Suites numériques

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels. On peut la voir comme une fonction dont l'ensemble de définition est une partie des nombres entiers naturels $\mathbb{N}$ (souvent $\mathbb{N}$ lui-même, ou $\mathbb{N}^*$, ou un intervalle $[[n_0, +\infty[[$).

Chaque nombre de la suite est appelé un terme. Ces termes sont généralement notés avec une lettre (souvent $u$, $v$, $w$) suivie d'un indice $n$ en bas à droite, qui indique sa position dans la suite. On écrit donc $u_n$.

L'indice $n$ est un nombre entier. Il peut commencer à 0 (on parle alors de $u_0$) ou à 1 (on parle de $u_1$). Par exemple, la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ signifie que les termes sont $u_0, u_1, u_2, \dots$. La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ signifie que les termes sont $u_1, u_2, u_3, \dots$.

Le terme général $u_n$ est l'expression qui permet de calculer n'importe quel terme de la suite en fonction de son indice $n$.

Exemple : La suite des nombres pairs peut être notée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $u_n = 2n$. Alors $u_0 = 2 \times 0 = 0$, $u_1 = 2 \times 1 = 2$, $u_2 = 2 \times 2 = 4$, etc.

Une suite est définie sous forme explicite lorsque chaque terme $u_n$ est donné directement en fonction de son indice $n$. C'est comme une fonction $f(x)$ où $x$ serait remplacé par $n$.

La formule est de la forme $u_n = f(n)$.

Comment calculer les premiers termes ? Il suffit de remplacer $n$ par les valeurs des indices souhaitées.

Exemple : Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = n^2 - 3$.

• $u_0 = 0^2 - 3 = -3$
• $u_1 = 1^2 - 3 = -2$
• $u_2 = 2^2 - 3 = 1$
• $u_3 = 3^2 - 3 = 6$

Représentation graphique : On peut représenter une suite explicite dans un repère. Chaque terme $u_n$ est associé à un point de coordonnées $(n; u_n)$. Attention, on ne relie pas les points car l'indice $n$ ne prend que des valeurs entières. On obtient un nuage de points.

Exemple graphique de $u_n = n^2 - 3$ : Les points seraient $(0; -3)$, $(1; -2)$, $(2; 1)$, $(3; 6)$, etc.

Une suite est définie sous forme de récurrence lorsque chaque terme est exprimé en fonction du ou des termes précédents. Pour pouvoir calculer les termes de la suite, il est indispensable de connaître au moins un premier terme (appelé aussi "condition initiale").

La formule est généralement de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$.

Comment calculer les premiers termes ?

1. On connaît le premier terme (par exemple $u_0$).
2. On utilise la formule de récurrence pour calculer $u_1$ à partir de $u_0$.
3. Puis $u_2$ à partir de $u_1$, et ainsi de suite.

Exemple : Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$.

• $u_0 = 2$ (donné)
• $u_1 = 2u_0 - 1 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$
• $u_2 = 2u_1 - 1 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$
• $u_3 = 2u_2 - 1 = 2(5) - 1 = 10 - 1 = 9$

Ce mode de génération est très courant pour modéliser des phénomènes évolutifs où l'état futur dépend de l'état présent (par exemple, population, capital sur un compte).

Les calculatrices graphiques (Casio, Texas Instruments) et les logiciels comme GeoGebra ou Python permettent de travailler facilement avec les suites numériques.

Saisie d'une suite explicite ($u_n = f(n)$) :

1. Aller dans le menu "SUITES" (ou "RECUR" / "SEQ").
2. Choisir le mode explicite (e.g., $a_n = \dots$, $u_n = \dots$).
3. Entrer la formule de $u_n$ en fonction de $n$.
4. Définir l'intervalle des indices (par exemple, $n_{min}=0$, $n_{max}=10$).
5. Afficher le tableau de valeurs pour voir les termes.
6. Afficher le graphique pour visualiser le nuage de points.

Saisie d'une suite récurrente ($u_{n+1} = f(u_n)$) :

1. Aller dans le menu "SUITES".
2. Choisir le mode récurrent (e.g., $a_{n+1} = \dots$, $u_{n+1} = \dots$).
3. Entrer la formule de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
4. NE PAS OUBLIER de saisir la valeur du premier terme ($u_0$ ou $u_1$).
5. Définir l'intervalle des indices.
6. Afficher le tableau de valeurs ou le graphique.

Certaines calculatrices permettent aussi la représentation en "escalier" pour les suites récurrentes, en traçant la droite $y=x$ et la courbe de la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.

L'étude des variations d'une suite consiste à savoir si ses termes augmentent, diminuent ou restent constants.

• Une suite $(u_n)$ est croissante si, pour tout $n$, $u_{n+1} \ge u_n$. Autrement dit, la différence $u_{n+1} - u_n \ge 0$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement croissante si, pour tout $n$, $u_{n+1} > u_n$. Autrement dit, la différence $u_{n+1} - u_n > 0$.
• Une suite $(u_n)$ est décroissante si, pour tout $n$, $u_{n+1} \le u_n$. Autrement dit, la différence $u_{n+1} - u_n \le 0$.
• Une suite $(u_n)$ est strictement décroissante si, pour tout $n$, $u_{n+1} < u_n$. Autrement dit, la différence $u_{n+1} - u_n < 0$.
• Une suite $(u_n)$ est constante si, pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n$. Autrement dit, la différence $u_{n+1} - u_n = 0$.
• Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante (ou constante).
• Une suite est non monotone si elle n'est ni croissante ni décroissante (les termes varient sans suivre une tendance unique).

Il existe plusieurs méthodes pour étudier les variations d'une suite.

1. Étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :

   • C'est la méthode la plus directe et la plus générale.
   • On calcule l'expression de $u_{n+1} - u_n$.
   • On étudie le signe de cette expression pour tout $n$ appartenant à l'ensemble de définition de la suite.
     • Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est strictement croissante.
     • Si $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite est strictement décroissante.
     • Si $u_{n+1} - u_n = 0$, la suite est constante.

   Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n - 5$. $u_{n+1} - u_n = (2(n+1) - 5) - (2n - 5)$ $= (2n + 2 - 5) - 2n + 5$ $= 2n - 3 - 2n + 5 = 2$. Puisque $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

2. Comparaison du quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et de 1 (pour les suites à termes strictement positifs) :

   • Cette méthode est utile lorsque les termes de la suite sont tous strictement positifs.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$, la suite est strictement croissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, la suite est strictement décroissante.
   • Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$, la suite est constante.

   Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 3^n$. Tous les termes sont positifs. $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3$. Puisque $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 3 > 1$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

3. Étude des variations de la fonction associée (pour les suites explicites) :

   • Si une suite est définie explicitement par $u_n = f(n)$, on peut étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[n_0, +\infty[$.
   • Si $f$ est croissante sur cet intervalle, alors $(u_n)$ est croissante.
   • Si $f$ est décroissante sur cet intervalle, alors $(u_n)$ est décroissante.
   • Attention : la réciproque n'est pas toujours vraie. Une suite peut être monotone sans que la fonction associée le soit sur tout $\mathbb{R}$.

   Exemple : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2$. On considère la fonction $f(x) = x^2$. La dérivée $f'(x) = 2x$. Pour $x \ge 0$, $f'(x) \ge 0$, donc $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est croissante pour $n \ge 0$.

• Suites arithmétiques :
  • Si la raison $r > 0$, la suite est strictement croissante.
  • Si la raison $r < 0$, la suite est strictement décroissante.
  • Si la raison $r = 0$, la suite est constante.
• Suites géométriques :
  • Si $u_0 > 0$ et $q > 1$, la suite est strictement croissante.
  • Si $u_0 > 0$ et $0 < q < 1$, la suite est strictement décroissante.
  • Si $u_0 > 0$ et $q < 0$, la suite n'est pas monotone (elle alterne les signes).
  • Si $q = 1$, la suite est constante.
• Suites non monotones :
  • La suite $u_n = (-1)^n$ : $u_0=1, u_1=-1, u_2=1, u_3=-1, \dots$. Elle alterne entre 1 et -1, elle n'est ni croissante ni décroissante.
  • La suite $u_n = n \cos(\pi n)$ : $u_0=0, u_1=-1, u_2=2, u_3=-3, \dots$. Elle n'est pas monotone.

Démonstrations : L'étude des variations est une démonstration. Il faut toujours justifier le signe de la différence ou la comparaison du quotient avec 1.

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique si chaque terme s'obtient en ajoutant une constante au terme précédent. Cette constante est appelée la raison de la suite, et est généralement notée $r$.

La définition par récurrence d'une suite arithmétique est : Pour tout entier $n \ge n_0$, $u_{n+1} = u_n + r$.

La propriété caractéristique est que la différence entre deux termes consécutifs est constante : Pour tout entier $n \ge n_0$, $u_{n+1} - u_n = r$.

Exemple : La suite $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n + 2$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $r=2$.

• $u_0 = 3$
• $u_1 = 3 + 2 = 5$
• $u_2 = 5 + 2 = 7$
• $u_3 = 7 + 2 = 9$

À partir de la définition par récurrence, on peut trouver une formule explicite pour calculer n'importe quel terme directement.

• Si le premier terme est $u_0$ : $u_1 = u_0 + r$ $u_2 = u_1 + r = (u_0 + r) + r = u_0 + 2r$ $u_3 = u_2 + r = (u_0 + 2r) + r = u_0 + 3r$ On en déduit la formule explicite générale : $u_n = u_0 + nr$

• Plus généralement, si on connaît un terme $u_p$ (où $p$ est un indice quelconque) : $u_n = u_p + (n-p)r$

Exemple : Reprenons la suite $u_0=3$ et $r=2$. En utilisant la formule explicite $u_n = u_0 + nr$, on a $u_n = 3 + 2n$. Vérifions pour $u_3$: $u_3 = 3 + 2(3) = 3 + 6 = 9$. Cela correspond bien au calcul précédent.

Représentation graphique : Les points $(n; u_n)$ d'une suite arithmétique sont alignés sur une droite. En effet, la formule explicite $u_n = u_0 + nr$ est de la forme $y = ax + b$ avec $a=r$ et $b=u_0$. La droite a pour pente la raison $r$.

La somme de $N$ termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule : $S_N = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$

Si on somme les termes de $u_p$ à $u_k$ (où $k \ge p$), le nombre de termes est $k - p + 1$. Donc $S = (k - p + 1) \times \frac{u_p + u_k}{2}$.

Un cas particulier important est la somme des $n$ premiers entiers naturels (de 1 à $n$) : $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$. C'est une suite arithmétique de premier terme 1, dernier terme $n$, et $n$ termes.

Exemple : Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite $u_n = 3 + 2n$. Les termes sont $u_0, u_1, \dots, u_9$. Il y a 10 termes. $u_0 = 3$ $u_9 = 3 + 2(9) = 3 + 18 = 21$ $S_{10} = 10 \times \frac{u_0 + u_9}{2} = 10 \times \frac{3 + 21}{2} = 10 \times \frac{24}{2} = 10 \times 12 = 120$.

• Croissance linéaire : Un salaire qui augmente d'un montant fixe chaque année.
• Intérêts simples : Un capital placé qui rapporte un montant fixe d'intérêts chaque année.
• Modélisation de situations : Le nombre de sièges dans une rangée de cinéma qui augmente de 2 par rangée. La consommation d'eau d'une ville qui augmente de 100 m³ par jour.

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique si chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par une constante. Cette constante est appelée la raison de la suite, et est généralement notée $q$.

La définition par récurrence d'une suite géométrique est : Pour tout entier $n \ge n_0$, $u_{n+1} = q \times u_n$. Attention : $u_n$ ne doit jamais être nul si $q$ est non nul.

La propriété caractéristique est que le rapport entre deux termes consécutifs est constant : Pour tout entier $n \ge n_0$ (et $u_n \ne 0$), $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$.

Exemple : La suite $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$.

• $u_0 = 5$
• $u_1 = 2 \times 5 = 10$
• $u_2 = 2 \times 10 = 20$
• $u_3 = 2 \times 20 = 40$

De la même manière que pour les suites arithmétiques, on peut déduire une formule explicite.

• Si le premier terme est $u_0$ : $u_1 = u_0 \times q$ $u_2 = u_1 \times q = (u_0 \times q) \times q = u_0 \times q^2$ $u_3 = u_2 \times q = (u_0 \times q^2) \times q = u_0 \times q^3$ On en déduit la formule explicite générale : $u_n = u_0 \times q^n$

• Plus généralement, si on connaît un terme $u_p$ : $u_n = u_p \times q^{n-p}$

Exemple : Reprenons la suite $u_0=5$ et $q=2$. En utilisant la formule explicite $u_n = u_0 \times q^n$, on a $u_n = 5 \times 2^n$. Vérifions pour $u_3$: $u_3 = 5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40$. Cela correspond bien au calcul précédent.

Représentation graphique : Les points $(n; u_n)$ d'une suite géométrique ne sont pas alignés. Ils se situent sur une courbe de type exponentiel. La croissance ou décroissance est très rapide.

La somme de $N$ termes consécutifs d'une suite géométrique (avec $q \ne 1$) est donnée par la formule : $S_N = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$

Si on somme les termes de $u_p$ à $u_k$ (où $k \ge p$), le nombre de termes est $k - p + 1$. Donc $S = u_p \times \frac{1 - q^{k-p+1}}{1 - q}$.

Cas particulier : Si $q=1$, alors la suite est constante ($u_n = u_p$). La somme est alors $S_N = \text{nombre de termes} \times \text{premier terme} = (k-p+1) \times u_p$.

Exemple : Calculer la somme des 4 premiers termes de la suite $u_n = 5 \times 2^n$. Les termes sont $u_0, u_1, u_2, u_3$. Il y a 4 termes. $u_0 = 5$ $q = 2$ $S_4 = u_0 \times \frac{1 - q^4}{1 - q} = 5 \times \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 5 \times \frac{1 - 16}{-1} = 5 \times \frac{-15}{-1} = 5 \times 15 = 75$. Vérification : $5 + 10 + 20 + 40 = 75$.

• Croissance exponentielle : La prolifération de bactéries, l'évolution d'une population mondiale.
• Intérêts composés : Un capital placé qui rapporte des intérêts qui sont eux-mêmes réinvestis et rapportent des intérêts.
• Décroissance radioactive : La diminution de la quantité d'une substance radioactive au cours du temps.
• Amortissement : La diminution de la valeur d'un objet (voiture, machine) d'un certain pourcentage fixe chaque année.

Algorithme pour une suite explicite ($u_n = f(n)$) : Pour calculer $u_N$ :

FONCTION calculer_terme_explicite(N) :
    u = f(N)  // Remplace N dans la formule de f(n)
    RENVOYER u

Pour afficher les $N+1$ premiers termes (de $u_0$ à $u_N$) :

ALGORITHME afficher_termes_explicite :
    LIRE N // Nombre de termes à afficher (jusqu'à u_N)
    POUR n DE 0 JUSQU'À N :
        u_n = f(n)
        AFFICHER "u(" + n + ") = " + u_n
    FIN POUR

Algorithme pour une suite récurrente ($u_{n+1} = f(u_n)$) : Pour calculer $u_N$, on doit calculer tous les termes précédents.

ALGORITHME calculer_terme_recurrent :
    LIRE u_0 // Premier terme
    LIRE N   // Indice du terme à calculer
    u_courant = u_0
    SI N == 0 ALORS
        AFFICHER "u(0) = " + u_courant
    SINON
        POUR n DE 0 JUSQU'À N-1 :
            u_courant = f(u_courant) // u_{n+1} = f(u_n)
        FIN POUR
        AFFICHER "u(" + N + ") = " + u_courant
    FIN SI

Variables : Une variable u_courant est utilisée pour stocker le terme actuel, qui sera mis à jour à chaque itération.

Il s'agit de trouver le plus petit indice $N$ tel que $u_N$ vérifie une certaine condition (par exemple, $u_N > S$, où $S$ est un seuil).

Algorithme de seuil (suite croissante) :

ALGORITHME seuil_suite :
    LIRE u_0 // Premier terme
    LIRE S   // Seuil
    n = 0
    u = u_0
    TANT QUE u <= S : // Ou u < S selon la condition exacte
        u = f(u)     // Mettre à jour u avec la relation de récurrence u_{n+1} = f(u_n)
        n = n + 1
    FIN TANT QUE
    AFFICHER "Le premier terme supérieur à " + S + " est u(" + n + ") = " + u

Ce type d'algorithme utilise une boucle TANT QUE (WHILE) car on ne connaît pas à l'avance le nombre d'itérations nécessaires. Les conditions d'arrêt de la boucle sont cruciales pour éviter des boucles infinies.

Pour calculer la somme des $N$ premiers termes d'une suite (par exemple, de $u_0$ à $u_{N-1}$), on utilise une variable d'accumulation.

Algorithme de sommation :

ALGORITHME somme_suite :
    LIRE u_0 // Premier terme
    LIRE N   // Nombre de termes à sommer (u_0 à u_{N-1})
    somme = 0
    u_courant = u_0
    POUR n DE 0 JUSQU'À N-1 :
        somme = somme + u_courant
        // Mettre à jour u_courant pour le terme suivant
        // Si suite explicite : u_courant = f(n+1)
        // Si suite récurrente : u_courant = f(u_courant)
        // Pour les exemples, prenons une suite récurrente simple pour illustrer
        u_courant = f(u_courant) 
    FIN POUR
    AFFICHER "La somme des " + N + " premiers termes est : " + somme

Exemples avec suites arithmétiques/géométriques : Bien que des formules existent, l'algorithme permet de le faire de manière générale sans connaître la nature de la suite. Pour une suite arithmétique $u_{n+1} = u_n + r$: u_courant = u_courant + r Pour une suite géométrique $u_{n+1} = q \times u_n$: u_courant = q * u_courant

Ces algorithmes sont fondamentaux pour comprendre comment les ordinateurs traitent les suites numériques et pour résoudre des problèmes complexes où les formules directes peuvent être difficiles à appliquer ou inexistantes.