sont égaux, on compare les mantisses. Exemple : Comparer $2,5 \times 10^{-3}$ et $1,8 \times 10^{-3}$. Puisque les exposants sont égaux ($-3$), on compare les mantisses : $2,5 > 1,8$. Donc $2,5 \times 10^{-3} > 1,8 \times 10^{-3}$.

Ordre de grandeur

L'ordre de grandeur d'un nombre en écriture scientifique $a \times 10^n$ est $10^n$ si $a < 5$, et $10^{n+1}$ si $a \ge 5$. Comparer les ordres de grandeur permet de faire une première estimation très rapide de la taille des nombres. Exemple : Ordre de grandeur de $3,2 \times 10^7$ est $10^7$. Ordre de grandeur de $7,1 \times 10^4$ est $10^5$.

La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est sa distance à zéro sur la droite numérique.

• Si $x \ge 0$, alors $|x| = x$.
• Si $x < 0$, alors $|x| = -x$.

Exemples : $|5| = 5$ $|-5| = 5$ $|0| = 0$

Interprétation géométrique

Géométriquement, $|x|$ représente la distance entre le point d'abscisse $x$ et l'origine (point d'abscisse 0) sur la droite numérique.

Propriétés de la valeur absolue

• $|x| \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
• $|x| = |-x|$.
• $|x \times y| = |x| \times |y|$.
• $|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$ (pour $y \neq 0$).
• $|x+y| \le |x| + |y|$ (inégalité triangulaire).
• $\sqrt{x^2} = |x|$.

Résolution d'équations simples avec valeur absolue

• L'équation $|x| = a$ (avec $a \ge 0$) a pour solutions $x = a$ ou $x = -a$. Exemple : $|x| = 3 \Rightarrow x = 3$ ou $x = -3$.
• L'équation $|x| = -a$ (avec $a > 0$) n'a pas de solution car une valeur absolue ne peut pas être négative. Exemple : $|x| = -2 \Rightarrow$ pas de solution.

La valeur absolue permet de définir la distance entre deux nombres.

Formule de la distance

La distance entre deux nombres réels $a$ et $b$ sur la droite numérique est donnée par $|b-a|$ (ou $|a-b|$). Exemple : La distance entre $2$ et $7$ est $|7-2| = |5| = 5$. La distance entre $-3$ et $4$ est $|4 - (-3)| = |4+3| = |7| = 7$. La distance entre $-5$ et $-1$ est $|-1 - (-5)| = |-1+5| = |4| = 4$.

Intervalles et distance

L'ensemble des nombres $x$ tels que $|x-a| \le r$ (avec $r \ge 0$) représente tous les nombres dont la distance à $a$ est inférieure ou égale à $r$. C'est l'intervalle $[a-r, a+r]$. Exemple : L'ensemble des $x$ tels que $|x-3| \le 2$ est l'intervalle $[3-2, 3+2] = [1, 5]$. Ceci signifie que $x$ est situé à une distance de 2 unités ou moins de 3.

Inégalités avec valeur absolue

• $|x| < a$ (avec $a > 0$) équivaut à $-a < x < a$. Exemple : $|x| < 3 \Rightarrow -3 < x < 3$.
• $|x| > a$ (avec $a > 0$) équivaut à $x < -a$ ou $x > a$. Exemple : $|x| > 3 \Rightarrow x < -3$ ou $x > 3$.

Les intervalles sont une manière concise de représenter des ensembles de nombres réels.

Notation des intervalles (ouverts, fermés, semi-ouverts)

Les crochets tournés vers l'extérieur (ou parenthèses) indiquent que la borne est exclue. Les crochets tournés vers l'intérieur indiquent que la borne est incluse.

Représentation sur la droite numérique

Sur la droite numérique, un point plein (•) indique que la borne est incluse, un cercle vide (○) indique que la borne est exclue.

Exemple : $[2, 5]$ est représenté par un segment allant de 2 à 5, avec des points pleins aux extrémités. $]-1, 3[$ est représenté par un segment allant de -1 à 3, avec des cercles vides aux extrémités.

Appartenance à un intervalle

Pour savoir si un nombre $x$ appartient à un intervalle, on vérifie s'il respecte les conditions de l'intervalle. Exemple : $2,5 \in [2, 5]$ (oui, car $2 \le 2,5 \le 5$). $3 \notin ]-1, 3[$ (non, car $3$ n'est pas strictement inférieur à $3$).

Les intervalles peuvent être combinés en utilisant les opérations ensemblistes.

Intersection d'intervalles

L'intersection de deux intervalles $I_1$ et $I_2$, notée $I_1 \cap I_2$, est l'ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à $I_1$ et à $I_2$. Exemple : $[-2, 5] \cap [3, 7[ = [3, 5]$ $]-\infty, 4] \cap [0, +\infty[ = [0, 4]$ $[1, 2] \cap [3, 4] = \emptyset$ (ensemble vide)

Réunion d'intervalles

La réunion de deux intervalles $I_1$ et $I_2$, notée $I_1 \cup I_2$, est l'ensemble des nombres qui appartiennent à $I_1$ ou à $I_2$ (ou aux deux). Exemple : $[1, 3] \cup [2, 4] = [1, 4]$ $]-\infty, 0[ \cup ]1, +\infty[$ (ne peut pas être simplifié en un seul intervalle car il y a un "trou") $[1, 5] \cup [5, 7] = [1, 7]$

Complémentaire d'un intervalle

Le complémentaire d'un intervalle $I$ dans $\mathbb{R}$, noté $\bar{I}$ ou $\mathbb{R} \setminus I$, est l'ensemble de tous les nombres réels qui n'appartiennent pas à $I$. Exemple : $\overline{[2, 5]} = ]-\infty, 2[ \cup ]5, +\infty[$ $\overline{]-\infty, 3[} = [3, +\infty[$

Résoudre une inégalité, c'est trouver l'ensemble des valeurs de la variable qui la rendent vraie.

Règles de manipulation des inégalités

• On peut additionner ou soustraire le même nombre aux deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l'inégalité. Si $a < b$, alors $a+c < b+c$.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre positif sans changer le sens. Si $a < b$ et $c > 0$, alors $ac < bc$.
• On doit multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif en changeant le sens de l'inégalité. Si $a < b$ et $c < 0$, alors $ac > bc$.

Inégalités du premier degré

Ce sont des inégalités de la forme $ax+b < c$ (ou $\le, >, \ge$). Exemple : Résoudre $3x - 5 \ge 4$. $3x \ge 4 + 5$ $3x \ge 9$ $x \ge \frac{9}{3}$ $x \ge 3$

Représentation des solutions sous forme d'intervalle

Les solutions d'une inégalité sont souvent représentées par un intervalle. Pour l'exemple précédent : $x \ge 3$ correspond à l'intervalle $[3, +\infty[$.

Exemple : Résoudre $-2x + 1 > 7$. $-2x > 7 - 1$ $-2x > 6$ $x < \frac{6}{-2}$ (on divise par un nombre négatif, donc on change le sens de l'inégalité) $x < -3$ L'ensemble des solutions est $]-\infty, -3[$.

L'ordre de grandeur est une estimation simple de la taille d'un nombre.

Arrondi à la puissance de 10 la plus proche

Pour un nombre donné, on l'arrondit le plus souvent au multiple de 10 le plus proche.

• Si le premier chiffre après le chiffre le plus significatif est 0, 1, 2, 3 ou 4, on arrondit par défaut.
• Si c'est 5, 6, 7, 8 ou 9, on arrondit par excès.

Exemple : Ordre de grandeur de 789 : 800 (ou $10^3$) Ordre de grandeur de 32 : 30 (ou $10^1$) Ordre de grandeur de 0,023 : 0,02 (ou $10^{-2}$)

Estimation de résultats de calculs

L'ordre de grandeur est très utile pour estimer le résultat d'un calcul complexe et vérifier qu'il est plausible. Exemple : Estimer $498 \times 2,1$. $498 \approx 500$ $2,1 \approx 2$ $500 \times 2 = 1000$. Le résultat exact est $1045,8$, l'estimation est proche.

Utilisation de l'écriture scientifique pour l'ordre de grandeur

Si un nombre est en écriture scientifique $a \times 10^n$ :

• Si $1 \le a < 5$, l'ordre de grandeur est $10^n$.
• Si $5 \le a < 10$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$.

Exemple : $3,2 \times 10^5 \rightarrow 10^5$ $7,8 \times 10^{-2} \rightarrow 10^{-1}$ (car $7,8 \ge 5$, donc on ajoute 1 à l'exposant : $-2+1 = -1$)

Encadrer un nombre, c'est le situer entre deux autres nombres.

Définition d'un encadrement

Un encadrement d'un nombre $x$ est une double inégalité de la forme $a \le x \le b$ (ou avec des inégalités strictes).

Exemple : $3 < \pi < 4$. Ici, $\pi$ est encadré par 3 et 4.

Précision d'un encadrement

La précision d'un encadrement est donnée par la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure ($b-a$). Plus cette différence est petite, plus l'encadrement est précis. Exemple : $3,14 < \pi < 3,15$ est plus précis que $3 < \pi < 4$.

Encadrement de nombres irrationnels

On peut encadrer des nombres irrationnels (comme $\pi$, $\sqrt{2}$) en utilisant des valeurs décimales approchées avec plus ou moins de chiffres après la virgule. Exemple : Encadrer $\sqrt{2}$ au centième près. $1,41^2 = 1,9881$ $1,42^2 = 2,0164$ Donc $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$.

Ces notions sont cruciales pour travailler avec des nombres qui ne peuvent pas être exprimés exactement en décimal.

Définition de la valeur approchée

Une valeur approchée d'un nombre est une valeur décimale qui lui est proche, mais pas nécessairement égale. Elle est obtenue par arrondi ou troncature.

Arrondi par défaut et par excès

• Arrondi par défaut (ou troncature) à un certain rang : on coupe le nombre après ce rang, en ignorant les chiffres suivants.
• Arrondi par excès à un certain rang : on prend l'arrondi par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale si les chiffres ignorés ne sont pas tous nuls.

Exemple pour $\pi \approx 3,14159265$:

L'arrondi usuel suit la règle : si le chiffre suivant est 0, 1, 2, 3, 4, on garde le chiffre tel quel (arrondi par défaut). Si c'est 5, 6, 7, 8, 9, on augmente le chiffre d'une unité (arrondi par excès).

Troncature

La troncature d'un nombre à un certain rang consiste à ne garder que les chiffres jusqu'à ce rang, en ignorant tous les chiffres suivants. C'est équivalent à l'arrondi par défaut. Exemple : La troncature de $12,3456$ au millième est $12,345$. La troncature de $-7,89$ au dixième est $-7,8$.