Probabilités conditionnelles et indépendance

En probabilités, nous étudions les phénomènes aléatoires, c'est-à-dire des expériences dont le résultat n'est pas certain à l'avance.

• Un événement est un ensemble de résultats possibles d'une expérience aléatoire. Par exemple, "obtenir un nombre pair" en lançant un dé.
• L'univers ($\Omega$) est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience. Pour un dé, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est un nombre compris entre 0 et 1 (ou 0% et 100%) qui mesure la "chance" que cet événement se produise. $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables à A}}{\text{nombre total de cas possibles}}$ (si les issues sont équiprobables).
• La probabilité de l'union de deux événements $A$ et $B$, notée $P(A \cup B)$, est la probabilité que $A$ ou $B$ (ou les deux) se réalisent. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• La probabilité de l'intersection de deux événements $A$ et $B$, notée $P(A \cap B)$, est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent simultanément.

Exemple : On lance un dé à six faces.

• $A$: "obtenir un nombre pair" = $\{2, 4, 6\}$, $P(A) = 3/6 = 1/2$.
• $B$: "obtenir un nombre supérieur à 4" = $\{5, 6\}$, $P(B) = 2/6 = 1/3$.
• $A \cap B$: "obtenir un nombre pair ET supérieur à 4" = $\{6\}$, $P(A \cap B) = 1/6$.
• $A \cup B$: "obtenir un nombre pair OU supérieur à 4" = $\{2, 4, 5, 6\}$, $P(A \cup B) = 4/6 = 2/3$. Vérifions la formule : $P(A \cup B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3$. C'est correct !

Imaginez que vous lancez un dé. Vous savez que le résultat est un nombre pair. Quelle est la probabilité que ce nombre soit 6 ? L'information "le résultat est un nombre pair" change notre univers des possibles. C'est exactement l'idée derrière les probabilités conditionnelles.

La probabilité conditionnelle de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé (ou s'est réalisé) est la probabilité que $A$ se produise, étant donné que $B$ s'est déjà produit. Elle est notée $P(A|B)$ (lire "P de A sachant B").

La formule pour calculer $P(A|B)$ est la suivante : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ Cette formule n'est valable que si $P(B) \neq 0$. En effet, si $P(B) = 0$, cela signifie que l'événement $B$ ne peut pas se produire, et il n'y a donc aucun sens à calculer la probabilité de $A$ sachant que $B$ s'est produit.

Retenez bien cette formule, elle est la clé des probabilités conditionnelles !

Interprétation : Lorsqu'on sait que $B$ est réalisé, notre nouvel "univers" se réduit à $B$. Parmi les issues qui composent $B$, seules celles qui sont aussi dans $A$ (c'est-à-dire dans $A \cap B$) nous intéressent pour que $A$ se réalise. On "normalise" donc par $P(B)$ pour que la somme des probabilités dans ce nouvel univers conditionné soit 1.

Les probabilités conditionnelles sont partout dans la vie réelle.

Exemple 1 : Lancement de dé (suite) Soit $A$: "obtenir un 6" et $B$: "obtenir un nombre pair". Nous voulons calculer $P(A|B)$, la probabilité d'obtenir un 6 sachant que le nombre obtenu est pair.

• $A = \{6\}$, $P(A) = 1/6$.
• $B = \{2, 4, 6\}$, $P(B) = 3/6 = 1/2$.
• $A \cap B = \{6\}$, $P(A \cap B) = 1/6$.

En utilisant la formule : $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ Interprétation : Si nous savons que le résultat est un nombre pair, il y a 3 résultats possibles (2, 4, 6). Parmi ceux-ci, un seul est un 6. Donc la probabilité est bien $1/3$. Cela a du sens !

Exemple 2 : Tableaux à double entrée (ou tableaux de contingence) Dans une classe de 30 élèves, 12 sont des garçons (G) et 18 sont des filles (F). Parmi les garçons, 8 font du sport (S). Parmi les filles, 10 font du sport.

On choisit un élève au hasard.

• Quelle est la probabilité que cet élève fasse du sport sachant que c'est une fille ? C'est $P(S|F)$. $P(F) = 18/30$. $P(S \cap F) = 10/30$. $P(S|F) = \frac{P(S \cap F)}{P(F)} = \frac{10/30}{18/30} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$. Interprétation : Parmi les 18 filles, 10 font du sport. La probabilité est donc bien $10/18$.

• Quelle est la probabilité que ce soit une fille sachant qu'elle fait du sport ? C'est $P(F|S)$. $P(S) = 18/30$. $P(F \cap S) = 10/30$. $P(F|S) = \frac{P(F \cap S)}{P(S)} = \frac{10/30}{18/30} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.

Exemple 3 : Arbres pondérés Les arbres pondérés sont extrêmement utiles pour visualiser des séquences d'événements et calculer des probabilités conditionnelles. Chaque branche est associée à une probabilité. Les probabilités sur les branches partant d'un même nœud somment à 1.

Imaginons une usine qui fabrique des pièces. La machine A produit 60% des pièces et la machine B produit 40%. La machine A produit 5% de pièces défectueuses (D), et la machine B produit 10% de pièces défectueuses.

Arbre pondéré :

Départ
  ├── Machine A (0.6)
  │   ├── Défectueuse (0.05) -> P(A ∩ D) = 0.6 * 0.05 = 0.03
  │   └── Non Défectueuse (0.95) -> P(A ∩ D̅) = 0.6 * 0.95 = 0.57
  └── Machine B (0.4)
      ├── Défectueuse (0.10) -> P(B ∩ D) = 0.4 * 0.10 = 0.04
      └── Non Défectueuse (0.90) -> P(B ∩ D̅) = 0.4 * 0.90 = 0.36

• $P(D|A) = 0.05$ (probabilité d'être défectueuse sachant que ça vient de A).
• $P(D|B) = 0.10$ (probabilité d'être défectueuse sachant que ça vient de B).

Nous verrons comment utiliser ces arbres pour des calculs plus complexes dans la section suivante.

La formule des probabilités composées est une reformulation de la définition de la probabilité conditionnelle. Elle est particulièrement utile pour calculer la probabilité de l'intersection de deux événements.

De $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, on peut déduire que : $P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$ De manière symétrique, si $P(A) \neq 0$ : $P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)$

Cette formule est fondamentale pour "lire" les chemins dans un arbre pondéré. La probabilité d'un chemin (une intersection d'événements successifs) est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Utilisation dans les arbres : Reprenons l'exemple de l'usine :

• $P(A \cap D)$ (probabilité que la pièce vienne de A ET soit défectueuse) : $P(A \cap D) = P(D|A) \times P(A) = 0.05 \times 0.6 = 0.03$. (Cela correspond au premier chemin "Machine A puis Défectueuse").
• $P(B \cap D)$ (probabilité que la pièce vienne de B ET soit défectueuse) : $P(B \cap D) = P(D|B) \times P(B) = 0.10 \times 0.4 = 0.04$. (Cela correspond au deuxième chemin "Machine B puis Défectueuse").

Ces probabilités $P(A \cap D)$ et $P(B \cap D)$ sont appelées probabilités d'intersection ou probabilités conjointes.

La formule des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement $A$ en le décomposant en plusieurs cas mutuellement exclusifs (disjoints) qui couvrent toutes les possibilités.

Pour utiliser cette formule, nous avons besoin d'un système complet d'événements. Un ensemble d'événements $B_1, B_2, ..., B_n$ forme un système complet d'événements (ou une partition de l'univers) si :

1. Ils sont deux à deux disjoints (incompatibles) : $B_i \cap B_j = \emptyset$ pour $i \neq j$.
2. Leur union est l'univers entier : $B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = \Omega$.
3. Leurs probabilités ne sont pas nulles : $P(B_i) \neq 0$ pour tout $i$.

Si $B_1, B_2, ..., B_n$ est un système complet d'événements, alors pour tout événement $A$, la formule des probabilités totales est : $P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + ... + P(A \cap B_n)$ En utilisant la formule des probabilités composées, on peut réécrire ceci comme : $P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + ... + P(A|B_n)P(B_n)$ $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i)$

Le cas le plus courant est celui où l'on a un événement $B$ et son complémentaire B̅. Alors \{B, B̅\} forme un système complet d'événements, et la formule devient : P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B̅)P(B̅)

Exemple : (suite de l'usine) Quelle est la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse ? C'est $P(D)$. Les événements "la pièce vient de la machine A" ($A$) et "la pièce vient de la machine B" ($B$) forment un système complet d'événements. En utilisant la formule des probabilités totales : $P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B)$ $P(D) = (0.05 \times 0.6) + (0.10 \times 0.4)$ $P(D) = 0.03 + 0.04$ $P(D) = 0.07$ Donc, 7% des pièces produites sont défectueuses.

Les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales sont essentielles dans de nombreux domaines :

• Problèmes de diagnostic (médecine) : Quelle est la probabilité d'avoir une maladie (M) sachant qu'un test (T) est positif ? $P(M|T)$. C'est souvent très différent de $P(T|M)$ (probabilité que le test soit positif sachant qu'on a la maladie). C'est le théorème de Bayes qui permet de passer de l'un à l'autre, mais il repose sur les bases que nous venons de voir.
• Fiabilité de systèmes : Calculer la probabilité qu'un système fonctionne (F) sachant qu'un composant (C) est défaillant.
• Sondages et études marketing : Quelle est la probabilité qu'une personne achète un produit (A) sachant qu'elle a vu une publicité (P) ?
• Modélisation : Construire des modèles probabilistes pour prédire des événements futurs en fonction de conditions actuelles.

Ces outils permettent de prendre des décisions éclairées face à l'incertitude.

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre.

Formellement, $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Il existe des définitions équivalentes, à condition que les probabilités ne soient pas nulles :

• Si $P(B) \neq 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A|B) = P(A)$. (La probabilité de $A$ ne change pas même si on sait que $B$ s'est produit).
• Si $P(A) \neq 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(B|A) = P(B)$. (La probabilité de $B$ ne change pas même si on sait que $A$ s'est produit).

Ces trois formulations sont équivalentes et peuvent être utilisées pour vérifier l'indépendance.

Exemple : On lance un dé à six faces.

• $A$: "obtenir un nombre pair" ($P(A) = 1/2$).
• $B$: "obtenir un nombre multiple de 3" ($B = \{3, 6\}$, $P(B) = 2/6 = 1/3$).
• $A \cap B$: "obtenir un nombre pair ET un multiple de 3" ($A \cap B = \{6\}$, $P(A \cap B) = 1/6$).

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Vérifions $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ : $1/6 = (1/2) \times (1/3)$ $1/6 = 1/6$. Oui, les événements sont indépendants ! Le fait que le nombre soit pair n'affecte pas la probabilité qu'il soit un multiple de 3 (et vice-versa).

C'est une source fréquente de confusion ! L'indépendance et l'incompatibilité sont deux notions très différentes.

• Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints) si ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est vide : $A \cap B = \emptyset$. Dans ce cas, $P(A \cap B) = 0$. Exemple : Avec un dé, $A$: "obtenir un 1", $B$: "obtenir un 2". $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$. Ils sont incompatibles.

• Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Peuvent-ils être les deux ? Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cap B) = 0$. S'ils sont aussi indépendants, alors $P(A) \times P(B) = 0$. Cela implique que $P(A) = 0$ ou $P(B) = 0$. Donc, si deux événements sont à la fois incompatibles et indépendants, au moins l'un d'eux doit être un événement impossible (de probabilité nulle). En général, si $A$ et $B$ sont incompatibles et $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$, alors ils ne sont PAS indépendants. Au contraire, le fait que l'un se réalise rend l'autre impossible, ce qui est une forte influence !

Tableau comparatif :

Ne confondez jamais indépendance et incompatibilité !

L'indépendance a des propriétés intéressantes qui sont souvent utiles dans les démonstrations ou les calculs :

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors les paires d'événements suivantes sont également indépendantes :

1. $A$ et B̅ (le complémentaire de $B$)
2. A̅ et $B$
3. A̅ et B̅

Démonstration simple pour $A$ et B̅ : Nous savons que P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B̅) (car $B$ et B̅ forment un système complet d'événements). Donc P(A \cap B̅) = P(A) - P(A \cap B). Puisque $A$ et $B$ sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. En substituant : P(A \cap B̅) = P(A) - P(A) \times P(B) = P(A) (1 - P(B)). Comme 1 - P(B) = P(B̅), on obtient : P(A \cap B̅) = P(A) \times P(B̅). Ceci prouve que $A$ et B̅ sont indépendants. Les autres démonstrations sont similaires.

Ces propriétés sont très pratiques car elles nous permettent d'affirmer l'indépendance entre un événement et le complémentaire d'un autre sans refaire tout le calcul si l'indépendance initiale est établie.

Les arbres pondérés sont une aide visuelle puissante pour résoudre des problèmes de probabilités conditionnelles.

Étapes pour construire et utiliser un arbre pondéré :

1. Identifier les étapes successives de l'expérience aléatoire ou les catégories initiales.
2. Dessiner les branches pour chaque issue possible à chaque étape.
3. Attribuer les probabilités sur les branches :
   • Les premières branches sont des probabilités simples ($P(E_1)$, $P(E_2)$, ...).
   • Les branches suivantes sont des probabilités conditionnelles ($P(F|E_1)$, $P(F|E_2)$, ...).
4. Calculer les probabilités des chemins (intersections) en multipliant les probabilités le long de chaque chemin (formule des probabilités composées). La somme de toutes les probabilités des chemins doit être égale à 1.
5. Calculer les probabilités totales en sommant les probabilités des chemins qui mènent à l'événement désiré (formule des probabilités totales).
6. Calculer les probabilités conditionnelles "inversées" en utilisant la formule $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Exemple pratique : Une maladie touche 1% de la population. Un test de dépistage est mis au point.

• Si une personne est malade (M), le test est positif (T) dans 95% des cas (sensibilité du test). $P(T|M) = 0.95$.
• Si une personne n'est pas malade (M̅), le test est négatif (T̅) dans 90% des cas (spécificité du test). P(T̅|M̅) = 0.90, donc P(T|M̅) = 0.10.

1. Construction de l'arbre :

   Départ
     ├── Malade (M) P(M) = 0.01
     │   ├── Test Positif (T) P(T|M) = 0.95 -> P(M ∩ T) = 0.01 * 0.95 = 0.0095
     │   └── Test Négatif (T̅) P(T̅|M) = 0.05 -> P(M ∩ T̅) = 0.01 * 0.05 = 0.0005
     └── Non Malade (M̅) P(M̅) = 0.99
         ├── Test Positif (T) P(T|M̅) = 0.10 -> P(M̅ ∩ T) = 0.99 * 0.10 = 0.0990
         └── Test Négatif (T̅) P(T̅|M̅) = 0.90 -> P(M̅ ∩ T̅) = 0.99 * 0.90 = 0.8910
   

   Vérification : $0.0095 + 0.0005 + 0.0990 + 0.8910 = 1$. L'arbre est correct.

2. Calcul de la probabilité d'un test positif $P(T)$ : (Formule des probabilités totales) P(T) = P(M \cap T) + P(M̅ \cap T) = 0.0095 + 0.0990 = 0.1085. Il y a 10.85% de chances qu'un test soit positif.

3. Calcul de la probabilité d'être malade sachant que le test est positif $P(M|T)$ : C'est la question cruciale ! On utilise la définition de la probabilité conditionnelle. $P(M|T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.0875$. Interprétation : Même si le test est positif, la probabilité d'être réellement malade n'est que d'environ 8.75% ! C'est souvent contre-intuitif et montre l'importance de la prévalence de la maladie dans la population.

Les tableaux de contingence (ou tableaux à double entrée) sont idéaux pour organiser des données catégorielles et calculer des probabilités, en particulier quand l'indépendance est en jeu.

Étapes :

1. Remplir le tableau avec les effectifs ou les fréquences.
2. Calculer les totaux par ligne et par colonne.
3. Calculer les probabilités simples en divisant les effectifs par le total général.
4. Calculer les probabilités d'intersection en divisant les cellules internes par le total général.
5. Calculer les probabilités conditionnelles en divisant la probabilité d'intersection par la probabilité de la condition (ou directement les effectifs).
6. Vérifier l'indépendance en comparant $P(A \cap B)$ avec $P(A) \times P(B)$.

Exemple : (suite de la classe)

• $P(G) = 12/30 = 0.4$
• $P(S) = 18/30 = 0.6$
• $P(G \cap S) = 8/30 \approx 0.267$

Les événements "être un garçon" (G) et "faire du sport" (S) sont-ils indépendants ? Vérifions si $P(G \cap S) = P(G) \times P(S)$. $8/30 = (12/30) \times (18/30)$ $8/30 = (2/5) \times (3/5)$ $8/30 = 6/25$ $0.266... \neq 0.24$. Non, ces événements ne sont pas indépendants. Le fait d'être un garçon influence la probabilité de faire du sport dans cette classe. On pourrait calculer $P(S|G) = 8/12 = 2/3 \approx 0.667$ et $P(S) = 0.6$. Puisque $P(S|G) \neq P(S)$, ils ne sont pas indépendants.

Pour maîtriser ces concepts, il est crucial de s'exercer sur des problèmes variés.

• Problèmes à étapes multiples : Combinez des tirages successifs, des choix conditionnels pour construire des arbres complexes et appliquer les formules des probabilités composées et totales.
• Analyse critique des résultats : Demandez-vous toujours si le résultat obtenu a du sens dans le contexte du problème. Une probabilité de 8% d'être malade après un test positif doit vous interpeller et vous faire réfléchir aux implications.
• Rédaction de solutions claires : Présentez vos étapes de calcul de manière logique et justifiée. N'oubliez pas les phrases de conclusion pour interpréter vos résultats.
• Préparation à l'épreuve : Entraînez-vous avec des exercices type baccalauréat pour vous familiariser avec la formulation des questions et les attentes.

Ces fiches de révision vous ont fourni les bases solides des probabilités conditionnelles et de l'indépendance. La clé de la réussite est la pratique régulière !