Variations et courbes représentatives de fonctions

Une fonction est un processus mathématique qui associe à chaque nombre d'entrée (appelé antécédent) un unique nombre de sortie (appelé image). Imagine une machine : tu lui donnes un nombre, et elle t'en rend un autre, toujours le même pour la même entrée.

• Ensemble de définition (ou domaine de définition) : C'est l'ensemble de tous les nombres pour lesquels la fonction est définie. On le note souvent $D_f$. Par exemple, la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ n'est pas définie pour $x=0$, donc $D_f = \mathbb{R}^*$ (tous les réels sauf 0).
• Image et antécédent : Si $f(x) = y$, alors $y$ est l'image de $x$ par la fonction $f$, et $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$. Attention, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais une image est toujours unique.
• Notation $f(x)$ : C'est la manière la plus courante de noter une fonction. $f(x)$ représente l'image du nombre $x$ par la fonction $f$. Par exemple, si $f(x) = x^2 + 1$, alors l'image de 2 est $f(2) = 2^2 + 1 = 5$.

Pour mieux comprendre une fonction, on peut la représenter graphiquement.

• Repère orthogonal : C'est un système de deux axes perpendiculaires (l'axe des abscisses, généralement noté $x$, et l'axe des ordonnées, généralement noté $y$) qui se coupent à l'origine O. Chaque point du plan est repéré par ses coordonnées $(x; y)$.
• Courbe représentative : La courbe représentative d'une fonction $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est l'ensemble de tous les points du plan dont les coordonnées $(x; y)$ vérifient $y = f(x)$. Chaque point $(x; f(x))$ appartient à la courbe.
• Points d'intersection avec les axes :
  • Avec l'axe des ordonnées (axe $y$): C'est le point où $x=0$. Ses coordonnées sont $(0; f(0))$. Il y en a toujours au plus un.
  • Avec l'axe des abscisses (axe $x$): Ce sont les points où $y=0$, c'est-à-dire les solutions de l'équation $f(x) = 0$. Ces valeurs de $x$ sont appelées les racines de la fonction. Il peut y en avoir plusieurs, ou aucune.

La courbe représentative est un outil très puissant pour visualiser le comportement d'une fonction.

• Détermination d'images et d'antécédents :
  • Pour trouver l'image de $x=a$: On se place sur l'axe des abscisses en $a$, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée $y$ correspondante sur l'axe des ordonnées. Ce $y$ est $f(a)$.
  • Pour trouver les antécédents de $y=b$: On se place sur l'axe des ordonnées en $b$, on trace une droite horizontale. Les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe sont les antécédents de $b$.
• Résolution graphique d'équations $f(x)=k$ : Les solutions de l'équation $f(x)=k$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale d'équation $y=k$.
• Résolution graphique d'inéquations $f(x)<k$ : Les solutions de l'inéquation $f(x)<k$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ qui sont situés en dessous de la droite horizontale d'équation $y=k$. Similairement, $f(x)>k$ correspond aux points situés au-dessus.

Le sens de variation décrit le comportement de la fonction sur un intervalle donné.

• Définition formelle :
  • Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \le f(b)$. Graphiquement, quand $x$ augmente, $y$ augmente ou reste stable.
  • Une fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ si $a < b \implies f(a) < f(b)$.
  • Une fonction $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$, on a $f(a) \ge f(b)$. Graphiquement, quand $x$ augmente, $y$ diminue ou reste stable.
  • Une fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ si $a < b \implies f(a) > f(b)$.
• Interprétation graphique :
  • Sur un intervalle où la fonction est croissante, la courbe "monte" de gauche à droite.
  • Sur un intervalle où la fonction est décroissante, la courbe "descend" de gauche à droite.
  • Si la fonction est constante, la courbe est une droite horizontale.
• Exemples de fonctions usuelles :
  • $f(x) = x^2$: décroissante sur $(-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty)$.
  • $f(x) = x$: strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  • $f(x) = -x$: strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
  • $f(x) = \frac{1}{x}$: strictement décroissante sur $(-\infty; 0)$ et sur $(0; +\infty)$, mais pas sur $\mathbb{R}^*$.

Un tableau de variations est une synthèse visuelle du comportement d'une fonction.

• Construction du tableau :
  • La première ligne contient les valeurs de $x$ (bornes des intervalles, valeurs où la fonction change de variation, points où la fonction n'est pas définie).
  • La deuxième ligne indique le sens de variation de $f$ à l'aide de flèches (montante pour croissante, descendante pour décroissante).
  • Aux extrémités des flèches, on place les valeurs des images (ou les limites si elles existent).
• Lecture du tableau : Il permet de voir d'un coup d'œil où la fonction est croissante, décroissante, et quelles sont ses valeurs minimales et maximales sur les intervalles.
• Extrema (maximum et minimum) :
  • Un maximum local est une valeur $f(a)$ qui est la plus grande dans un petit intervalle autour de $a$. Graphiquement, c'est le "sommet" d'une "montagne".
  • Un minimum local est une valeur $f(a)$ qui est la plus petite dans un petit intervalle autour de $a$. Graphiquement, c'est le "fond" d'une "vallée".
  • Un maximum global (ou absolu) est la plus grande valeur que la fonction atteint sur tout son ensemble de définition. Idem pour le minimum global.

• Définition : Une fonction est dite monotone sur un intervalle si elle est soit croissante sur cet intervalle, soit décroissante sur cet intervalle.
• Strictement monotone : Si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
• Applications : La monotonie est cruciale pour l'étude de l'injectivité d'une fonction ou pour des théorèmes comme le théorème des valeurs intermédiaires.

• Définition du taux de variation : Pour une fonction $f$ entre deux points d'abscisses $a$ et $b$ ($a \neq b$), le taux de variation (ou taux d'accroissement) est donné par la formule : $T(a, b) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
• Interprétation graphique (pente de sécante) : Le taux de variation $T(a, b)$ représente la pente de la droite sécante qui passe par les points $A(a; f(a))$ et $B(b; f(b))$ de la courbe $\mathcal{C}_f$.
• Calcul du taux de variation : Exemple: Soit $f(x) = x^2$. Calculons le taux de variation entre $x=1$ et $x=3$. $f(3) = 3^2 = 9$ et $f(1) = 1^2 = 1$. $T(1, 3) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

L'idée est de rapprocher les points $a$ et $b$ jusqu'à ce qu'ils soient "presque" le même point.

• Limite du taux de variation : Si on prend un point $a$ et un point $a+h$ très proche de $a$ (où $h$ est un nombre très petit, positif ou négatif, non nul), le taux de variation devient : $T(a, a+h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ Quand $h$ tend vers 0 (c'est-à-dire que $a+h$ se rapproche de $a$), si cette limite existe, elle est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$.
• Définition du nombre dérivé $f'(a)$ : Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est la limite du taux de variation lorsque $h$ tend vers 0 : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ Si cette limite existe et est finie, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$.
• Interprétation graphique (pente de tangente) : Le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente (ou coefficient directeur) de la droite tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. C'est une mesure de la "raideur" de la courbe à cet endroit précis.

• Définition : Si une fonction $f$ est dérivable en tout point $x$ d'un intervalle $I$, alors on peut définir une nouvelle fonction, appelée fonction dérivée de $f$ et notée $f'$, qui associe à chaque $x \in I$ le nombre $f'(x)$.
• Calcul de fonctions dérivées : La dérivation est une opération. Il existe des règles et des formules pour calculer les dérivées.
• Dérivées des fonctions usuelles :

  Fonction $f(x)$	Fonction dérivée $f'(x)$
  $k$ (constante)	$0$
  $x$	$1$
  $x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)	$nx^{n-1}$
  $\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
  $\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
  $\sin(x)$	$\cos(x)$
  $\cos(x)$	$-\sin(x)$
  $e^x$	$e^x$
  Règles de dérivation (u et v sont des fonctions, k est une constante):

  • $(u+v)' = u' + v'$
  • $(ku)' = ku'$
  • $(uv)' = u'v + uv'$
  • $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
  • $(u^n)' = nu'u^{n-1}$
  • $(e^u)' = u'e^u$

Ce théorème est la pierre angulaire de l'étude des variations.

• Signe de la dérivée et sens de variation :
  • Si pour tout $x$ dans un intervalle $I$, $f'(x) > 0$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
  • Si pour tout $x$ dans un intervalle $I$, $f'(x) < 0$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
  • Si pour tout $x$ dans un intervalle $I$, $f'(x) = 0$, alors la fonction $f$ est constante sur $I$.
• Interprétation : Si la pente de la tangente est positive, la courbe "monte". Si elle est négative, la courbe "descend". Si elle est nulle, la courbe est localement "plate".

Pour étudier les variations d'une fonction $f$:

1. Calcul de la dérivée : Détermine l'expression de $f'(x)$ sur l'ensemble de définition ou l'intervalle d'étude.
2. Étude du signe de la dérivée : Résous l'inéquation $f'(x) > 0$ et $f'(x) < 0$. Trouve les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$. Ces points sont les "candidats" à être des extrema.
3. Construction du tableau de variations : Utilise les informations sur le signe de $f'(x)$ pour remplir un tableau de variations, en indiquant les flèches (montantes ou descendantes) et les valeurs de la fonction aux points clés (où la dérivée s'annule, ou aux bornes de l'intervalle).

• Définition d'un extremum local : Un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local.
• Condition nécessaire $f'(x)=0$ : Si une fonction $f$ admet un extremum local en un point $a$ où elle est dérivable, alors nécessairement ==$f'(a) = 0$==. Attention, la réciproque n'est pas toujours vraie (exemple: $f(x)=x^3$ en $x=0$, $f'(0)=0$ mais pas d'extremum).
• Changement de signe de la dérivée : Pour qu'un point où $f'(a)=0$ soit un extremum local, il faut que $f'(x)$ change de signe en $a$.
  • Si $f'(x)$ passe de positif à négatif en $a$, alors $f(a)$ est un maximum local.
  • Si $f'(x)$ passe de négatif à positif en $a$, alors $f(a)$ est un minimum local.

• Formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ : C'est la formule clé pour trouver l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
  • $a$: abscisse du point de tangence.
  • $f(a)$: ordonnée du point de tangence.
  • $f'(a)$: coefficient directeur (pente) de la tangente.
• Calcul de $f(a)$ et $f'(a)$ : Pour utiliser la formule, tu dois d'abord calculer l'image de $a$ par $f$, puis la dérivée de $f$ en $a$.
• Tracé de la tangente : Pour tracer la tangente, tu as besoin d'un point (le point de tangence $(a; f(a))$) et de sa pente $f'(a)$. Tu peux trouver un deuxième point en utilisant la pente: si la pente est $m$, alors en avançant de 1 unité en $x$, tu montes (ou descends) de $m$ unités en $y$.

• Approximation locale : Au voisinage du point de tangence, la tangente est la droite qui approche le mieux la courbe. Pour des valeurs de $x$ très proches de $a$, $f(x) \approx f'(a)(x-a) + f(a)$. C'est l'approximation affine.
• Convexité et concavité (introduction) :
  • Si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur un intervalle, on dit qu'elle est convexe.
  • Si la courbe est en dessous de toutes ses tangentes sur un intervalle, on dit qu'elle est concave.
• Point d'inflexion (introduction) : Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente. C'est aussi un point où la convexité change (de convexe à concave, ou inversement). On peut souvent les trouver en étudiant le signe de la dérivée seconde $f''$.

• Approximation affine : Permet d'estimer la valeur d'une fonction pour des $x$ proches d'un point où l'on connaît $f(a)$ et $f'(a)$. Très utile quand la fonction est complexe à calculer. Exemple: Pour $x$ proche de $0$, $\sin(x) \approx x$ car $(\sin x)' = \cos x$, donc $\sin(0) = 0$ et $\cos(0) = 1$. L'équation de la tangente en $x=0$ est $y = 1(x-0) + 0 = x$.
• Résolution de problèmes : La tangente peut modéliser des vitesses instantanées, des taux de croissance instantanés, etc.
• Interprétation physique (vitesse instantanée) : Si $s(t)$ est la position d'un objet en fonction du temps $t$, alors $s'(t)$ (la dérivée de la position par rapport au temps) représente la vitesse instantanée de l'objet à l'instant $t$. C'est la pente de la tangente à la courbe de position.

• Recherche de maximum/minimum : L'un des usages les plus importants de la dérivée est de trouver les valeurs extrêmes d'une fonction. Cela implique de:
  1. Calculer $f'(x)$.
  2. Résoudre $f'(x)=0$ pour trouver les points critiques.
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ autour de ces points pour déterminer s'il s'agit de maxima ou de minima locaux (ou de points d'inflexion).
  4. Comparer les valeurs aux extrema locaux et aux bornes de l'intervalle d'étude pour trouver les extrema globaux.
• Problèmes concrets (aire, volume, coût) : De nombreux problèmes de la vie réelle peuvent être modélisés par des fonctions dont on cherche à optimiser la valeur. Exemple: Trouver les dimensions d'une boîte pour maximiser son volume avec une surface donnée, ou minimiser le coût de production.
• Modélisation : Transformer un problème du monde réel en une fonction mathématique à étudier.

Une étude complète de fonction suit généralement ces étapes:

1. Ensemble de définition : Déterminer $D_f$.
2. Calcul de la dérivée : Trouver $f'(x)$.
3. Étude du signe de la dérivée : Résoudre $f'(x) = 0$, $f'(x) > 0$, $f'(x) < 0$.
4. Tableau de variations : Construire le tableau avec les limites aux bornes et les extrema.
5. Points particuliers : Calculer les coordonnées des points d'intersection avec les axes, les extrema.
6. Tracé de la courbe : Esquisser la courbe représentative en utilisant toutes les informations recueillies.

Les outils numériques sont des alliés précieux, mais ils ne remplacent pas la compréhension théorique.

• Tracé de courbes : Permet de visualiser rapidement la forme générale de la courbe, de vérifier tes calculs d'extrema et de variations.
• Calcul de dérivées : Certaines calculatrices ou logiciels peuvent calculer des dérivées symboliques ou numériques.
• Recherche d'extrema : Les fonctions "min/max" des calculatrices graphiques peuvent t'aider à vérifier tes résultats obtenus par le calcul.
• Attention : Les outils numériques donnent des approximations. La méthode analytique (par le calcul) fournit des résultats exacts. Utilise-les pour vérifier ou pour des cas complexes que tu ne peux pas résoudre à la main.