Resoudre une equation

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues, généralement représentées par des lettres (comme $x$, $y$, etc.). Le but est de trouver les valeurs de ces inconnues qui rendent l'égalité vraie.

Par exemple, dans l'équation $2x + 3 = 7$, $x$ est l'inconnue. Trouver la valeur de $x$ qui satisfait cette égalité, c'est résoudre l'équation.

• Inconnue et solution : L'inconnue est la variable dont on cherche la valeur. Une solution d'une équation est une valeur (ou un ensemble de valeurs) de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
  • Pour $2x + 3 = 7$, si $x=2$, alors $2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$. L'égalité est vraie, donc $x=2$ est une solution.
• Ensemble de définition : L'ensemble de définition (ou domaine de validité) d'une équation est l'ensemble de toutes les valeurs possibles que l'inconnue peut prendre pour que l'équation ait un sens. Par exemple, on ne peut pas diviser par zéro, ni prendre la racine carrée d'un nombre négatif. L'ensemble de définition est crucial pour ne pas chercher des solutions dans des contextes où elles n'auraient pas de sens mathématique. Toujours déterminer l'ensemble de définition avant de résoudre une équation complexe.

Les équations du premier degré sont les plus simples à résoudre. Elles peuvent toujours être ramenées à la forme $ax + b = 0$.

• Forme $ax + b = 0$ : Où $a$ et $b$ sont des nombres réels connus, et $a \neq 0$.

  • Exemples : $3x - 6 = 0$, $5x = 10$, $x + 7 = 0$.

• Méthodes de résolution : L'objectif est d'isoler l'inconnue $x$. On utilise les propriétés des opérations :

  1. Additionner ou soustraire le même nombre aux deux membres de l'équation.
  2. Multiplier ou diviser les deux membres de l'équation par le même nombre non nul.

  Exemple de résolution : Résoudre $3x - 6 = 0$.

  1. Ajouter $6$ aux deux membres : $3x - 6 + 6 = 0 + 6 \implies 3x = 6$.
  2. Diviser par $3$ aux deux membres : $\frac{3x}{3} = \frac{6}{3} \implies x = 2$. L'ensemble des solutions est $S = \{2\}$.

  La règle d'or est de toujours effectuer la même opération des deux côtés de l'égalité pour la maintenir vraie.

• Interprétation graphique : L'équation $ax + b = 0$ peut être interprétée graphiquement. La fonction associée est $f(x) = ax + b$, qui est une fonction affine (représentée par une droite). Résoudre $ax + b = 0$ revient à trouver l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses (là où $y=0$).

  • Pour $f(x) = 3x - 6$, la solution $x=2$ correspond au point où la droite coupe l'axe des $x$.

Une équation produit nul est une équation de la forme $(Ax+B)(Cx+D) = 0$ ou, plus généralement, un produit de facteurs égal à zéro.

• Propriété fondamentale : Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul.

  • C'est-à-dire, si $A \times B = 0$, alors $A = 0$ ou $B = 0$.

• Factorisation : Souvent, pour résoudre une équation produit nul, il faut d'abord factoriser l'expression. La factorisation permet de transformer une somme ou une différence en un produit.

  • Exemple : $x^2 - 4 = 0$ n'est pas directement un produit nul. Mais on peut le factoriser grâce à l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $x^2 - 4 = (x-2)(x+2) = 0$.

• Exemples de résolution :

  1. $(x-2)(x+2) = 0$ On applique la propriété : $x-2 = 0 \implies x = 2$ ou $x+2 = 0 \implies x = -2$ L'ensemble des solutions est $S = \{-2, 2\}$.

  2. Résoudre $x^2 + 5x = 0$. On factorise par $x$ : $x(x+5) = 0$. $x = 0$ ou $x+5 = 0 \implies x = -5$ L'ensemble des solutions est $S = \{-5, 0\}$.

  La factorisation est une compétence clé pour résoudre de nombreux types d'équations, y compris les équations du second degré.

Une équation du second degré s'écrit sous la forme générale $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des coefficients réels et $a \neq 0$.

• Forme $ax^2 + bx + c = 0$ : C'est la forme développée (ou générale).

  • Exemples : $2x^2 - 3x + 1 = 0$, $x^2 - 4 = 0$, $-x^2 + 5x = 0$.

• Complétion du carré : Toute équation du second degré peut être mise sous forme canonique. La forme canonique est $a(x-\alpha)^2 + \beta = 0$.

  • Pour passer de la forme générale à la forme canonique, on utilise la technique de la "complétion du carré". $ax^2 + bx + c = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right)$ On sait que $\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2$. Donc $x^2 + \frac{b}{a}x = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2$. En substituant, on obtient la forme canonique : $ax^2 + bx + c = a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right]$ $ax^2 + bx + c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - a \frac{b^2}{4a^2} + c$ $ax^2 + bx + c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a}$ $ax^2 + bx + c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$ On pose $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$. La forme canonique est $a(x-\alpha)^2 + \beta = 0$.

• Lien avec les racines : Si l'équation a des solutions (appelées racines), on peut aussi l'écrire sous forme factorisée : $a(x-x_1)(x-x_2) = 0$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines.

  • Si l'équation a une seule solution double, la forme factorisée est $a(x-x_1)^2 = 0$.
  • Si l'équation n'a pas de solution réelle, elle ne peut pas être factorisée dans l'ensemble des nombres réels.

Le discriminant, noté $\Delta$ (delta), est un outil fondamental pour déterminer le nombre de solutions d'une équation du second degré. Il est défini par la formule :

$\Delta = b^2 - 4ac$

• Calcul de $\Delta$ : Pour une équation $ax^2 + bx + c = 0$, on identifie $a$, $b$, $c$ et on calcule $\Delta$.
  • Exemple : Pour $2x^2 - 3x + 1 = 0$, $a=2$, $b=-3$, $c=1$. $\Delta = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.
• Nombre de solutions : La valeur de $\Delta$ indique le nombre de solutions réelles :
  • Cas $\Delta > 0$ : L'équation a deux solutions réelles distinctes.
  • Cas $\Delta = 0$ : L'équation a une unique solution réelle (dite "double").
  • Cas $\Delta < 0$ : L'équation n'a aucune solution réelle. (Elle a deux solutions complexes conjuguées, mais ce n'est pas au programme de Première générale).

Lorsque $\Delta \ge 0$, les solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont données par les formules suivantes :

• Racines $x_1$ et $x_2$ :

  • Si $\Delta > 0$ : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
  • Si $\Delta = 0$ : $x_0 = \frac{-b}{2a}$ C'est la solution double.

  Reprenons l'exemple $2x^2 - 3x + 1 = 0$ : On a trouvé $\Delta = 1$. Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions : $x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$ L'ensemble des solutions est $S = \left\{ \frac{1}{2}, 1 \right\}$.

• Cas particuliers ($b=0$, $c=0$) :

  • Si $b=0$ : L'équation devient $ax^2 + c = 0 \implies ax^2 = -c \implies x^2 = -\frac{c}{a}$.
    • Si $-\frac{c}{a} > 0$, alors $x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$. (Deux solutions)
    • Si $-\frac{c}{a} = 0$, alors $x = 0$. (Une solution)
    • Si $-\frac{c}{a} < 0$, alors pas de solution réelle. Exemple : $2x^2 - 8 = 0 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
  • Si $c=0$ : L'équation devient $ax^2 + bx = 0$. On peut factoriser par $x$ : $x(ax+b) = 0$. Les solutions sont $x=0$ ou $ax+b=0 \implies x=-\frac{b}{a}$. (Deux solutions) Exemple : $3x^2 + 6x = 0 \implies 3x(x+2) = 0$. Solutions : $x=0$ ou $x=-2$.

• Somme et produit des racines (Relations de Viète) : Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2 + bx + c = 0$, alors :

  • Somme des racines : $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
  • Produit des racines : $P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ Ces relations sont utiles pour vérifier des solutions ou pour construire une équation à partir de ses racines.

La fonction associée à une équation du second degré est $f(x) = ax^2 + bx + c$, qui est une fonction polynomiale du second degré. Sa représentation graphique est une parabole.

• Parabole et axe des abscisses : Résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (là où $y=0$).
  • Si $\Delta > 0$ : La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points distincts.
  • Si $\Delta = 0$ : La parabole est tangente à l'axe des abscisses en un seul point (son sommet).
  • Si $\Delta < 0$ : La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.
• Sommet de la parabole : Les coordonnées du sommet $S$ de la parabole sont $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$. L'abscisse du sommet est également l'axe de symétrie de la parabole.
• Signe du coefficient 'a' :
  • Si $a > 0$ : La parabole est "ouverte vers le haut" (forme de "U"). Le sommet est un minimum.
  • Si $a < 0$ : La parabole est "ouverte vers le bas" (forme de "U" inversé). Le sommet est un maximum. Le signe de 'a' détermine l'orientation de la parabole et donc le comportement de la fonction.

La valeur absolue d'un nombre $x$, notée $|x|$, est sa distance à zéro sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle.

• Définition de la valeur absolue :

  • $|x| = x$ si $x \ge 0$
  • $|x| = -x$ si $x < 0$
  • Par exemple, $|5|=5$ et $|-5|=5$.

• Résolution par disjonction de cas : Pour résoudre une équation contenant des valeurs absolues, la méthode la plus courante est de séparer les cas en fonction du signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.

  Exemple : Résoudre $|x-3| = 5$.

  1. Premier cas : $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$. Dans ce cas, $|x-3| = x-3$. L'équation devient $x-3 = 5 \implies x = 8$. Cette solution ($x=8$) est compatible avec la condition $x \ge 3$. C'est une solution valide.
  2. Deuxième cas : $x-3 < 0 \implies x < 3$. Dans ce cas, $|x-3| = -(x-3) = -x+3$. L'équation devient $-x+3 = 5 \implies -x = 2 \implies x = -2$. Cette solution ($x=-2$) est compatible avec la condition $x < 3$. C'est une solution valide. L'ensemble des solutions est $S = \{-2, 8\}$.

  Une autre propriété utile : $|A| = |B| \iff A = B \text{ ou } A = -B$. Par exemple, $|2x+1| = |x-4| \iff 2x+1 = x-4 \text{ ou } 2x+1 = -(x-4)$.

• Interprétation géométrique : L'équation $|x-a| = r$ signifie que la distance entre $x$ et $a$ est égale à $r$. Sur une droite numérique, cela représente deux points symétriques par rapport à $a$.

  • Pour $|x-3|=5$, la distance de $x$ à $3$ est $5$. Les solutions sont $3-5=-2$ et $3+5=8$.

Une équation avec racine carrée contient l'inconnue sous un radical ($\sqrt{\cdot}$).

• Conditions d'existence : La première étape est TOUJOURS de déterminer l'ensemble de définition. L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.

  • Pour $\sqrt{A(x)} = B(x)$, il faut que $A(x) \ge 0$. De plus, comme une racine carrée est toujours positive ou nulle, il faut aussi que $B(x) \ge 0$.

• Élévation au carré : Pour éliminer la racine carrée, on élève les deux membres de l'équation au carré.

  • Si $\sqrt{A(x)} = B(x)$, alors $(\sqrt{A(x)})^2 = (B(x))^2 \implies A(x) = (B(x))^2$.
  • ATTENTION : L'élévation au carré peut introduire des solutions étrangères. Il est IMPÉRATIF de vérifier toutes les solutions trouvées dans l'équation originale.

  Exemple : Résoudre $\sqrt{x+2} = x$.

  1. Conditions d'existence :
     • $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
     • $x \ge 0$ (car la racine carrée est positive). Donc, l'ensemble de définition est $x \ge 0$.
  2. Élévation au carré : $(\sqrt{x+2})^2 = x^2$ $x+2 = x^2$ $x^2 - x - 2 = 0$
  3. Résolution de l'équation du second degré : On calcule le discriminant : $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$. Les solutions sont : $x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. $x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
  4. Vérification des solutions :
     • Pour $x_1 = -1$ : Cette solution ne respecte pas la condition $x \ge 0$. Elle est donc étrangère.
     • Pour $x_2 = 2$ : Cette solution respecte la condition $x \ge 0$. Vérifions dans l'équation originale : $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Et $x=2$. L'égalité $2=2$ est vraie. C'est une solution valide. L'ensemble des solutions est $S = \{2\}$.

Une équation rationnelle est une équation où l'inconnue apparaît au dénominateur d'une fraction.

• Définition et ensemble de définition : Une équation rationnelle est de la forme $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ ou $\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}$, où $P, Q, R, S$ sont des polynômes. La condition essentielle est que les dénominateurs ne doivent jamais être nuls. Il faut impérativement exclure les valeurs de $x$ qui annulent un dénominateur de l'ensemble de définition.

• Réduction au même dénominateur : Pour résoudre, on ramène souvent tous les termes du même côté de l'égalité et on réduit au même dénominateur.

  • Exemple : Résoudre $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = 2$.
    1. Ensemble de définition : $x \neq 0$ et $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\}$.
    2. Réduction au même dénominateur : $\frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = 2$ $\frac{2x+1}{x(x+1)} = 2$ $\frac{2x+1}{x^2+x} = 2$ $2x+1 = 2(x^2+x)$ (Attention, cette étape n'est valide que si $x^2+x \neq 0$, ce qui est déjà garanti par l'ensemble de définition) $2x+1 = 2x^2+2x$ $2x^2 - 1 = 0$

• Équations quotients nuls : Une fois l'équation ramenée à la forme $\frac{N(x)}{D(x)} = 0$, la résolution est simple :

  • Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul, et son dénominateur est non nul.
  • Donc, on résout $N(x)=0$ et on vérifie que les solutions obtenues ne sont pas des valeurs interdites (c'est-à-dire qu'elles n'annulent pas $D(x)$).

  Reprenons l'exemple $2x^2 - 1 = 0$ : $2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Les solutions sont $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ces deux solutions sont différentes de $0$ et $-1$, elles sont donc valides. L'ensemble des solutions est $S = \left\{ -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right\}$.

Un système d'équations linéaires à deux inconnues est un ensemble de deux équations du premier degré avec les mêmes inconnues (souvent $x$ et $y$). Il s'écrit généralement sous la forme : $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$

• Méthode par substitution :

  1. Exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à partir de l'une des équations.
  2. Substituer cette expression dans l'autre équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue.
  3. Résoudre cette équation pour trouver la valeur de la première inconnue.
  4. Substituer cette valeur dans l'expression de l'étape 1 pour trouver la valeur de la deuxième inconnue.

  Exemple : $\begin{cases} x + 2y = 7 \quad (L_1) \\ 3x - y = 0 \quad (L_2) \end{cases}$

  1. De $(L_2)$, on tire $y = 3x$.
  2. Substituer $y=3x$ dans $(L_1)$ : $x + 2(3x) = 7 \implies x + 6x = 7 \implies 7x = 7$.
  3. Résoudre pour $x$ : $x = 1$.
  4. Substituer $x=1$ dans $y=3x$ : $y = 3(1) = 3$. La solution est le couple $(x, y) = (1, 3)$.

• Méthode par combinaison linéaire (ou addition) :

  1. Multiplier chaque équation par un nombre choisi de sorte que les coefficients d'une des inconnues deviennent opposés.
  2. Additionner les deux équations membre à membre. L'inconnue avec les coefficients opposés s'élimine, laissant une équation à une seule inconnue.
  3. Résoudre cette équation.
  4. Répéter le processus pour l'autre inconnue ou utiliser la substitution.

  Exemple (avec le même système) : $\begin{cases} x + 2y = 7 \quad (L_1) \\ 3x - y = 0 \quad (L_2) \end{cases}$

  1. On veut éliminer $y$. Multiplier $(L_2)$ par $2$ : $\begin{cases} x + 2y = 7 \quad (L_1) \\ 2 \times (3x - y) = 2 \times 0 \implies 6x - 2y = 0 \quad (2L_2) \end{cases}$
  2. Ajouter $(L_1)$ et $(2L_2)$ : $(x + 2y) + (6x - 2y) = 7 + 0$ $7x = 7$
  3. Résoudre pour $x$ : $x = 1$.
  4. Substituer $x=1$ dans $(L_1)$ : $1 + 2y = 7 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. La solution est $(x, y) = (1, 3)$.

• Interprétation graphique : Chaque équation linéaire ($ax+by=c$) représente une droite dans le plan cartésien. Résoudre un système de deux équations linéaires, c'est trouver les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

  • Une solution unique : Les droites sont sécantes.
  • Pas de solution : Les droites sont parallèles et distinctes.
  • Une infinité de solutions : Les droites sont confondues.

La clé pour résoudre un problème par les équations est de bien le traduire du langage courant vers le langage mathématique.

• Traduction d'un énoncé :
  1. Lire attentivement l'énoncé pour bien comprendre le contexte et ce qui est demandé.
  2. Identifier les quantités connues et inconnues.
• Choix de l'inconnue :
  1. Désigner l'inconnue (ou les inconnues) par une lettre ($x$, $y$, etc.). Souvent, l'inconnue est ce que l'on cherche.
  2. Écrire les relations entre les différentes quantités sous forme d'équations.
• Vérification de la solution :
  1. Une fois l'équation résolue, il faut toujours vérifier si la solution a un sens dans le contexte du problème (par exemple, une longueur ne peut pas être négative).
  2. Vérifier que la solution trouvée satisfait toutes les conditions de l'énoncé initial. Ne pas oublier de formuler la réponse au problème dans le contexte initial.

Les équations sont omniprésentes :

• Géométrie : Calcul de dimensions, d'aires, de volumes.
  • Exemple : Le périmètre d'un rectangle est de $20$ cm. Sa longueur est le double de sa largeur. Quelles sont ses dimensions ? Soit $l$ la largeur et $L$ la longueur. $2(L+l) = 20$ $L = 2l$ On a un système d'équations à résoudre.
• Physique : Lois de mouvement, circuits électriques, optique.
  • Exemple : Calculer le temps pour qu'un objet atteigne une certaine hauteur sous l'effet de la gravité.
• Économie : Calcul de coûts, bénéfices, seuils de rentabilité, taux d'intérêt.
  • Exemple : Déterminer le prix d'équilibre d'un marché.

Les outils technologiques sont de grands alliés pour la résolution et la vérification.

• Résolution numérique : La plupart des calculatrices graphiques (comme la TI-83 Premium CE, Casio Graph 35/75) et des logiciels (GeoGebra, Python avec SymPy) peuvent résoudre des équations numériquement ou symboliquement.
  • Utiliser la fonction "solve" ou "résoudre" de la calculatrice pour obtenir les solutions d'équations du second degré, par exemple.
• Vérification graphique :
  • Pour une équation $f(x)=0$, on peut tracer la courbe de $y=f(x)$ et chercher les intersections avec l'axe des abscisses.
  • Pour un système d'équations, on trace les droites correspondantes et on observe leur point d'intersection.
  • C'est un excellent moyen de visualiser les solutions et de vérifier leur cohérence.
• Limites des outils : Bien que puissants, ces outils ne remplacent pas la compréhension des méthodes.
  • Ils peuvent donner des approximations numériques et non les valeurs exactes (comme $\sqrt{2}$).
  • Ils ne donnent pas toujours l'ensemble de définition ou ne gèrent pas toujours les cas particuliers (solutions étrangères pour les racines carrées).
  • Il est crucial de comprendre la théorie pour interpréter correctement les résultats des outils numériques.