Trigonométrie

Le cercle trigonométrique est un outil fondamental en trigonométrie.

Définition et propriétés :

• C'est un cercle dont le rayon est égal à 1 (on parle de rayon unitaire).
• Son centre est l'origine $O(0,0)$ d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
• Il est orienté : le sens positif (ou sens direct) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le sens négatif (ou sens indirect) est le sens des aiguilles d'une montre.
• Le point de départ pour mesurer les angles est le point $I(1,0)$, qui correspond à l'axe des abscisses positives.

Repérage d'un point sur le cercle : Tout point $M$ sur le cercle trigonométrique peut être repéré par un angle $\alpha$ (alpha). Cet angle est formé par le vecteur $\vec{OI}$ et le vecteur $\vec{OM}$. Si l'angle est mesuré dans le sens direct, il est positif ; s'il est mesuré dans le sens indirect, il est négatif.

Sens direct et indirect :

• Sens direct (ou sens positif ou sens trigonométrique) : C'est le sens anti-horaire (contraire à celui des aiguilles d'une montre). Les angles mesurés dans ce sens sont positifs.
• Sens indirect (ou sens négatif) : C'est le sens horaire (celui des aiguilles d'une montre). Les angles mesurés dans ce sens sont négatifs.

Jusqu'à présent, vous avez probablement mesuré les angles en degrés. En trigonométrie, une autre unité est essentielle : le radian.

Définition du radian : Un radian est la mesure d'un angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle. Sur le cercle trigonométrique (rayon $R=1$), un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur 1.

• Un tour complet du cercle (360°) correspond à la circonférence du cercle, soit $2\pi R$. Sur un cercle de rayon 1, cela fait $2\pi$. Donc, ==360° = $2\pi$ radians==.
• Un demi-tour (180°) correspond à $\pi$ radians.

Conversion degrés-radians : La relation clé est $180^\circ = \pi$ radians.

• Pour convertir des degrés en radians : multiplier par $\frac{\pi}{180}$.
  • Exemple : $90^\circ = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ radians.
• Pour convertir des radians en degrés : multiplier par $\frac{180}{\pi}$.
  • Exemple : $\frac{\pi}{3}$ radians $= \frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 60^\circ$.

Mesure principale d'un angle : Un angle sur le cercle trigonométrique n'est pas unique. Ajouter ou soustraire $2\pi$ radians (un tour complet) ne change pas la position du point sur le cercle. Par exemple, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$, et $\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ représentent tous le même point sur le cercle. La mesure principale d'un angle est la mesure $\alpha$ qui appartient à l'intervalle $]-\pi; \pi]$. C'est la valeur unique de l'angle qui est la plus proche de 0. Pour trouver la mesure principale d'un angle $\theta$ :

1. Diviser $\theta$ par $2\pi$. Soit $k$ la partie entière du résultat.
2. Calculer $\theta' = \theta - k \times 2\pi$.
3. Si $\theta' > \pi$, alors la mesure principale est $\theta' - 2\pi$.
4. Si $\theta' \le -\pi$, alors la mesure principale est $\theta' + 2\pi$.
5. Sinon, la mesure principale est $\theta'$.

Un angle orienté est un couple de vecteurs non nuls $(\vec{u}, \vec{v})$. Sa mesure représente la rotation nécessaire pour amener $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ dans le sens direct.

Définition d'un angle orienté : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. L'angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$ est la mesure de la rotation qui transforme $\vec{u}$ en $\vec{v}$. Cette mesure est définie à $2\pi$ près. On note $(\vec{u}, \vec{v}) = \alpha \pmod{2\pi}$.

Égalité de deux angles orientés : Deux angles orientés $(\vec{u}, \vec{v})$ et $(\vec{u}', \vec{v}')$ sont égaux si et seulement si ils ont la même mesure principale. Plus généralement, ils sont égaux si leur mesure est la même à un multiple de $2\pi$ près. $(\vec{u}, \vec{v}) = (\vec{u}', \vec{v}') \pmod{2\pi}$ signifie que la différence de leurs mesures est un multiple entier de $2\pi$.

Relation de Chasles pour les angles : La relation de Chasles permet de "décomposer" un angle orienté en plusieurs. Pour trois vecteurs non nuls $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ : $(\vec{u}, \vec{w}) = (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) \pmod{2\pi}$ Cette propriété est très utile pour simplifier des expressions d'angles ou pour relier différents angles dans une figure géométrique. Elle est similaire à la relation de Chasles pour les vecteurs, mais appliquée aux mesures d'angles.

Coordonnées d'un point sur le cercle : Soit $M$ un point du cercle trigonométrique associé à un angle $x$ (en radians).

• L'abscisse du point $M$ est appelée le cosinus de l'angle $x$, noté $\cos(x)$.
• L'ordonnée du point $M$ est appelée le sinus de l'angle $x$, noté $\sin(x)$. Donc, $M$ a pour coordonnées $(\cos(x), \sin(x))$.

Définition de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ :

• Pour tout réel $x$, $\cos(x)$ est l'abscisse du point $M$ du cercle trigonométrique associé à $x$.
• Pour tout réel $x$, $\sin(x)$ est l'ordonnée du point $M$ du cercle trigonométrique associé à $x$. Puisque le cercle a un rayon de 1, les valeurs de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ sont toujours comprises entre -1 et 1 : $-1 \le \cos(x) \le 1$ $-1 \le \sin(x) \le 1$

Valeurs remarquables : Il est essentiel de connaître les valeurs de cosinus et sinus pour certains angles clés :

Ces valeurs peuvent être retrouvées en utilisant le cercle trigonométrique et des triangles rectangles particuliers.

Les fonctions cosinus et sinus possèdent des propriétés importantes qui découlent directement de leur définition sur le cercle trigonométrique.

Relation $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ : Pour tout réel $x$, le point $M(\cos(x), \sin(x))$ appartient au cercle trigonométrique de rayon 1. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle formé par l'origine, le point $M$ et sa projection sur l'axe des abscisses, on a : $(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 = 1^2$ Soit $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Cette identité fondamentale est toujours vraie et est très utilisée pour simplifier des expressions ou résoudre des équations.

Parité et imparité :

• La fonction cosinus est paire : $\cos(-x) = \cos(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Géométriquement, les points associés à $x$ et $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, ils ont donc la même abscisse.
• La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Géométriquement, les points associés à $x$ et $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, leurs ordonnées sont opposées.

Périodicité ($2\pi$) :

• Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$.
  • $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $k \in \mathbb{Z}$.
  • $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $k \in \mathbb{Z}$. Cela signifie que les valeurs des fonctions se répètent tous les $2\pi$ radians (un tour complet du cercle). Il suffit donc d'étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur $2\pi$ (par exemple $[0, 2\pi]$ ou $[-\pi, \pi]$).

Les angles associés sont des angles dont les cosinus et sinus sont liés entre eux. Ils sont très utiles pour simplifier des expressions ou résoudre des équations.

Ces formules peuvent être retrouvées graphiquement en plaçant les points correspondants sur le cercle trigonométrique.

Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions continues et périodiques. Leurs représentations graphiques sont caractéristiques.

Courbe de la fonction $\cos(x)$ (cosinusoïde) :

• La courbe de $\cos(x)$ oscille entre -1 et 1.
• Elle passe par $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.
• Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire).
• Sa période est $2\pi$.

Courbe de la fonction $\sin(x)$ (sinusoïde) :

• La courbe de $\sin(x)$ oscille également entre -1 et 1.
• Elle passe par $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
• Elle est symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire).
• Sa période est $2\pi$. On remarque que la courbe de $\sin(x)$ est une translation de la courbe de $\cos(x)$ de $\frac{\pi}{2}$ vers la droite : $\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$.

Amplitude, période, déphasage : Pour des fonctions plus générales de la forme $f(x) = A \cos(Bx + C) + D$ ou $f(x) = A \sin(Bx + C) + D$ :

• L'amplitude est $|A|$. Elle représente l'écart maximal par rapport à la valeur centrale.
• La période est $T = \frac{2\pi}{|B|}$. C'est la longueur de l'intervalle sur lequel la fonction effectue un cycle complet.
• Le déphasage est $-\frac{C}{B}$. Il indique un décalage horizontal de la courbe.
• La valeur moyenne (décalage vertical) est $D$.

L'objectif est de trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $\cos(x)$ est égal à une constante $a$.

Méthode graphique sur le cercle :

1. Tracer le cercle trigonométrique.
2. Si $a < -1$ ou $a > 1$, il n'y a pas de solution, car $\cos(x)$ est toujours entre -1 et 1.
3. Placer la valeur $a$ sur l'axe des abscisses.
4. Tracer la droite verticale $X = a$. Elle coupe le cercle en un ou deux points (sauf si $a = \pm 1$).
5. Les angles associés à ces points sont les solutions.

Formules générales des solutions : Si $a$ est une valeur entre -1 et 1 (inclusivement), il existe un angle $\alpha$ (généralement dans $[0, \pi]$) tel que $\cos(\alpha) = a$. Alors les solutions générales de l'équation $\cos(x) = a$ sont : $x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \quad \text{où } k \in \mathbb{Z}$ Ceci vient du fait que $\cos(x) = \cos(\alpha)$ implique $x = \alpha \pmod{2\pi}$ ou $x = -\alpha \pmod{2\pi}$.

Solutions sur un intervalle donné : Une fois les solutions générales trouvées, il faut identifier celles qui appartiennent à l'intervalle spécifié (par exemple $[0, 2\pi]$ ou $[-\pi, \pi]$). On substitue différentes valeurs entières de $k$ pour trouver les solutions dans l'intervalle.

• Exemple : Résoudre $\cos(x) = \frac{1}{2}$ sur $[0, 2\pi]$.
  • On sait que $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Donc $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
  • Les solutions générales sont $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.
  • Pour $k=0$: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ et $x_2 = -\frac{\pi}{3}$. Seul $\frac{\pi}{3}$ est dans $[0, 2\pi]$.
  • Pour $k=1$: $x_3 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$ (hors intervalle) et $x_4 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ (dans l'intervalle).
  • Les solutions sur $[0, 2\pi]$ sont donc $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$.

Similaire à la résolution des équations avec le cosinus.

Méthode graphique sur le cercle :

1. Tracer le cercle trigonométrique.
2. Si $a < -1$ ou $a > 1$, il n'y a pas de solution.
3. Placer la valeur $a$ sur l'axe des ordonnées.
4. Tracer la droite horizontale $Y = a$. Elle coupe le cercle en un ou deux points.
5. Les angles associés à ces points sont les solutions.

Formules générales des solutions : Si $a$ est une valeur entre -1 et 1 (inclusivement), il existe un angle $\alpha$ (généralement dans $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$) tel que $\sin(\alpha) = a$. Alors les solutions générales de l'équation $\sin(x) = a$ sont : $x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \quad \text{où } k \in \mathbb{Z}$ Ceci vient du fait que $\sin(x) = \sin(\alpha)$ implique $x = \alpha \pmod{2\pi}$ ou $x = \pi - \alpha \pmod{2\pi}$.

Solutions sur un intervalle donné : Comme précédemment, on substitue différentes valeurs entières de $k$ pour trouver les solutions dans l'intervalle spécifié.

• Exemple : Résoudre $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[-\pi, \pi]$.
  • On sait que $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
  • Les solutions générales sont $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$.
  • Pour $k=0$: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ et $x_2 = \frac{3\pi}{4}$. Ces deux solutions sont dans $[-\pi, \pi]$.
  • Pour $k \ne 0$, les solutions seront hors de l'intervalle.
  • Les solutions sur $[-\pi, \pi]$ sont donc $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}$.

Les inéquations trigonométriques sont résolues principalement en utilisant le cercle trigonométrique.

Utilisation du cercle trigonométrique :

1. Résoudre d'abord l'équation égale pour trouver les "points frontières".
2. Représenter ces points sur le cercle trigonométrique.
3. Hachurer la portion du cercle (ou l'arc) qui correspond à l'inégalité.
4. Lire les intervalles de solutions sur l'intervalle donné, en parcourant le cercle dans le sens direct.

Lecture des intervalles de solutions : Il est crucial de bien faire attention à l'intervalle de résolution demandé (souvent $[0, 2\pi]$ ou $[-\pi, \pi]$) et au sens de parcours.

• Exemple simple : Résoudre $\cos(x) > \frac{1}{2}$ sur $[0, 2\pi]$.
  1. On a vu que $\cos(x) = \frac{1}{2}$ pour $x = \frac{\pi}{3}$ et $x = \frac{5\pi}{3}$.
  2. Sur le cercle, l'inégalité $\cos(x) > \frac{1}{2}$ correspond à tous les points dont l'abscisse est supérieure à $\frac{1}{2}$.
  3. Cela correspond à l'arc allant de $-\frac{\pi}{3}$ à $\frac{\pi}{3}$ (en passant par $0$).
  4. Sur l'intervalle $[0, 2\pi]$, on part de $0$ et on tourne dans le sens direct.
     • On trouve d'abord l'arc de $0$ à $\frac{\pi}{3}$.
     • Puis, après $\frac{\pi}{3}$, $\cos(x)$ est inférieur à $\frac{1}{2}$ jusqu'à $\frac{5\pi}{3}$.
     • De $\frac{5\pi}{3}$ à $2\pi$, $\cos(x)$ est à nouveau supérieur à $\frac{1}{2}$.
  5. Les solutions sont donc $x \in [0, \frac{\pi}{3}[ \cup ]\frac{5\pi}{3}, 2\pi]$. (Attention aux crochets ouverts/fermés selon l'inégalité stricte ou large).

Définition $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ : La tangente d'un angle $x$, notée $\tan(x)$, est définie par le rapport du sinus de $x$ au cosinus de $x$. $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Domaine de définition : Puisque le dénominateur $\cos(x)$ ne peut pas être nul, la fonction tangente n'est pas définie pour les valeurs de $x$ où $\cos(x) = 0$. Cela se produit pour $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$. Le domaine de définition de la tangente est donc $\mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.

Périodicité ($\pi$) : La fonction tangente est périodique de période $\pi$. $\tan(x + k\pi) = \tan(x) \quad \text{pour tout } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \text{ et tout } k \in \mathbb{Z}$ Ceci est dû au fait que $\sin(x+\pi) = -\sin(x)$ et $\cos(x+\pi) = -\cos(x)$, donc $\tan(x+\pi) = \frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$.

Parité : La fonction tangente est impaire : $\tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$

Valeurs remarquables :

La courbe de la fonction tangente a une allure très différente des sinusoïdes et cosinusoïdes.

Asymptotes verticales : Aux points où $\cos(x) = 0$, la fonction tangente tend vers l'infini (positif ou négatif). Ces points correspondent à des asymptotes verticales. Les droites d'équations $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (pour $k \in \mathbb{Z}$) sont des asymptotes verticales à la courbe de $\tan(x)$.

Allure de la courbe :

• Sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, la fonction est strictement croissante.
• Elle passe par l'origine $(0,0)$.
• Elle est impaire, donc symétrique par rapport à l'origine.
• Grâce à sa périodicité de $\pi$, le motif se répète tous les $\pi$ radians.

Résolution de $\tan(x) = a$ : Pour résoudre $\tan(x) = a$, où $a$ est un nombre réel quelconque :

1. Il existe toujours un angle $\alpha \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ tel que $\tan(\alpha) = a$.
2. Les solutions générales de l'équation $\tan(x) = a$ sont : $x = \alpha + k\pi \quad \text{où } k \in \mathbb{Z}$ Cette formule unique est due à la périodicité de $\pi$ de la tangente.

• Exemple : Résoudre $\tan(x) = 1$ sur $[0, 2\pi]$.
  • On sait que $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Donc $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
  • Les solutions générales sont $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.
  • Pour $k=0$: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ (dans l'intervalle).
  • Pour $k=1$: $x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ (dans l'intervalle).
  • Pour $k=2$: $x_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$ (hors intervalle).
  • Les solutions sur $[0, 2\pi]$ sont $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{5\pi}{4}$.

Inéquations graphiques : La résolution des inéquations avec la tangente se fait également graphiquement, en utilisant soit le cercle trigonométrique (en prolongeant la droite $OM$ jusqu'à la droite d'équation $x=1$ pour lire la tangente), soit la courbe représentative de la fonction tangente. Il faut être très vigilant avec les asymptotes et les intervalles de définition.

• Exemple : Résoudre $\tan(x) \ge 1$ sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$.
  1. On sait que $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
  2. Sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, la fonction tangente est croissante.
  3. Donc $\tan(x) \ge 1$ lorsque $x \ge \frac{\pi}{4}$.
  4. Les solutions sont $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}[$. (L'intervalle est ouvert en $\frac{\pi}{2}$ car $\tan(x)$ n'y est pas définie).

Ces formules permettent de calculer le cosinus ou le sinus de la somme (ou différence) de deux angles.

• Formules pour $\cos(a+b)$ et $\cos(a-b)$ : $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ Retenez que le cosinus change de signe entre les termes si l'addition devient soustraction et inversement.

• Formules pour $\sin(a+b)$ et $\sin(a-b)$ : $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ $\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$ Retenez que le sinus garde le même signe entre les termes si l'addition reste addition et inversement.

Démonstration géométrique ou vectorielle (facultatif) : Ces formules peuvent être démontrées en utilisant la géométrie (par exemple, la formule de la distance entre deux points sur le cercle trigonométrique) ou les produits scalaires de vecteurs. Bien comprendre leur origine n'est pas toujours requis mais peut aider à les mémoriser.

Les formules de duplication sont des cas particuliers des formules d'addition lorsque les deux angles sont identiques ($a=b$).

• Formule pour $\cos(2x)$ : En utilisant $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ avec $a=b=x$: $\cos(2x) = \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ En utilisant l'identité $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, on peut obtenir deux autres formes : $\cos(2x) = \cos^2(x) - (1 - \cos^2(x)) = 2\cos^2(x) - 1$ $\cos(2x) = (1 - \sin^2(x)) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x)$ Ces trois formes de $\cos(2x)$ sont très utiles selon le contexte de l'exercice.

• Formule pour $\sin(2x)$ : En utilisant $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ avec $a=b=x$: $\sin(2x) = \sin(x)\cos(x) + \cos(x)\sin(x) = 2\sin(x)\cos(x)$

Les formules d'addition et de duplication ont de nombreuses applications.

Calcul de valeurs exactes : Elles permettent de calculer des valeurs exactes pour des angles qui ne sont pas "remarquables", mais qui peuvent être exprimés comme somme ou différence d'angles remarquables.

• Exemple : Calculer $\cos(\frac{7\pi}{12})$. On peut écrire $\frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$. $\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{3})$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Simplification d'expressions : Ces formules sont essentielles pour simplifier des expressions trigonométriques complexes.

• Exemple : Simplifier $\sin(x+\frac{\pi}{6}) + \sin(x-\frac{\pi}{6})$. On applique les formules d'addition : $\sin(x+\frac{\pi}{6}) = \sin(x)\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(x)\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos(x)\frac{1}{2}$ $\sin(x-\frac{\pi}{6}) = \sin(x)\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(x)\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(x)\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos(x)\frac{1}{2}$ En additionnant les deux expressions, les termes en $\cos(x)$ s'annulent : $\sin(x+\frac{\pi}{6}) + \sin(x-\frac{\pi}{6}) = 2 \sin(x)\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin(x)$.

Résolution d'équations plus complexes : Elles permettent de transformer des équations pour les ramener à des formes plus simples (du type $\cos(X)=a$ ou $\sin(X)=a$).

• Exemple : Résoudre $\sin(2x) = \sin(x)$. $2\sin(x)\cos(x) = \sin(x)$ $2\sin(x)\cos(x) - \sin(x) = 0$ $\sin(x)(2\cos(x) - 1) = 0$ Cela mène à deux cas :
  1. $\sin(x) = 0 \implies x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$
  2. $2\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.